專題01勾股定理

仁經、泉砒

勾股定理

1.（2022春?柳州期末）如圖，在RtAABC中，ZC=90%AC=5,BC=12,則AB=（）

A.12B.13C.14D.15

2.（2021秋?鳳翔縣期末）如圖，以RtAABC的三邊為直角邊分別向外作等腰直角三角形.若AB=杷,

則圖中陰影部分的面積為（）

A.3B.-C.3瓶D.3A/5

2

3.（2022春?哪陽區期末）小穎的媽媽用如圖的口杯喝花茶，由于吸管有點短，不小心斜滑到杯里，已知

口杯的內徑6on,口杯內部高度95，要使吸管不斜滑到杯里，下列吸管最短的是（）cm.

A.9B.10C.11D.12

4.（2022春?瓊海期末）勾股定理是中國幾何的根源，中華數學的精髓，諸如開方術、方程術、天元術等

技藝的誕生與發展，尋根探源，都與勾股定理有著密切關系，在一次數學活動中，數學小組發現如下

圖形：在AABC中，ZACB=90°,圖中以AB、BC、AC為邊的四邊形都是正方形，并且經測量得到

三個正方形的面積分別為225、400、S,則S的值為（）

5.（2021秋?市北區期末）如圖，在三角形ABC中，AB=AC=17,BC=16,點。為3c的中點，則點

。到AC的距離為（）

6.（2022春?北京期末）圖1是第七屆國際數學教育大會（/CME-7）會徽圖案，它是由一串有公共頂點O的

直角三角形（如圖2）演化而成的.如果圖2中的。4,=A4=4A=3=44=1，那么Q4的長為（

）

A.VioB.4C.3D.272

二.勾股定理的證明

7.（2022春?泰江區期末）勾股定理是歷史上第一個把數與形聯系起來的定理，其證明是論證幾何的發

端.下面四幅圖中不能證明勾股定理的是（）

8.（2021秋?欒城區校級期末）如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案,

已知大正方形面積為81,小正方形面積為16,若用x,y表示直角三角形的兩直角邊（x>y）,請觀察

圖案，指出以下關系式中不正確的是（）

A.x2+y2=81B.x+y=\3C.2孫+16=81D.x—y=4

9.（2021春?撫順期末）勾股定理是人類早期發現并證明的重要數學定理之一，這是歷史上第一個把數與

形聯系起來的定理，其證明是論證幾何的發端.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）

10.（2020春?高唐縣期末）如圖，“趙爽弦圖”由4個全等的直角三角形所圍成，在RtAABC中，AC=b,

BC=a,N4CB=9O。，若圖中大正方形的面積為48,小正方形的面積為6,則（a+bf的值為（）

A.60B.79C.84D.90

11.（2020春?乳山市期末）如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形MCD與正方形

EFGH.連接EG,相交于點。、與相交于點P.若GO=GP,則邈盛竺生的值是.

S正方形EFGH

D

B

12.（2022春?大觀區校級期末）如圖，對任意符合條件的直角三角形54。，繞其銳角頂點逆時針旋轉90。

得AO4E,所以44E=90。，且四邊形ACFD是一個正方形，它的面積和四邊形ABFE面積相等，而

四邊形面積等于RtABAE和RtABFE的面積之和，根據圖形寫出一種證明勾股定理的方法.

三.勾股定理的逆定理

13.（2022春?靖西市期末）在AABC中，^AC2-BC2=AB2,則（）

A.ZA=90°B.ZB=9O0C.ZC=90°D.不能確定

14.（2022春?普蘭店區期末）下列各組數中能作為直角三角形的三邊長的是（）

A.6,7,8B.5,6,7C.4.5,6,7.5D.4,5,6

15.（2021秋?濱海縣期末）下列四組數據中，不能作為直角三角形三邊長的是（）

A.1,B2B.5,12,13C.5,6,7D.7,24,25

16.（2022春?興寧區校級期末）以下列各組數為邊長能構成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.2,3,4C.1,1,拒D.6,8,11

17.（2022春?鳳泉區校級期末）滿足下列條件時，AA5c不是直角三角形的是（）

A.AB=1,BC=2,AC=A/3B.AB2-BC2=AC2

C.ZA—NB=NCD.ZA:ZB:ZC=3:4:5

18.（2021秋?萊陽市期末）下列不能判定AABC是直角三角形的是（）

A.a2+b2-c2=0B.a:b:c=3:4:5

C.ZA:ZB:ZC=3:4:5D.ZA+ZB=ZC

19.（2022春?廉江市期末）下列各組數據中，不能作為直角三角形邊長的是（）

A.應，應，2B.5,7,11C.9,12,15D.15,20,25

四.勾股數

20.（2021秋?常寧市期末）下列各組數中，不是勾股數的一組是（）

A.2,3,4B.3,4,5C.6,8,10D.5,12,13

21.（2021秋?揭西縣期末）下列各組數中，是勾股數的是（）

A.1,y/5,2B.0.3,0.4,0.5C.8,15,17D.5,6,7

22.（2022春?曲靖期末）觀察下面幾組勾股數，并尋找規律：

①4,3,5；

②6,8,10；

③8,15,17；

@10,24,26；

請你根據規律寫出第⑤組勾股數是.

23.（2022春?寧江區校級期末）下列各組數，是勾股數的是（）

A.B.0.3,0.4,0.5C.6,7,8D.5,12,13

345

24.（2022春?來賓期末）閱讀理解:如果一個正整數機能表示為兩個正整數a,b的平方和，即加,

那么稱機為廣義勾股數，則下面的四個結論：①7不是廣義勾股數；②13是廣義勾股數；③兩個廣義

勾股數的和是廣義勾股數；④兩個廣義勾股數的積是廣義勾股數.依次正確的是（）

A.②④B.①②④C.①②D.①④

五.勾股定理的應用

25.（2022春?惠州期末）如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內

走出了一條“路”.他們僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草.他們少走的路長為（）

26.（2022春?夏津縣期末）如圖，長為12cm的橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和3,然后把中點C向

上拉升8c機至。點，則橡皮筋被拉長了（）

D

A.5cmB.6cmC.8cmD.10cm

27.（2022春?棗陽市期末）一個門框的尺寸如圖所示，下列長x寬型號（單位：加）的長方形薄木板能從

門框中通過的是（）

A.2.9x2.2B.2.8x2.3C.2.7x2.4D.2.6x2.5

28.（2021秋?朝陽區期末）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內部底面直徑是9c加，內壁高

12cm.若這支鉛筆長為18cm,則這只鉛筆在筆筒外面部分長度不可能的是（）

A.3cmB.5cmC.6cmD.8cm

29.（2021秋?禪城區期末）如圖有一個水池，水面3E的寬為16尺，在水池的中央有一根蘆葦，它高出

水面2尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，則這個蘆葦的高度是（

）

A.26尺B.24尺C.17尺D.15尺

30.（2021秋?中牟縣期末）《九章算術》是中國古代的數學代表作，書中記載：今有開門去鬧（讀kun,

門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），從

點O處推開雙門，雙門間隙CD的長度為2寸,點C和點。到門檻AB的距離都為1尺（1尺=10寸），

則鉆的長是（）

鄉寸

門檻

圖1圖2

A.104寸B.101寸C.52寸D.50.5寸

六.平面展開-最短路徑問題

31.（2022春?耶城區期末）如圖，臺階階梯每一￡三高20加，寬30cm,長50。〃，一只螞蟻從A點爬到3

點，最短路程是（）cm.

A.10屈B.50君C.120D.130

32.（2022春?長壽區期末）如圖，長方體的底面邊長分別為2c機和4c帆，高為5cm.若一只螞蟻從P點開

始經過4個側面爬行一圈到達。點，則螞蟻爬行的最短路徑長為cm.

33.（2021秋?麥積區期末）如圖，圓柱形玻璃杯高為10c〃z,底面周長為24aw,在杯內壁離杯底3c%的點

3處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2c機與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處

到內壁3處的最短距離為c/n.（杯壁厚度不計）

34.（2021秋?福田區校級期末）如圖，在長方體透明容器（無蓋）內的點3處有一滴糖漿，容器外A點處

的螞蟻想沿容器壁爬到容器內吃糖漿，已知容器長為5a〃，寬為3c機，高為4s,點A距底部匕”，請

問螞蟻需爬行的最短距離是（容器壁厚度不計）（）

A.3'^vicmB.IQcmC.5舊cmD.Jll3cm

35.（2021秋?高新區校級期末）如圖，教室的墻面ADEF與地面ABCD垂直，點尸在墻面上.若上4=AB=5

米，點P到距的距離是3米，有一只螞蟻要從點P爬到點3,它的最短行程是米.

優逡機洲噩Q

1.（2022春?威寧縣期末）如圖，在AABC中，AB=AC=5,BC=6,則AC邊上的高的長為（

)

D.5

5

2.（2022春?景縣期末）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°，點。是鉆的中點，且。。=正，如果RtAABC

2

的面積為1,則它的周長為（）

■^5+1

B.6+1C.君+2D.75+3

2

3.（2021秋?船山區校級期末）如圖，在6個邊長為1的小正方形及其部分對角線構成的圖形中，如圖從

A點到3點只能沿圖中的線段走，那么從A點到3點的最短距離的走法共有（）

A.1種B.2種C.3種D.4種

4.（2022春?莘縣期末）如圖，“趙爽弦圖”由4個完全一樣的直角三角形所圍成，在RtAABC中，AC=b,

BC=a,ZACB=90°,若圖中大正方形的面積為60,小正方形的面積為10,則（a+6）?的值為

5.（2022春?大觀區校級期末）如圖，對任意符合條件的直角三角形助C,繞其銳角頂點逆時針旋轉90。

得S4E,所以N54E=90。，且四邊形ACFD是一個正方形，它的面積和四邊形AfiFE面積相等，而

四邊形ABFE面積等于RtABAE和RtABFE的面積之和，根據圖形寫出一種證明勾股定理的方法.

bD

6.(2022春嘀橋區校級期末)如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AB=10cm,AC=6cm,動點P從

3出發沿射線3C以kv〃/s的速度運動，設運動時間為f(s).

(1)求邊的長.

(2)當AAB尸為等腰三角形時，求f的值.

7.(2021秋?密山市校級期末)已知：如圖1,RtAABC中，ZACB=90°,。為AB中點，DE、DF分

別交AC于E,交BC于F,且D￡_LDF.

(1)如果C4=CB,求證：AE2+BF2=EF2；

(2)如圖2,如果C4<CB,(1)中結論4序+防2=所2還能成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說

明理由.

8.(2022春?韓城市期末)已知：如圖，四邊形ABCD,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,且AB_L3C.求

四邊形ABC。的面積.

9.(2022春?鼓樓區校級期末)如圖，在AABC中，AD=15,AC=12,DC=9,點3是8延長線上

一點，連接至，若AB=20.求：AABD的面積.

BDC

10.（2022春?永定區期末）如圖，一架梯子至長13米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻5米.

（1）這個梯子的頂端距地面有多高？

（2）如果梯子的頂端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑動了多少米？

11.（2022春?慈溪市期末）如圖，一條筆直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的增面上，一端在墻面A處，另

一端在地面3處，墻角記為點C.

（1）若AB=6.5米，3C=2.5米.

①竹竿的頂端A沿墻下滑1米，那么點3將向外移動多少米？

②竹竿的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點3向外移動的距離，有可能相等嗎？如果不可能,請說明理由；

如果可能，請求出移動的距離（保留根號）.

（2）若AC=3C,則頂端A下滑的距離與底端3外移的距離，有可能相等嗎？若能相等，請說明理由；若

不等，請比較頂端A下滑的距離與底端6外移的距離的大小.

12.（2021秋?隨縣期末）如圖1所示，長方形是由兩個正方形拼成的，正方形的邊長為。，對角線為6,

長方形對角線為c.一只螞蟻從A點爬行到C點.

（1）求螞蟻爬行的最短路線長（只能按箭頭所示的三條路線走），并說明理由；

（2）如果把右邊的正方形由C沿EF翻轉90。得到如圖2所示的正方體相鄰的兩個面（實線表示），貝I螞

蟻從A點到C點的最短路線長是多少？請在圖2中畫出路線圖，若與圖中的線段有交點，則要標明并說明

交點的準確位置.（可測量猜想判斷）

圖2

專題01勾股定理

《隹翼泉砒題

勾股定理

36.(2022春?柳州期末)如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=5,BC=12,則AB=(

A.12

【分析】根據勾股定理直接求即可.

【解答】解：在RtAABC中，ZC=90°,

由勾股定理得：AB=yjAC2+BC2=^52+122=13.

故選：B.

37.(2021秋?鳳翔縣期末)如圖，以RtAABC的三邊為直角邊分別向外作等腰直角三角

形.若AB=g,則圖中陰影部分的面積為()

C.30D.3#)

【分析】根據勾股定理得到BC2+AC2=AB2=3，根據三角形的面積公式計算，得到答案.

【解答】解：由勾股定理得：BC2+AC2=AB2=(^)2=3,

則S陰影部分+|xc2=1(BC2+AC2+A52)=3,

故選：A.

38.（2022春?員耶日區期末）小穎的媽媽用如圖的口杯喝花茶，由于吸管有點短，不小心斜

滑到杯里，已知口杯的內徑6a〃，口杯內部高度9cM7,要使吸管不斜滑到杯里，下列吸

管最短的是（）ctn.

A.9B.10C.11D.12

【分析】連接AB,利用勾股定理求出AB的長，再比較大小即可.

【解答】解：如圖，連接

3

由題意知，BC=6cm,AC9cm,

由勾股定理得，AB=7AC2+BC-=府+9』=3JB（aw）,

3歷＜11,

故選：C.

39.（2022春?瓊海期末）勾股定理是中國幾何的根源，中華數學的精髓，諸如開方術、方

程術、天元術等技藝的誕生與發展，尋根探源，都與勾股定理有著密切關系，在一次數

學活動中，數學小組發現如下圖形：在AABC中，ZACB=90°,圖中以AB、BC、AC

為邊的四邊形都是正方形，并且經測量得到三個正方形的面積分別為225、400、S,

則S的值為（）

A.25B.175C.600D.625

【分析】由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,直接代入計算即可.

【解答】解：在AA5c中，Z4cB=90。，

由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

.-.225+400=5',

，S=625.

故選：D.

40.（2021秋?市北區期末）如圖，在三角形ASC中，AB=AC=17,BC=16,點。為8C

的中點，則點。到AC的距離為（）

【分析】連接AD，過點。作DE，AC于點E,根據已知和等腰三角形的性質得出AD，

和8=8,根據勾股定理求出4）,根據三角形的面積公式求出即可.

【解答】解：如圖，連接A3,過點。作DELAC于點E,DE的長即為所求，

■：AB=AC,。為BC的中點，BC=16,

:.AD±BC,BD=DC=8,

在RtAADB中，由勾股定理得：AD=4AC2-CD2=V172-82=15,

SMnc=2-AD2CD=-ACDE,

,-xl5x8=-xl7-Z）E,

22

解得。石=空

17

故選：D.

41.（2022春?北京期末）圖1是第七屆國際數學教育大會（/。跖-7）會徽圖案，它是由一串

有公共頂點O的直角三角形（如圖2）演化而成的.如果圖2中的

=44=44=??==1,那么。4g的長為（）

A.VioB.4C.3D.2A/2

【分析】OA=I，根據勾股定理可得。4=爐力=應，€>%=?垃）2=6,找至U

。4=冊的規律，即可計算的長.

【解答】解：:。4j=l,

由勾股定理可得=#+12=①,

04=?歷+f=5

OAn='Jn,

=花=20.

故選：D.

二.勾股定理的證明

42.（2022春?泰江區期末）勾股定理是歷史上第一個把數與形聯系起來的定理，其證明是

論證幾何的發端.下面四幅圖中不能證明勾股定理的是（）

A.

【分析】勾股定理有兩條直角邊，一條斜邊，共三個量，根據勾股定理的概念即可判斷.

【解答】解：在A選項中，由圖可知三個三角形的面積的和等于梯形的面積，

-abH—cibH—/=一（6/+b）（a+b）,

整理可得儲+k=02,

；.A選項可以證明勾股定理，

在5選項中，大正方形的面積等于四個三角形的面積加小正方形的面積，

4x—ab+C?=（a+,

整理得〃+/=。2,

選項可以證明勾股定理，

在C選項中，大正方形的面積等于四個三角形的面積加小正方形的面積,

4x—ab+(6-op=c~,

整理得4+〃=°2,

；.C選項可以說明勾股定理，

在。選項中，大正方形的面積等于四個矩形的面積的和，

（67+b）~=ci~+2ab+b-,

以上公式為完全平方公式，

選項不能說明勾股定理，

故選；D.

43.（2021秋?欒城區校級期末）如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成

的正方形圖案，已知大正方形面積為81,小正方形面積為16,若用x,y表示直角三

角形的兩直角邊（x>y）,請觀察圖案，指出以下關系式中不正確的是（）

A.尤?+>2=81B.x+y=13C.2;vy+16=81D.x—y=4

【分析】由題意］:①一②可得2肛=65記為③，①+③得到(x+y)2=146由

此即可判斷.

【解答】解：由題意黑

①一②可得2孫=65③，

2孫+16=81,

①+③得x2+2xy+y2=146,

x+y=J146,

①③④正確，②錯誤.

故選：B.

44.（2021春?撫順期末）勾股定理是人類早期發現并證明的重要數學定理之一，這是歷史

上第一個把數與形聯系起來的定理，其證明是論證幾何的發端.下面四幅圖中，不能證

明勾股定理的是（）

【分析】先表示出圖形中各個部分的面積，再判斷即可.

【解答】解：A>,：^ab+^c2+^ab=^（a+b\a+b）,

.?.整理得：a2+b2=c2,即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；

B、4xga6+c2=（°+。）2,

.?.整理得：a2+b2=c2,即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；

C>>.,4x^aZ?+（Z>-<7）2=c2,

.?.整理得：a2+b2=c2,即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；

。、根據圖形不能證明勾股定理，故本選項符合題意；

故選：D.

45.（2020春?高唐縣期末）如圖，“趙爽弦圖”由4個全等的直角三角形所圍成，在RtAABC

中，AC=b,BC=a,NACB=90。，若圖中大正方形的面積為48,小正方形的面積

為6,則（°+bf的值為（）

A.60B.79C.84D.90

【分析】根據圖形表示出小正方形的邊長為（6-。），再根據四個直角三角形的面積等于大

正方形的面積減去小正方形的面積求出2必，然后利用完全平方公式整理即可得解.

【解答】解：由圖可知，（6-°）2=6,

4x1=48-6=42,

2

2ab—42,

（a+6）2=3-a）2+4ab=6+2x42=90.

故選：D.

46.（2020春?乳山市期末）如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形

ABCD與正方形EFGH.連接EG,3。相交于點O、比）與相交于點尸.若GO=GP,

則$正方”的值是_2+夜

S正方形EFGH

D

B

【分析】先證明AB尸G3ABCG(ASA),得出PG=CG.設OG=PG=CG=x,則￡G=2x,

FG=日,再由勾股定理得出3。2=（4+28）%2,即可得出答案.

【解答】解：?.?四邊形￡FGH為正方形,

...NEGH=45。,ZFGH=90°,

?.?OG=GP,

Z.GOP=ZOPG=67.5°,

ZPBG=22.5°,

又???NO3C=45。，

.*.ZGBC=22.5°,

:?ZPBG=NGBC,

?.?NBGP=NBGC=900,BG=BG,

:.ABPG=ABCG(ASA),

:.PG=CG.

設OG=PG=CG=x,

?.?O為EG,BD的交點,

EG=2x，FG=0尤，

;四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”,

/.BF=CG=x，

BG=x+0尤，

BC2=BG2+CG2=x\y/2+1)2+x2=(4+2友)/,

..S正…(4+2吁

=2+四,

S正方形EFGH("x)-

故答案為：2+尬.

47.（2022春?大觀區校級期末）如圖，對任意符合條件的直角三角形BAC,繞其銳角頂

點逆時針旋轉90。得AD4E,所以44￡=90。，且四邊形ACFD是一個正方形，它的

面積和四邊形池在1面積相等，而四邊形ABFE面積等于RtABAE和RtABFE的面積之

和，根據圖形寫出一種證明勾股定理的方法.

bD

【分析】證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規則的圖形，然后利用四邊形

ABEE面積等于RtABAE和RtABFE的面積之和，化簡整理得到勾股定理.

【解答】解：由圖可得：

正方形ACFD的面積=四邊形ABFE的面積=RtABAE和RtABFE的面積之和，

即S正方形ACFD=SABAE+,

22

.b=lc+（.+。）（6-。）

"~2C2

整理得：a2+b2=c2.

三.勾股定理的逆定理

48.（2022春?靖西市期末）在AABC中，AC2-BC2=AB2,貝！J（）

A.ZA=9O0B.ZB=90°C.ZC=90°D.不能確定

【分析】由勾股定理的逆定理即可得到答案.

【解答】解：?.?AC2-BC2=AB2,

:.AC2=BC2+AB2,

.-.ZB=90°.

故選：B.

49.（2022春?普蘭店區期末）下列各組數中能作為直角三角形的三邊長的是（）

A.6,7,8B.5,6,7C.4.5,6,7.5D.4,5,6

【分析】根據勾股定理的逆定理，進行計算即可解答.

【解答】解：A、?:62+72=85,82=64,

62+72*82,

.-.6,7,8不能作為直角三角形的三邊長，

故A不符合題意；

B、?：52+62=61,72=49,

52+6?#7。，

.-.5,6,7不能作為直角三角形的三邊長，

故5不符合題意；

C、4.52+62=56.25,7.52=56.25,

.-.4.52+62=7.52,

.-.4.5,6,7.5能作為直角三角形的三邊長，

故C符合題意；

D、?.?42+52=41,6?=36,

.-.42+5。工62,

.-.4,5,6不能作為直角三角形的三邊長，

故。不符合題意；

故選：C.

50.（2021秋?濱海縣期末）下列四組數據中，不能作為直角三角形三邊長的是（）

A.1,百，2B.5,12,13C.5,6,7D.7,24,25

【分析】利用勾股定理逆定理進行判斷即可.

【解答】解：A、12+（＞/3）2=22,能構成直角三角形，故此選項不合題意；

B、52+122=132,能構成直角三角形，故此選項不符合題意；

C、52+62^72,不能構成直角三角形，故此選項符合題意；

D、72+242=252,能構成直角三角形，故此選項不合題意.

故選：C.

51.（2022春?興寧區校級期末）以下列各組數為邊長能構成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.2,3,4C.1,1,近D.6,8,11

【分析】根據勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個

三角形是直角三角形.如果沒有這種關系，這個就不是直角三角形，逐一判定即可.

【解答】解：A、42+52^62,不符合勾股定理的逆定理，不能構成直角三角形，故本選項

不符合題意；

B、22+32^42,不符合勾股定理的逆定理，不能構成直角三角形，故本選項不符合題意;

C、12+12=（A/2）2,符合勾股定理的逆定理，能構成直角三角形，故本選項符合題意；

D、62+82^112,不符合勾股定理的逆定理，不能構成直角三角形，故本選項不符合題意.

故選：C.

52.（2022春?鳳泉區校級期末）滿足下列條件時，AABC不是直角三角形的是（）

A.AB=1,BC=2,AC=73B.AB2-BC2=AC2

C.ZA-ZB=ZCD.ZA:ZB:ZC=3:4:5

【分析】根據勾股定理的逆定理和三角形內角和定理逐個判斷即可.

【解答】解：A.-.-12+（^）2=22,

AABC是直角三角形，不符合題意；

B、AB2-BC2=AC2,

AB2=BC2+AC2,即AABC是直角三角形，不符合題意；

C、ZA-ZB=ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

，NA=90。，即AABC是直角三角形，不符合題意；

D、?.?NA:N3:NC=3:4:5,ZA+ZB+ZC=180°,

;.NA=45。，4=60。，NC=75。，即AA5c不是直角三角形，符合題意.

故選：D.

53.(2021秋?萊陽市期末)下列不能判定AABC是直角三角形的是()

A.a2+b2-c2=0B.a:b:c=3:4:5

C.ZA:ZB:ZC=3:4:5D.ZA+ZB=ZC

【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方或最大角是否是

90°即可.

【解答】解：A、由4+62一/=0,可得1+62=02,故是直角三角形，不符合題意；

B、32+42=52,能構成直角三角形，不符合題意；

C>?.?ZA:ZB:ZC=3:4:5,:.ZC=180°x—--=75°,故不是直角三角形，符合題意；

3+4+5

D.-.-ZA+ZB=ZC,.-.ZC=90°,故是直角三角形，不符合題意；

故選：C.

54.(2022春?廉江市期末)下列各組數據中，不能作為直角三角形邊長的是()

A.忘，忘，2B.5,7,11C.9,12,15D.15,20,25

【分析】先分別求出兩小邊的平方和和最長邊的平方，看看是否相等即可.

【解答】解：A.v(V2)2+(^)2=2+2=4,22=4,

二(0)2+(0)2=22,

.?.以虛，血,2為邊的三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；

B.52+72=25+49=74,II2=121,

--.52+72^112,

.?.以5,6,11為邊的三角形不是直角三角形，故本選項符合題意；

C.-.-92+122=81+144=225,15?=225,

.-.92+122=152,

.?.以9,12,15為邊的三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；

D.15?+202=225+400=625,25?=625,

.-.152+202=252,

.?.以15,20,25為邊的三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；

故選：B.

四.勾股數

55.（2021秋?常寧市期末）下列各組數中，不是勾股數的一組是（）

A.2,3,4B.3,4,5C.6,8,10D.5,12,13

【分析】欲判斷是否為勾股數，必須根據勾股數是正整數，同時還需驗證兩小邊的平方和是

否等于最長邊的平方.

【解答】解：A、22+32^42,不是勾股數，此選項正確；

B、32+42=52,能構成直角三角形，是整數，故是勾股數，此選項錯誤；

C、62+82=102,三邊是整數，同時能構成直角三角形，故是勾股數，此選項錯誤；

D、52+122=132,是正整數，故是勾股數，此選項錯誤.

故選：A.

56.（2021秋?揭西縣期末）下列各組數中，是勾股數的是（）

A.1,A/5,2B.0.3,0.4,0.5C.8,15,17D.5,6,7

【分析】欲判斷是否為勾股數，必須根據兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方，從而得出

答案.

【解答】解：A1,02不是整數，不是勾股數；

80.3,0.4,0.5不是整數，不是勾股數；

C.82+152=172,是勾股數；

D.52+62^72,不是勾股數；

故選：C.

57.（2022春?曲靖期末）觀察下面幾組勾股數，并尋找規律：

①4,3,5；

②6,8,10；

③8,15,17；

@10,24,26；

請你根據規律寫出第⑤組勾股數是12,35,37.

【分析】根據前面的幾組數可以得到每組勾股數與各組的序號之間的關系，如果是第〃組數,

則這組數中的第一個數是2（〃+1）,第二個是：“（"+2）,第三個數是：（〃+1）2+1.根據這

個規律即可解答.

【解答】解：觀察前4組數據的規律可知：第一個數是2（〃+1）；第二個是：?（n+2）；第三

個數是：S+lA+l.

所以第⑤組勾股數是12,35,37.

故答案為：12,35,37.

58.(2022春?寧江區校級期末)下列各組數，是勾股數的是()

A.B.0.3,0.4,0.5C.6,7,8D.5,12,13

345

【分析】根據勾股數的定義：滿足4+尸的三個正整數，稱為勾股數判定即可.

【解答】解：A、不是整數，故不是勾股數，不符合題意；

B,不是整數，故不是勾股數，不符合題意；

C、62+72^82,不能構成直角三角形，不是勾股數，不符合題意；

D、52+122=132,能構成直角三角形，是正整數，故是勾股數，符合題意；

故選：D.

59.(2022春?來賓期末)閱讀理解：如果一個正整數能表示為兩個正整數a,b的平方

和，即機="+/，那么稱〃7為廣義勾股數，則下面的四個結論：①7不是廣義勾股數；

②13是廣義勾股數；③兩個廣義勾股數的和是廣義勾股數；④兩個廣義勾股數的積是

廣義勾股數.依次正確的是()

A.②④B.①②④C.①②D.①④

【分析】根據廣義勾股數的定義進行判斷即可.

【解答】解：①?.?7不能表示為兩個正整數的平方和，

，7不是廣義勾股數，故①結論正確；

@-.-13=22+32,

.?.13是廣義勾股數，故②結論正確；

③兩個廣義勾股數的和不一定是廣義勾股數，如5和10是廣義勾股數，但是它們的和不是

廣義勾股數，故③結論錯誤；

22

④設叫="+火m2=c+d,

2222

則mt-m2-(a+b)-(c+d)

=a2c2+crd2+b2c2+b2d2

=(a~c~+b~d~+2abed)++b2c~—2abed)

=(ac+bet)。+(ad-be)2,

以/=兒或℃=61時，兩個廣義勾股數的積不一定是廣義勾股數，

如2和2都是廣義勾股數，但2x2=4,4不是廣義勾股數，故④結論錯誤，

，依次正確的是①②.

故選：C.

五.勾股定理的應用

60.(2022春?惠州期末)如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數人為了避開拐角走“捷

徑”，在花圃內走出了一條“路”.他們僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草.他們少走的

路長為（）

A.2mB.3mC.3.5mD.4m

【分析】利用勾股定理求出4?的長，再根據少走的路長為計算即可.

【解答】解：由勾股定理得，AB=VAC2+BC2=V62+82=10（m）,

少走的路長為AC+8C-AB=6+8—10=4（租），

故選：D.

61.（2022春?夏津縣期末）如圖，長為12cm的橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和3,

然后把中點C向上拉升8cm至。點，則橡皮筋被拉長了（）

zTD\

~C鏟X

A.5cmB.6cmC.8cmD.10cm

【分析】根據勾股定理，可求出4）、皮）的長，則AD+BD-AB即為橡皮筋拉長的距離.

【解答】解：根據題意得：AD=BD,AC=BC,ABVCD,

則在RtAACD中，AC^-AB^6cm,CD=8cm；

2

根據勾股定理得：AD=VAC2+CD2=V62+82=10（cm）；

所以AD+BO—ABuZAD—ABuZO—lZuSCcm）；

即橡皮筋被拉長了8cm；

故選：C.

62.（2022春?棗陽市期末）一個門框的尺寸如圖所示，下列長x寬型號（單位：加）的長

方形薄木板能從門框中通過的是（）

A.2.9x2.2B.2.8x2.3C.2.7x2.4D.2.6x2.5

【分析】解答此題先要弄清題意，只要求出門框對角線的長再與已知薄木板的寬相比較即可

得出答案.

【解答】解：薄木板不能從門框內通過.理由如下：

連接AC,則AC與AB、3c構成直角三角形，

Ilm-

根據勾股定理得AC=VAS2+BC2=A/12+22=A/5?2.236>2.2.

只有2.9x22薄木板能從門框內通過,

故選：A.

63.（2021秋?朝陽區期末）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內部底面直徑是9cm,

內壁高12s.若這支鉛筆長為1862,則這只鉛筆在筆筒外面部分長度不可能的是（

)

A.3cmB.5cmC.6cmD.8cm

【分析】首先根據題意畫出圖形，利用勾股定理計算出AC的長度.然后求其差.

【解答】解：根據題意可得圖形：AB=12cm,BC=9cm,

在RtAABC中：AC=yjAB2+BC2=V122+92=15（cm）,

所以18-15=3（cm）,18-12=6（51）.

則這只鉛筆在筆筒外面部分長度在3cm~6cm之間.

觀察選項，只有選項。符合題意.

故選：D.

64.（2021秋?禪城區期末）如圖有一個水池，水面BE的寬為16尺，在水池的中央有一根

蘆葦，它高出水面2尺,如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊,它的頂端恰好到達岸邊的水面,

則這個蘆葦的高度是（）

A.26尺B.24尺C.17尺D.15尺

【分析】先設水池的深度為x尺，則這根蘆葦的長度為（x+2）尺，根據勾股定理可得方程

x2+82=（x+2）2,再解即可.

【解答】解：設水池的深度為x尺，由題意得：

/+8?=（x+2）2,

解得：x=15,

所以x+2=17.

即：這個蘆葦的高度是17尺.

故選：C.

65.（2021秋?中牟縣期末）《九章算術》是中國古代的數學代表作，書中記載：今有開門

去闌（讀如77,門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2

（圖2為圖1的平面示意圖），從點O處推開雙門，雙門間隙。的長度為2寸，點C和

點。到門檻池的距離都為1尺（1尺=10寸），則他的長是（）

A.104寸B.101寸C.52寸D.50.5寸

【分析】取項的中點O,過。作于E,根據勾股定理解答即可得到結論.

【解答】解：取的的中點O,過。作DEL至于E,如圖2所示：

由題意得：OA^OB=AD=BC,

設O4=OB=AD=3C=廠寸，

則=（寸），￡比=10寸，OE=-CD=\^,

2

，AE=（r-l）寸,

在RtAADE中，

AE2+DE-=AD2,即（—1）2+102=產,

解得：r=50.5,

.-.2r=101（寸），

;.AB=101寸，

故選：B.

圖2

六.平面展開-最短路徑問題

66.（2022春?邸城區期末）如圖，臺階階梯每一層高20。"，寬30cm,長50cm,一只螞

蟻從A點爬到B點、,最短路程是（）cm.

A.10789B.50>/5C.120D.130

【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據兩點之間線段最短進行解答.

【解答】解：如圖所示，

它的每一級的高為20cm,寬30cm,長50cm,

AB=A/502+1002=50y[5（cm）.

答：螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程是50氐根,

故選：B.

67.（2022春?長壽區期末）如圖，長方體的底面邊長分別為2c“2和，高為5cm.若一

只螞蟻從P點開始經過4個側面爬行一圈到達。點，則螞蟻爬行的最短路徑長為13

cm.

【分析】要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體展開，然后利用

兩點之間線段最短解答.

【解答】解:

?.?PA=2x(4+2)=12,QA=5

;.PQ=13.

故答案為：13.

68.（2021秋?麥積區期末）如圖，圓柱形玻璃杯高為10c〃z,