2024-2025學年山東省青島市高三上學期期中數學質量檢測試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知，則＝（）A.2 B.1 C. D.3.已知．若，則（）A. B. C. D.4.已知等比數列的前n項和為，且，則“”是“的公比為2”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知一個正四棱柱和某正四棱錐的底面邊長相等，側面積相等，且它們的高均為，則此正四棱錐的體積為（）A. B. C. D.6.已知函數則圖象上關于原點對稱的點有（）A.1對 B.2對 C.3對 D.4對7.已知函數，函數fx的圖象各點的橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位長度，得到函數y=gx的圖象.若方程在上有兩個不同的解，，則的值為（）A. B. C. D.π8.若關于不等式恒成立，則當時，最小值為（）A. B. C.1 D.二.多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.已知，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.10.若數列an滿足，，，則稱數列an為斐波那契數列，又稱黃金分割數列，則下列結論成立是（）A. B.C. D.11.如圖，在邊長為4的正方體中，E，F分別是棱，的中點，P是正方形內的動點，則下列結論正確的是（）A.若平面，則點P的軌跡長度為B.若，則點P的軌跡長度為C.若P是正方形的中心，Q在線段EF上，則的最小值為D.若P是棱的中點，則三棱錐的外接球的表面積是第Ⅱ卷三.填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.曲線的所有切線中，斜率最小的切線的方程是_______.13.為測量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共線的三點A，B，C處測得其頂點P的仰角分別為30°，60°，45°，且米，則塔的高度________米.14.已知，當，時，是線段的中點，點在所有的線段上，若，則的最小值是________．四.解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知數列的前項和為，且.（1）求及數列的通項公式；（2）在與之間插入個數，使得這個數依次組成公差為的等差數列，求數列的前項和.16.設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且有，（1）求角B：（2）若AC邊上的高，求.17.如圖1，在平行四邊形中，，，E為中點，將沿折起，連結，，且，如圖2．（1）求證：圖2中的平面平面；（2）在圖2中，若點在棱上，直線與平面所成的角的正弦值為，求點到平面的距離．18.已知函數，且與軸相切于坐標原點．（1）求實數的值及的最大值；（2）證明：當時，；（3）判斷關于的方程實數根的個數，并證明．19.對于任意正整數n，進行如下操作：若n為偶數，則對n不斷地除以2，直到得到一個奇數，記這個奇數為；若n為奇數，則對不斷地除以2，直到得出一個奇數，記這個奇數為.若，則稱正整數n為“理想數”.（1）求20以內質數“理想數”；（2）已知.求m的值；（3）將所有“理想數”從小至大依次排列，逐一取倒數后得到數列，記的前n項和為，證明.2024-2025學年山東省青島市高三上學期期中數學質量檢測試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】首先把集合用列舉法表示出來，再運用交集的運算進行求解即可.【詳解】若，，則是的正因數，而的正因數有，，，，所以，因為，所以，故選：B.2.已知，則＝（）A.2 B.1 C. D.【正確答案】C【分析】根據復數的運算法則計算出復數，再計算復數的模.【詳解】由題意知，所以，故選：C.3.已知．若，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據向量垂直可得，代入向量夾角公式即可得結果.【詳解】因為，且，則，可得，所以.故選：B.4.已知等比數列的前n項和為，且，則“”是“的公比為2”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】利用等比數列的性質，分別判斷充分性與必要性即可.【詳解】設等比數列的公比為，由，得，當時，，解得或，充分性不成立；當時，，必要性成立.所以“”是“的公比為2”的必要不充分條件.故選：A5.已知一個正四棱柱和某正四棱錐的底面邊長相等，側面積相等，且它們的高均為，則此正四棱錐的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據正四棱柱及正四棱錐的體積公式可得正四棱錐的高與斜高的關系式，進而可得解.【詳解】如圖所示，正四棱柱為，正四棱錐，設底邊邊長，高，則，又正四棱柱的側面積，正四棱錐的側面積，則，解得，所以正四棱錐體積，故選：B.6.已知函數則圖象上關于原點對稱的點有（）A.1對 B.2對 C.3對 D.4對【正確答案】C【分析】作出的圖象，再作出函數關于原點對稱的圖象，進而數形結合判斷即可.【詳解】作出的圖象，再作出函數關于原點對稱的圖象如圖所示.因為函數關于原點對稱的圖象與圖象有三個交點，故圖象上關于原點對稱的點有3對.故選：C7.已知函數，函數fx的圖象各點的橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位長度，得到函數y=gx的圖象.若方程在上有兩個不同的解，，則的值為（）A. B. C. D.π【正確答案】A【分析】先化簡，根據圖象變換求出，將方程轉化為，由函數圖象的對稱性求出答案.【詳解】根據題意可得，所以，，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，關于對稱，且，，，方程等價于有兩個不同的解，.故選：A.8.若關于不等式恒成立，則當時，的最小值為（）A. B. C.1 D.【正確答案】C【分析】構建，分析可知的定義域為0,+∞，且在0,+∞內恒成立，利用導數可得，整理可得，構建，利用導數求其最值即可.【詳解】設，因為，可知的定義域為0,+∞，所以在0,+∞內恒成立，又因為，令f′x>0，解得；令f′可知在0,1內單調遞增，在1,+∞內單調遞減，則，可得，則，可得，當且僅當時，等號成立，令，則，令，解得；令，解得；可知在內單調遞增，在內單調遞減，則，即，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為1.故選：C.方法點睛：兩招破解不等式的恒成立問題（1）分離參數法第一步：將原不等式分離參數，轉化為不含參數的函數的最值問題；第二步：利用導數求該函數的最值；第三步：根據要求得所求范圍．（2）函數思想法第一步：將不等式轉化為含待求參數的函數的最值問題；第二步：利用導數求該函數的極值；第三步：構建不等式求解．二.多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.已知，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】ABD【分析】根據指對互化與運算以及指數函數、對數函數單調性即可判斷ABC，利用基本不等式即可判斷D.【詳解】由題可得，，，即，所以，對于A，因為，所以，故A正確；對于B，，，故B正確；對于C，因為，所以，故C錯誤；對于D，因為，，所以，當且僅當，即時等號成立，這與已知矛盾，所以，故D正確.故選：ABD.10.若數列an滿足，，，則稱數列an為斐波那契數列，又稱黃金分割數列，則下列結論成立的是（）A. B.C. D.【正確答案】AC【分析】利用斐波那契數列的定義結合遞推關系一一判定選項即可.【詳解】對于A，由題可得，，，，，故A正確；對于B，因為，又，所以，即，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：AC.11.如圖，在邊長為4的正方體中，E，F分別是棱，的中點，P是正方形內的動點，則下列結論正確的是（）A.若平面，則點P的軌跡長度為B.若，則點P的軌跡長度為C.若P是正方形的中心，Q在線段EF上，則的最小值為D.若P是棱的中點，則三棱錐的外接球的表面積是【正確答案】ACD【分析】作出相應圖形，先證明平面平面，再結合給定條件確定動點軌跡，求出長度即可判斷；建立空間直角坐標系，根據題意確定動點軌跡，求解長度即可判斷，將平面翻折到與平面共面，連接，與交于點，此時取到最小值，利用勾股定理求出即可判斷，先找到球心，利用勾股定理得出半徑，求出外接球的表面積即可判斷.【詳解】如圖，取，的中點為，連接，，所以，又E，F分別是棱，的中點，所以，所以，平面，平面，平面，因為分別是棱，的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，平面，又，平面，所以平面平面，點P是正方形內的動點，且平面，所以點P的軌跡為線段，由勾股定理得，故正確；如圖，以為原點，以所在直線為軸，軸，軸，由題意得，設，，所以，所以點的軌跡為為圓心，半徑為1的個圓，所以點P的軌跡長度為.故錯誤；如圖，將平面翻折到與平面共面，連接，與交于點，此時取到最小值，，且，所以點為中點，所以，所以，即的最小值為，故正確；如圖，連接，交于點，連接，若P是棱的中點，則，所以是外接圓的一條直徑，所以是外接圓的圓心，過點作平面的垂線，則三棱錐的外接球的球心一定在該垂線上，連接，設，則，連接，，所以，所以，解得，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為，故正確.故選.方法點睛：三棱錐外接球的半徑的求法：（1）先找兩個面的外心；（2）過外心作所在平面的垂線，兩垂線的交點即為球心；（3）構造直角三角形，利用勾股定理求出半徑.有時無須確定球心的具體位置，即只用找一個面的外心，則球心一定在過該外心與所在平面的垂線上.第Ⅱ卷三.填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.曲線的所有切線中，斜率最小的切線的方程是_______.【正確答案】.【分析】首先求函數的導數，再根據二次函數求最小值，即可求切線的斜率，以及代入切線方程，即可求解.【詳解】由題意，所以時，，又時，，所以所求切線的方程為，即．故．13.為測量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共線的三點A，B，C處測得其頂點P的仰角分別為30°，60°，45°，且米，則塔的高度________米.【正確答案】【分析】設，在，，分別根據銳角三角函數定義求出，最后利用余弦定理進行求解即可.【詳解】設塔的高，在中，，同理可得，，在中，，則，，即，解得.所以塔的高度為米.故答案為.14.已知，當，時，是線段的中點，點在所有的線段上，若，則的最小值是________．【正確答案】【分析】根據中點坐標公式可得，進而可得為等比數列，即可利用累加法求解,由極限即可求解.【詳解】不妨設點、，設點，則數列an滿足，，，所以，，所以，數列是首項為，公比為的等比數列，所以，，當時，，也滿足，故對任意的，.所以，，故故答案為.四.解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知數列的前項和為，且.（1）求及數列的通項公式；（2）在與之間插入個數，使得這個數依次組成公差為的等差數列，求數列的前項和.【正確答案】（1），，（2）【分析】（1）先將代入題干表達式計算出，再將代入題干表達式即可計算出的值，當時，由，可得，兩式相減進一步推導即可發現數列是以為首項，為公比的等比數列，從而計算出數列的通項公式；（2）先根據第題的結果寫出與的表達式，再根據題意可得，通過計算出的表達式即可計算出數列的通項公式，最后運用錯位相減法即可計算出前項和．【小問1詳解】由題意，當時，，解得，當時，，即，解得，當時，由，可得，兩式相減，可得，整理，得，∴數列是以2為首項，2為公比的等比數列，∴，.【小問2詳解】由（1）可得，，，在與之間插入個數，使得這個數依次組成公差為的等差數列，則有，∴，∴，∴，，兩式相減得，∴.16.設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且有，（1）求角B：（2）若AC邊上的高，求.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理及兩角和的正弦公式可得角的大小;（2）由等面積法可得，再由正弦定理可得的值，再由，可得的值.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得，即即，所以，在三角形中，，所以，即，因為，則可得，則.【小問2詳解】因為邊上的高，所以①又②由①②可得，由正弦定理可得，結合（1）中可得，因為，所以.17.如圖1，在平行四邊形中，，，E為的中點，將沿折起，連結，，且，如圖2．（1）求證：圖2中的平面平面；（2）在圖2中，若點在棱上，直線與平面所成的角的正弦值為，求點到平面的距離．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接，利用勾股定理證明，再根據線面垂直的判定定理證得平面，再根據面面垂直的判定定理即可得證；（2）以點為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】連接，由題意，則為等邊三角形，由余弦定理得，所以，則，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，則，設，故，，因為軸垂直平面，故可取平面的一條法向量為，所以，化簡得，解得或（舍去），所以，設平面的法向量為，則有，可取，所以點到平面的距離為．18.已知函數，且與軸相切于坐標原點．（1）求實數的值及的最大值；（2）證明：當時，；（3）判斷關于方程實數根的個數，并證明．【正確答案】（1），最大值為0（2）證明見解析（3）2個，證明見解析【分析】（1）由求出的值，即可得到解析式，再利用導數求出函數的單調區間，從而求出函數的最大值；（2）依題意即證當時，記，，當時直接說明即可，當，利用導數說明函數的單調性，即可得證；（3）設，，當時，由（1）知，則，當時，利用導數說明函數的單調性，結合零點存在性定理判斷函數的零點，當時，，令，利用導數說明在區間上單調遞減，即可得到，從而說明函數在無零點，即可得解.【小問1詳解】由題意知，且，，，解得，，，則，當時，，．故，所以在區間上單調遞減，所以．當時，令，則，，，，在區間上單調遞減，則，在區間上單調遞增，則，則．綜上所述，，的最大值為．【小問2詳解】因為，要證當時，即證，記，，當時，，，；當時，，記，則，在區間上單調遞減，則，則在區間上單調遞減，，綜上所述，當時，．【小問3詳解】設，，，當時，由（1）知，故，故在區間上無實數根．當時，，因此為一個實數根．當時，單調遞減，又，，存在，使得，所以當時?′x>0，當時?在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，，又，在區間上有且只有一個實數根，在區間上無實數根．當時，，令，，故在區間上單調遞減，，于是恒成立．故在區間上無實數根，綜上所述，有2個不相等的實數根．方法點睛：導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討