2024?2025學年高三上學期第三次月考（11月）數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知復數，其中i是虛數單位，則（

）A． B． C． D．2．已知等差數列的前項和為，若，則（

）A．54 B．63C．72 D．1353．已知平面向量滿足，，且．則向量與向量的夾角是（

）A． B． C． D．4．在等比數列中，已知，，，則n的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．75．已知數列滿足，且，則的最小值是（

）A．-15 B．-14 C．-11 D．-66．已知是邊長為1的正三角形，是上一點且，則（

）A． B． C． D．17．數列的前n項和為，滿足，則數列的前n項積的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知O是所在平面內一點，且，，，則的最大值為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知為復數，設，，在復平面上對應的點分別為A，B，C，其中O為坐標原點，則（

）A． B．C． D．10．已知等差數列的首項為，公差為，前項和為，若，則下列說法正確的是（

）A．當時，最大B．使得成立的最小自然數C．D．數列中最小項為11．已知數列是各項為正數的等比數列，公比為q，在之間插入1個數，使這3個數成等差數列，記公差為，在之間插入2個數，使這4個數成等差數列，公差為，在之間插入n個數，使這個數成等差數列，公差為，則下列說法錯誤的是（

）A．當時，數列單調遞減B．當時，數列單調遞增C．當時，數列單調遞減D．當時，數列單調遞增三、填空題（本大題共3小題）12．設正項等比數列的前項和為，若，則的值為______.13．已知數列中，，，則數列前2024項的和為.14．在中，內角A，B，C所對的邊分別為（）.已知，則的最大值是.四、解答題（本大題共5小題）15．設等比數列{an}滿足，．（1）求{an}的通項公式；（2）記為數列{log3an}的前n項和．若，求m．16．在中，角所對的邊分別為，且.(1)求角；(2)若，求的長.17．已知數列的前n項和為，.(1)求證：數列為等差數列；(2)在數列中，，若的前n項和為，求證：.18．設各項均為正數的數列的前n項和為，已知，數列是公差為的等差數列.(1)求證：，并求出數列的通項公式（用表示）；(2)設為實數，對滿足且的任意正整數，不等式都成立，求證：的最大值為.19．已知函數.(1)當時，求證：；(2)若，且在R上恒成立，求的最大值；(3)設，證明：.

參考答案1．【答案】D【分析】根據復數的乘法運算可得，進而可求模長.【詳解】因為，所以.故選D.2．【答案】B【分析】根據給定條件，利用等差數列的性質求出，再求出.【詳解】等差數列中，由，得，解得，而，所以.故選：B3．【答案】C【詳解】因為，所以，由可得，所以，所以，由知，故選：C4．【答案】B【詳解】在等比數列an中，，，，所以，由，及通項公式，可得，解得.故選：B.5．【答案】A【詳解】∵，∴當時，，當時，，∴，顯然的最小值是.又，∴，即的最小值是.故選：A6．【答案】A【分析】根據題意得，由三點共線求得，利用向量數量積運算求解.【詳解】，，且，而三點共線，，即，，所以.故選A.7．【答案】B【詳解】依題意，，，則，當時，，兩式相減得，即，因此數列是以512為首項，為公比的等比數列，于是，顯然數列單調遞減，當時，，當，，所以當或時，數列的前n項積最大，最大值為.故選：B8．【答案】B【分析】根據題意可得點軌跡是以為圓心，半徑為的圓，再由直線與圓相切可得的最大值為.【詳解】根據，可得，即可得；即可知點軌跡是以為圓心，半徑為的圓，如下圖所示：由圖可知，當與圓相切時，取到最大，又，可知此時.故選：B9．【答案】AB【詳解】設，，，，，，對于A，，故選項A正確；對于B，，，故選項B正確；對于C，，當時，，故選項C錯誤；對于D，，可以為零，也可以不為零，所以不一定平行于，故選項D錯誤.故選:AB.10．【答案】ABD【詳解】根據題意：，即，兩式相加，解得，當時，最大，故A正確；由，可得，所以，故，所以，故C錯誤；由以上可得：，，而，當時，；當時，；所以使得成立的最小自然數，故B正確.當或時；當時；由，所以中最小項為，故D正確.故選：ABD11．【答案】ABC【詳解】數列an是各項為正數的等比數列，則公比為，由題意，得，時，，有，，數列單調遞增，A選項錯誤；時，，，若數列單調遞增，則，即，由，需要，故B選項錯誤；時，，解得，時，，由，若數列單調遞減，則，即，而不能滿足恒成立，C選項錯誤；時，，解得或，由AB選項的解析可知，數列單調遞增，D選項正確.故選：ABC12．【答案】91【分析】方法一：利用等比數列前項和的性質即可求解；方法二：利用等比數列前項和的公式，代入計算即可求解.【詳解】方法一：等比數列中，，，成等比數列，則，，成等比數列，∴，∴，∴.方法二：設公比為，由題意顯然且,所以，∴，故答案為：.13．【答案】2024【詳解】因為，，所以，，，，，，所以數列是周期為4的周期數列，且，所以.故答案為：2024.14．【答案】/【詳解】由，則，，所以或，而，且，即，所以，且，即，，令，則，，當時，則在上遞增；當時，則在上遞減；故為的極大值點，的最大值為.故答案為：.15．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）設等比數列的公比為，根據題意，有，解得，所以；（2）令，所以，根據，可得，整理得，因為，所以，16．【答案】(1)(2)或【分析】(1)變形后利用余弦定理可求；(2)先將代入可得，再將代入得，聯立方程組解得，由此將向量用表示，求解向量的?？傻?【詳解】（1）由得，則由余弦定理得，，.（2）由，解得①，，，則②，聯立①②可得，，或.，，則，且，所以，當時，，則長為；當時，，則長為.綜上所述，的長為或.17．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）因為，所以，即，又，所以數列是首項為，公差為的等差數列.（2）由（1）知：，則，又，所以，所以，所以.18．【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析【詳解】（1）由題意知：，，因為，則，所以，則，整理得，則，所以，當時，，適合情形.所以.（2）由，得，則，所以恒成立，又且，為正整數，所以，則，故，當時，，，由不等式可得，即，當且僅當時，等號成立，而，故，故，故的最大值為.19．【答案】(1)證明見解析