專題23極化恒等式

【方法點撥】

極化恒等式：o/=；[(a+B)2一(。一&2].

說明：

(1)極化恒等式的幾何意義是：設點。是AABC邊3C的中點，則

ABAC=|ADI2--\BC\1=AD2-BD2,即：向量的數量積可轉化為中線長與半底邊長的平方差.

4

(2)具有三角幾何背景的數學問題利用極化恒等式考慮尤為簡單，讓“秒殺”向量數量積問題成為一種可

能，此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾何長度(數量)之間的橋梁，實現向量與幾何、代數的巧妙結合.

(3)遇到共起點的兩向量的數量積問題，常取第三邊的中點，從而運用極化恒等式加以解決.特別適合于

以三角形為載體，含有線段中點的向量問題.

【典型例題】

例1如圖，在△ABC中，。是BC的中點，E,尸是4。上兩個三等分點，BA-CA=4,BFCF=-1,

則而?區的值是.

7

【答案】-

8

【解析】設=DF=y

22

由極化恒等式得麗,國二通./=近2-防2=9y-%=4,

BFCF=FBFC=FD-BD'=y2-x2=-1

25

-

解之得可得9a-b=4,a-b=-1,因此尤?=一.8-

8

因止匕麗?在=麗?就=麗2—詼=49_尤2=__—=2.

888

點評：

緊緊把握極化恒等式使用條件，三次使用極化恒等式求解.

例2已知AABC是邊長為2的等邊三角形，P是平面ABC內一點，則麗?(2而+無)的最小值為

7

【答案】

【分析】本題的難點在于如何將2方+無“二合一”？注意到兩向量共起點且其系數和為3,可利用三點

共線的方法將其“二合一”，然后使用極化恒等式.

___2__.1___

【解析】2PB+PC=3PD，則而=§而+gPC,。在BC上

所以PA.（2PB+PC）=3PA.PD

如圖，取BC中點為E,由極化恒等式得麗?麗=|而『-:西2

A9128

在AABD,由余弦定理得AD1=AB2+Bbi-2AB-BD-cosZABD=4+—―2-2------=—

9329

所以當陷=0,即尸為AD中點時，（麗?麗匕=一］

_._._7

所以PA.QPB+PC）的最小值-葭此時P為小＞中點.

例3如圖所示，矩形ABC。的邊48=4,AD=2,以點C為圓心，CB為半徑的圓與CD交于點E,若點P

是圓弧￡5（含端點B、E）上的一點，則或PB的取值范圍是.

【答案】［8-8&,0］

【分析】取AB的中點設為0,則西?麗=西2-；網2=國2-4,然后利用平幾知識確定P0的取值范

圍，代入即可.

【解析】取的中點設為。，則麗.麗=|麗南『=|而L*

當。、P、C共線時，尸。取得最小值為「0=2后—2；當尸與8(或E)重合時，P。取得最大值為

PO=2,

所以西?麗的取值范圍是[8-8后,0].

例4半徑為2的圓。上有三點C,滿足殖+通+/=。，點P是圓內一點，則可.而+而+無

的取值范圍是()

A.[-4,14)A(T,14]c.[T,4)D(T,4]

【答案】A

【分析】直接兩次使用極化恒等式即可.

【解析】由市+通+/=6得4S+正=正

在平行四邊形A50C中，OB=OC,

故易知四邊形A30C是菱形，且3C=百

設四邊形A50C對角線的交點為E

--?---?---*2]----2---*2

由極化恒等式得P4-PO=P石——AO=PE-1

4

--?---?——?2-1--*2——>2

PBPC=PE——BC=PE-3

4

^^PA-Jd+PB+PC=2PE2-4

因為P是圓內一點，所以0W戶可<3

所以一4<2而2-4<14，W-4<PAPO+PB+PC<14，選A.

例5在AABC中，AC=2BC=4,ZACB為鈍角，M,N是邊上的兩個動點，且MN=1,若由1?國

3

的最小值為一，則cos/ACB=______.

4

1-375

【答案】-------

8

___.—?3

【分析】取的中點尸，由極化恒等式將“CM?CN的最小值為一”轉化為A5邊上的高。〃=1,然后利

4

用兩角差的的余弦公式求解.

【解析】取MN的中點P,則由極化恒等式得西.函=|國『一J兩2=|同

?：CMCN的最小值為-\CP\=1

4IImin

由平幾知識知：當CP_LAB時，CP最小.

如圖，作CH_LA8,H為垂足，則CH=1

又AC=2BC=4,所以NB=30。，sinA=-

4

I-3J5

所以cosNAC3=cos(150°—A)=----------.

8

A

例6已知直角三角形ABC中，NA=90°,AB=2,AC=4,點尸在以A為圓心且與邊2C相切的圓上，則

旃?定的最大值為()

16+167516+8君1656

A.--------------B.-------------C.—D.—

5555

B

/一1

L

【答案】D

【解析】設中點為。，

則而?定=而2_：沅2所『_；/20=|囹2_5,

又因為|PDL=M4+r=逐+[=美，所以（而?k=￡—5=?，

故選：D.

例7正方體ABCO-ABCQ棱長為2,E是棱A3的中點，尸是四邊形胴。。內一點（包含邊界），

―.―.3

且FEFD=）,當三棱錐廠-AED的體積最大時，跖與平面山狙人所成角的正弦值為（）

4

A.-B.叵C.—D.無

3352

【答案】A

?—■3

【分析】由條件所?即=——及極化恒等式入手，設的中點為G,貝U

4

2

FEFD=FG--DE=FG所以下石2=」，故點尸的軌跡是以G為球心，正為半徑的

44422

球被面所截得的半圓，當點尸在半圓弧的最高點時，三棱錐b-AED的體積最大，此時易求得跖與

平面ABB,A所成角的正弦值為;.

【解析】設DE的中點為G,

2122S3

則由極化恒等式得庵?麗=時—_DE~=FG~=_―,

444

——-21

所以EG=—,

2

故點尸的軌跡是以G為球心，變為半徑的球被面相所截得的半圓,

2

當點尸在半圓弧的最高點時，三棱錐尸-AED的體積最大，

此時易求得EF與平面ABB^所成角的正弦值為;.

【鞏固練習】

1.如圖，在平面四邊形ABC。中，。為2D的中點，且。4=3,0C=5.若兆方6=—7,K!|BC-DC=

2.矩形ABCD中，P為矩形A3CD所在平面內一點，PA=3,PC=4,矩形對角線AC=6,則麗?兩

值為.

3.若平面向量a,5滿足|2a—例W3,則“3的最小值為.

4.已知平面向量a,b,e滿足|e|=l,ae=\,be=~2,\a+b\=2,那么a力的最大值為.

5.在AABC中，已知3C=2,AB?AC^1,則AABC面積的最大值是.

__.___>___,__,__,___?_uumuum

6.已知單位向量？A，PB，PC滿足2PA+3P3+3尸。=0，則A3-AC的值為（）

7.已知研=1為=2,且向量函與無的夾角為120。，又|而|=1,則*.而的取值范圍為（）

A.[-1,1]B.[-1,3]C.[-3,1]D.[-3,3]

8.已知平面向量a,瓦c滿足卜|=1,。?%g,a-c=2,|2^-c|=2,那么B-c的最小值為.

jr------

9.已知銳角A43C的外接圓的半徑為1,ZB=-,則84的取值范圍為.

6

10.在AABC中，A6=3,AC=4,ZBAC=60。，若。是AABC所在平面內的一點，且AP=2,則麗?正

的最大值為.

11.已知點P是邊長為2g的正三角形ABC內切圓上的一點，則麗的取值范圍為.

12.已知正方形ABC。的邊長為1,中心為。，直線/經過中心。，交4B于點交CD于點、N,P為平面

上一點，若2加3=4協+（1-^）OC,則麗PN的最小值為.

13.設點尸為正三角形AABC的邊8c上的一個動點，當麗PC取得最小值時，sin/BIC的值為.

14.在平面直角坐標系xOy中，點A,3分別在x軸，y軸正半軸上移動，AB=2,若點尸滿足以PB=2,

則0P的取值范圍為.

15.在△ABC中，E,F分別是線段AB,AC的中點，點尸在直線上，若AABC的面積為2,則為PC+

BC之的最小值是.

16.在半徑為1的扇形A08中，若NAOB=60。，C為弧A8上的動點，A8與。C交于點P,則。尸的最小

值是.

17.如圖所示，正方體ABC。-ALBCLDI的棱長為2,MN是它的內切球的一條弦（我們把球面上任意兩點之

間的線段稱為球的弦）,P為正方體表面上的動點，當弦MN的長度最大時，屈?麗的取值范圍是

18.已知球。的半徑為1,是球面上的兩點，且A3=若，若點。是球面上任意一點，則麗?麗的

取值范圍是（）

13

A.2j_B.——C.D.

2,222°44

【答案或提示】

1.【答案】9

or）2____or）2

【提示】兩次使用極化恒等式，由麗?%萬=。4?-------得&）=8,BCDC=OC2---------=9.

44

2.【答案】一口

2

【提示】設矩形的對角線交點為0,由中.無=?。2一貯=。。2—9=匕￡盤，得尸02=1，

422

TBPD=PO2-^-=--9=--.

422

3.【答案】Q上

8

【解析】根據極化恒等式得：8〃小=（2〃+力）2—（2a—力）2=（2〃+力）2_92—9,

99

故“?》》-一，所以a年的最小值為

88

4.【答案】一J

4

【提示】由a?e=l,be=12得:ae—be=3,即（0一力）e=3f|0一例cos0=3

a-ft=-[|?+ft|2—|a-6|2]^--

44

5.【答案】72

【提示】取BC的中點為。，則福?恁=-----，所以=0

4

因為8c邊上的高線長不大于中線長，當中線就是高線時，面積最大，故AABC面積的最大值0.

6.【答案】A

__.__.2__.

【解析】2PA+3PB+3PC^0^：.RB+PC=--PA,

如圖,

設5C中點為D,則而=g（而+定）=—g可，且陷=閥=困|=1,

...P,A0三點共線，PD1BC,|PD|=||PC|=1,

/.△ABC為等腰三角形，

國寸一叵『半,

uiauumlUUittp|UUtti|2,4、2（7A/?Ys

：.AB-AC=\AD\-|CD|=^J=|.?：A.

7.【答案】C

【解析】連結4B,則48=2有設AB的中點為T,

由Q?麗=P/2—工至？=p/2—3,易知0WPTW2,所以一3WPT2—3W1

4

故—3W福?麗