2024—2025學年度第一學期期中調研測試九年級數學答題注意事項1.本試卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘.2.答案全部寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.答題使用0.5mm黑色簽字筆，在答題卡上對應題號的答題區域書寫答案.注意不要答錯位置，也不要超界.4.作圖題必須用2B鉛筆作答，并請加黑、加粗，描涂清楚.一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.）1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.把方程化為一元二次方程的一般形式后為（）A. B. C. D.3.關于的一元二次方程的根的情況是（）A.有兩個不相等的實數根 B，有兩個相等的實數根 C.只有一個實數根 D.沒有實數根4.已知的半徑是6.5cm，點是直線上一點，且.那么直線與的公共點的個數是（）A.0 B.1 C.2 D.無法確定5.如圖在5×5正方形網格中，一條圓弧過點，，，則這條圓弧所在圓的圓心是（）A.點 B.點 C.點 D.點6.如圖，在中，弦的長為10，圓周角，則這個圓的直徑為（）A. B. C. D.7.如圖，在菱形中，，，點是對角線的中點，以點為圓心，長為半徑作圓心角為60°的扇形，點在扇形內，則圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.無法確定8.已知一元二次方程中，下列說法：①若，則；②若方程兩根為和2，則；③若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；④若，則方程有兩個不相等的實根.其中正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.）9.一元二次方程的根是__________.10.若，是一元二次方程的兩個實數根，則的值為________.11.一圓錐的底面半徑為3，母線長為6，則這個圓錐的側面積為___________.12.圓內接四邊形中，，則___________°.13.《九章算術》是中國傳統數學重要的著作之一，奠定了中國傳統數學的基本框架.其中卷九中記載了一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?”其意思是：如圖，為的直徑，弦于點，寸，尺，那么直徑的長為多少寸?（注：1尺=10寸）根據題意，該圓的直徑為_________寸.14.如圖，在中，，是的內切圓，切點分別為、、，若，，則的半徑為__________.15.將一個正八邊形與一個正六邊形如圖放置，頂點、、、四點共線，為公共頂點.則_________°.16.已知，，是的三邊長，若一元二次方程沒有實數根，則是________三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）.17.對于一切不小于2的自然數，關于的一元二次方程的兩個根記作，（），則__________.18.如圖，點是上任意一點，點在外，已知，，是等邊三角形，則的面積的最大值為__________.三、解答題（本大題共10小題，滿分96分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19.（本題8分）解方程：（1）； （2）.20.（本題8分）如圖，內接于，是的直徑，若，求的度數.21.（本題8分）如圖，的弦、相交于點，且，求證：.22.（本題8分）已知關于的一元二次方程有兩個實數根.（1）求的取值范圍；（2）若，求的值.23.（本題10分）“圓”是中國文化的一個重要精神符號，中式圓的含蓄和韻味，被設計師一一運用在了園林設計中，帶來了濃濃的古典風情.如圖1，是某園林的一個圓形拱門，既美觀又實用，彰顯出中國元素的韻味，圖2是其示意圖.已知拱門圓的半徑為1.5m，拱門下端為1.8m.（1）在圖2中畫出拱門圓的圓心（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若拱門最高點為點，求點到地面（）的距離.24.（本題10分）2023年杭州亞運會吉祥物一經開售，就深受大家的喜愛，某商店以每件45元的價格購進某款亞運會吉祥物，以每件68元的價格出售，經統計，2023年5月份的銷售量為256件，2023年7月份的銷售量為400件.（1）求該款吉祥物2023年5月份到7月份銷售量的月平均增長率.（2）從7月份起，商場決定釆用降價促銷的方式回饋顧客，經調査，發現該款吉祥物每降價1元，月銷售量就會增加20件，當該款吉祥物降價多少元時，月銷售利潤達8400元?25.（本題10分）如圖，為的直徑，點，都在上，，交于點，點在的延長線上，且.（1）求證：為的切線；（2）若且，求的半徑.26.（本題10分）用一段長32m的籬笆和長8m的墻，圍成一個矩形的花園，設平行于墻的一邊的長為m.（1）如圖1，若矩形花園的一邊靠墻，另三邊由籬笆圍成，當花園面積為時，求的值；（2）如圖2，若矩形花園的一邊由墻和一節籬笆構成，另三邊由籬笆圍成，花園面積能否為？若能，求出的長；若不能，請說明理由.27.（本題12分）關于的一元二次方程，如果、、滿足且，那么我們把這樣的方程稱為“2倍—勾系方程”，請解決下列問題：（1）求證：關于的“2倍—勾系方程”必有實數根；（2）如圖，已知、是半徑為4的的兩條平行弦，，，且關于的方程是“2倍—勾系方程”；①求的度數；②直接寫出的長（用含、的式子表示）.28.（本題12分）【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點的線段組成的圖形.如圖1，線段、組成折線段.若點在折線段上，，則稱點是折線段的中點.【理解應用】（1）如圖2，的半徑為2，是的切線，為切點，點是折線段的中點.若，則____________；（2）如圖3，中，，是上一點，，垂足為.求證：點是折線段的中點；【拓展提升】（3）如圖4，，，，是上的四個點，，，則的值為____________.

2024—2025學年度第一學期期中調研測試九年級數學參考答案與試題解析一、選擇題（每題3分，合計24分）題號12345678答案BDACBBAC二、填空題（每題3分，合計30分）9.， 10. 11. 12.9013.26 14.1 15.30 16.鈍角17. 18.三、解答題（共10小題，合計96分）19.（本題8分）【解答】解：（1）∵，∴，∴或，∴，；（2）∵，∴，∴，∴，.20.（本題8分）【解答】解：連接，如圖所示：∵是的直徑，∴，∵內接于，∴，∴.21.（本題8分）【解答】證明：如圖，連接.∵，∴.∴.∴.∴.∴.22.（本題8分）【解答】解：（1）∵關于的一元二次方程有兩個實數根，∴，整理得：，解得：；（2）∵一元二次方程為，∴，，∵，∴，∴，整理得：，解得：，，∵，∴.23.（本題10分）【解答】解：（1）如圖2，點即為所求，（2）連接，如圖3，設點為的中點，∵點為圓心，連接并延長交圓于點，∴點即為拱門為最高點，∴，∵，，，，在中，，∴，∴點到地面（）的距離為2.7m.24.（本題10分）【解答】解：（1）設該款吉祥物2023年5月份到7月份銷售量的月平均增長率為，根據題意得：，解得：，（不符合題意，舍去），答：該款吉祥物2023年5月份到7月份銷售量的月平均增長率為25%；（2）設該款吉祥物降價元，則每件的利潤為元，月銷售量為件，根據題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），答：當該款吉祥物降價8元時，月銷售利潤達8400元.25.（本題10分）【解答】（1）證明：如圖，連接.∵，∴，∴，∵，∴.又∵，∴.∵，∴.∴，即，∴是的切線；（2）解：設的半徑為，則，∴，∵，∴，∴，∵，∴.在中，，∴，解得或（不符合題意，舍去）.即的半徑為6.26.（本題10分）【解答】解：（1）由題意得：；解得：，∵，∴舍去，∴；答：的值為6m；（2）設；則；整理得，，∵，∴原方程無實數根，即花園面積不能為.27.（本題12分）【解答】（1）證明：∵關于的一元二次方程是“勾系方程”，∴且，，∴，∵，∴∴方程必有實數根；（2）解：①作于，延長交于，連接，，如圖，∵，∴，∴，，∵，∴，∵關于的方程是“2倍—勾系方程”，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②過點作的垂線，垂足為，則