專題11對數【題型歸納目錄】題型一：對數的定義題型二：指數式與對數式互化及其應用題型三：利用對數恒等式化簡求值題型四：積、商、冪的對數題型五：一類與對數有關方程的求解問題題型六：對數運算法則的應用題型七：換底公式的運用題型八：由已知對數求解未知對數式題型九：證明常見的對數恒等式【知識點梳理】知識點一、對數概念1、對數的概念如果，那么數b叫做以a為底N的對數，記作：．其中叫做對數的底數，叫做真數．知識點詮釋：對數式中各字母的取值范圍是：且，，．2、對數（且）具有下列性質：（1）0和負數沒有對數，即；（2）1的對數為0，即；（3）底的對數等于1，即．3、兩種特殊的對數通常將以10為底的對數叫做常用對數，．以e（e是一個無理數，）為底的對數叫做自然對數，簡記為．4、對數式與指數式的關系由定義可知：對數就是指數變換而來的，因此對數式與指數式聯系密切，且可以互相轉化．它們的關系可由下圖表示．由此可見a，b，N三個字母在不同的式子中名稱可能發生變化．知識點二、對數的運算法則已知，（且，、）（1）正因數的積的對數等于同一底數各個因數的對數的和；推廣：（2）兩個正數的商的對數等于被除數的對數減去除數的對數；（3）正數的冪的對數等于冪的底數的對數乘以冪指數；知識點詮釋：（1）利用對數的運算法則時，要注意各個字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對數都存在時等式才能成立．（2）不能將和、差、積、商、冪的對數與對數的和、差、積、商、冪混淆起來，即下面的等式是錯誤的：，，．知識點三、對數公式1、對數恒等式：2、換底公式同底對數才能運算，底數不同時可考慮進行換底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，則有，，即，即，即：．（2），令，則有，則有即，即，即當然，細心一些的同學會發現（1）可由（2）推出，但在解決某些問題（1）又有它的靈活性．而且由（2）還可以得到一個重要的結論：．【典例例題】題型一：對數的定義例1．（2023·高一課時練習）有下列說法：①以10為底的對數叫作常用對數；②任何一個指數式都可以化成對數式；③以e為底的對數叫作自然對數；④零和負數沒有對數.其中正確的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2023·高一課時練習）給出下列說法:①零和負數沒有對數;②任何一個指數式都可以化成對數式;③以10為底的對數叫作常用對數;④以為底的對數叫作自然對數.其中正確的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4例3．（2023·湖南長沙·高一長沙市明德中學校考期中）已知，則x的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8變式1．（2023·高一單元測試）已知對數式有意義，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．題型二：指數式與對數式互化及其應用例4．（2023·高一課時練習）下列指數式與對數式互化不正確的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與例5．（2023·全國·高一專題練習）下列對數式中，與指數式等價的是（

）A． B． C． D．例6．（2023·高一課時練習）將下列指數式與對數式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．變式2．（2023·高一課前預習）將下列指數式與對數式互化：(1);(2)；(3);(4)（且，）．變式3．（2023·高一課時練習）將下列指數式與對數式互化：(1);(2)；(3);(4).變式4．（2023·全國·高一專題練習）利用指數式、對數式的互化求下列各式中x的值．（1）；（2）；（3）．題型三：利用對數恒等式化簡求值例7．（2022·上海市楊浦高級中學高一期中）化簡的結果為（

）A． B． C． D．例8．（2022·全國·高一專題練習）計算(1)(2)例9．（2022·新疆維吾爾自治區喀什第二中學高三階段練習）化簡：＝________．變式5．（2022·貴州·遵義四中高一期末）______．題型四：積、商、冪的對數例10．（2023·高一課時練習）計算：log43×=____．例11．（2023·高一課時練習）計算：____．例12．（2023·遼寧大連·高一階段練習）計算：______．變式6．（2023·湖北十堰·高一校聯考階段練習）__________．變式7．（2023·安徽馬鞍山·高一馬鞍山二中校考開學考試）計算結果是_．題型五：一類與對數有關方程的求解問題例13．（2023·上海楊浦·高一復旦附中校考期末）方程的解為___________.例14．（2023·上海虹口·高一上外附中校考期中）設、是關于x的方程的兩個實數根,則_______．例15．（2023·廣東惠州·高一惠州一中校考期中）記，則關于的方程的解集為_________.變式8．（2023·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學校考階段練習）已知是方程的兩個根，則的值是__________．變式9．（2023·云南紅河·高一統考期末）方程的解是_________．變式10．（2023·上海·高一專題練習）方程的解為__________.題型六：對數運算法則的應用例16．（2022·全國·高一專題練習）______．（用數字作答）例17．（2022·全國·高一課時練習）計算：(1)；(2)；(3)．例18．（2022·全國·高一課時練習）(1)；(2)．變式11．（2022·全國·高一專題練習）求值變式12．（2022·廣西·興安縣第二中學高一期中）計算下列各式的值：(1)(2)題型七：換底公式的運用例19．（2023·高一課時練習）若，，則____．例20．（2023·河北衡水·高一校考開學考試）已知，則__________.例21．（2023·上海徐匯·高一統考期末）已知（a為常數，且，），則________．（用a表示）變式13．（2023·陜西渭南·高一統考期末）=______.變式14．（2023·河北唐山·高一校考階段練習）________．變式15．（2023·山東淄博·高一山東省淄博實驗中學校考期末）若，則的值為___________.變式16．（2023·廣西桂林·高一統考期末）_________.題型八：由已知對數求解未知對數式例22．（2023·全國·高一專題練習）已知，，那么用含a、b的代數式表示為（

）A． B． C． D．例23．（2023·高一單元測試）已知，，則（用，表示）等于（

）A． B．C． D．例24．（2023·高一課時練習）已知，，則（

）（結果用，表示）A． B． C． D．變式17．（2023·上海·高一專題練習）設，則用表示（

）A． B． C． D．變式18．（2023·高一課時練習）若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示log75等于（

）A．a＋b B．a－b C． D．變式19．（2023·上海·高一專題練習）已知，，則可以用、表示為（

）A． B． C． D．變式20．（2023·高一課時練習）已知，則可表示為A． B． C． D．題型九：證明常見的對數恒等式例25．（2023·廣西崇左·高一校考階段練習）求滿足下列條件的各式的值(1)若，求的值；(2)設，求證：.例26．（2023·高一課時練習）已知，求證：.例27．（2023·江蘇·高一專題練習）設a，b均為不等于1的正數，利用對數的換底公式，證明：（1）；（2）（，，）.變式21．（2023·高一課時練習）已知a，b，c均為正數，且，求證：；變式22．（2023·江蘇蘇州·高一吳縣中學校考階段練習）已知a，b，c滿足.（1）當時，試討論a?b?c三個數的大小關系；（2）當a，b，c均為正數，求證：.變式23．（2023·高一單元測試）設，且，求證：【過關測試】一、單選題1．（2023·江西九江·高一校考階段練習）已知且，下列式子中，錯誤的是（）A． B．C． D．2．（2023·陜西榆林·高一陜西省神木中學校考階段練習）燕子每年秋天都要從北方飛到南方去過冬，研究燕子的科學家發現，成年燕子的飛行速度（單位：）可以表示為函數，其中表示燕子的耗氧量.當一只成年燕子的飛行速度時，它的耗氧量為（

）A．30 B．60 C．80 D．1003．（2023·湖南衡陽·高一統考期末）的值為（

）A．10 B． C．1 D．不能確定4．（2023·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學校考期中）設都是正數，且，則下列等式正確的是（

）A． B． C． D．5．（2023·天津河西·高一校考期末）若，則（

）A． B． C．1 D．6．（2023·全國·高一假期作業）已知且，則的值為（

）A． B． C． D．7．（2023·河北邢臺·高一邢臺一中校考階段練習）已知，則（

）A． B．2 C． D．8．（2023·高一課時練習）設，那么m等于（

）A． B．9 C．18 D．27二、多選題9．（2023·江蘇揚州·高一統考階段練習）下列運算正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若，則10．（2023·山東青島·高一統考開學考試）已知，，則（

）A． B．C． D．11．（2023·高一單元測試）若，則下列各式中，一定成立的是（

）A． B．C． D．12．（2023·江西上饒·高一校聯考階段練習）已知正實數a，b滿足，且，則的值可以為（

）A．2 B．3 C．4 D．5三、填空題13．（2023·浙江·高一校聯考期中）計算：______.14．（2023·上海金山·高一統考階段練習）已知，用m表示為__________．15．（2023·山東臨沂·高一統考期末）已知，則___________.（用表示）16．（2023·遼寧沈陽·高一統考期末）若，是方程的兩個根，則______．四、解答題17．（2023·遼寧丹東·高一統考期末）已知實數，滿足，．(1)用表示；(2)計算的值．1