2024-2025學年高二數學上學期期中模擬卷

（江蘇專用）

（時間：120分鐘滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：蘇教版2019選擇性必修第一冊第1章?第3章。

5.難度系數：0.65o

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.經過兩點/（2,%）,8（一九4）的直線/的傾斜角為135°,則加的值為（）

A.-2B.1C.3D.4

【答案】B

【解析】經過兩點/（2,加）,網-，%4）的直線/的斜率為左=日，

m—4

又直線/的傾斜角為135。，所以^—=tanl350=-l,解得加=1.

故選：B.

2.求過兩點/（0,4）,3（4,6）,且圓心在直線》-2了-2=0上的圓的標準方程是（）

A.（x+4）2+3+iy=25B.（x+4）2+d）2=25

C.（x-4）2+（y+l）2=25D.（x-4）2+（y-l）2=25

【答案】D

【解析】設圓心坐標為C（2b+2,b）,由圓過兩點/（0,4）,B（4,6）,可得|4。|=田。|,

即［（2H2）-01+伍_4）2=［（26+2）-41+伍-6）2,解得6=1,

可得圓心為（4,1）,半徑為5,則所求圓的方程為（x-4y+（y-l）2=25.

故選：D.

3.已知雙曲線￡-《=1經過點幺卜,2拒)，且與橢圓反+其=1有相同的焦點，則雙曲線的標準方程為()

a2b2V'259

22222222

A.二-匕=1B.土一匕=1C.--^=1D.±-匕=1

142133106124

【答案】D

【解析:].??橢圓]+：=1焦點為(±4,0),雙曲線焦點為(±4,0),且c=4,

又/=/+〃=]6,解得。2=12,〃=4,

22

故雙曲線的方程為二-乙=1,

124

故選：D.

4.設0。<?;<90。，方程x2+)?cosa=l所表示的曲線是()

A.焦點在x軸上的橢圓B.焦點在x軸上的雙曲線

C.焦點在y軸上的橢圓D.焦點在y軸上的雙曲線

【答案】C

【解析】若0°<e<90。，則0<costz<l,

2

2y

曲線d+y2cosa=l,即，+1-1,

cosa

------>1，]表示焦點在〉軸上的橢圓.

COS6Z

cosa

故選：C

5.設尸為拋物線。:必=4尤的焦點，點A在C上，且在第一象限，若直線/尸的傾斜角為:，則|/尸|=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】如圖所示，拋物線及準線如圖所示，過點A作垂直準線于點B,

7T

過焦點F作尸C垂直于AB于點C,由題意可知p=2,ZAFx=NFAC=§,

根據拋物線的定義以尸|=以同=恒。+Q同

在RS4FC中，\AC\=\AF\-cos^=^\AF\,乂忸C|=p=2,

所以M司=|/同=J/司+2,

解得M尸1=4.

故選：C.

22

6.已知直線/：尤-了+3=0與雙曲線C：三-勺=1(。>0,6>0)交于A,B兩點，點尸(1,4)是弦48的中點,

ab

則雙曲線。的漸近線方程是()

A.y=—xB.y=2xC.y=-xD.y=4x

42

【答案】B

2222

【解析】解：設，(再/)網與外)，可得'-4=1,&__五

aba1b2~

兩式相減可得,

ab

點尸(1,4)是弦/B的中點，且直線/：x-y+3=0,

可得為+%2=2,必+必=4,yi-y2=xi-x2,

即有加=4a2，即6=2〃，

雙曲線的漸近線方程為歹=±2x.經驗證此時直線與雙曲線有兩個交點.

故選：B.

7.已知函數〃x)=/-8x,且點尸(x,y)滿足/(無)+〃-y)W32,/(y)WO,若記點P構成的圖形為O,

則。的面積是()

A.——16百B.——■^16^3C.64兀-16百D.64+166

【答案】A

,、,[f(x\+/(-y)<32[(x2-8x)+(y2+8^1<32

【解析】將函數表達式/x=--8x代入條件[</〃可得八，>->,

1/⑺V。p-8y<0

即骯-4）2+（了+4）匕64

（0<^<8

所以區域O即為圓（彳-勺？+（y+4）2464的內部位于x軸上方的部分，

即該圓的;去掉一個底為86，高為4的三角形，

故所求面積為5=工芻-4?4=%-166.

323

故選：A.

8.已知橢圓C:1+,=l的一個焦點為八點P,。是C上關于原點對稱的兩點.則歸開+6忸尸|的取值

范圍為（）

A.[2,26]B.[51,52]C.[51,76]D.[52,76]

【答案】C

【解析】由對稱性和橢圓定義可知|尸尸|+|。同=2a=10,其中CM"7丁=3，

故I尸尸「+6\QF\=|FF|2+6（10-|PF|）=|PF|2-6|PF|+60=（|FF|-3）2+51,

不妨設尸（3,0）,P{m,n）,-5<m<5,

貝|J|P尸「=（加一3『+/=（機一3『+16-^|^=等一6機+25=]即一51,

故當加=5時，|尸尸『取得最小值，最小值為4,

當機=-5時，|尸殲取得最大值，最大值為64,

故忸同e[2,8],

故當歸尸|=3時，|尸殲+6以川取得最小值,最小值為51,

?尸|=8時,|尸殲+610尸|取得最大值，最大值為25+51=76,

ik\PF^+6\QF\的取值范圍是[51,76].

故選：C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知直線/：>="-。+1,下列說法正確的是()

A.直線/過定點(-M)

B.當。=1時，/關于無軸的對稱直線為尤+了=0

C.直線/一定經過第四象限

D.點尸(3,-1)到直線/的最大距離為20

【答案】BD

【解析】對于A,直線/:>=辦-a+l=a(x-l)+l,所以直線/過定點0(1,1),故A錯誤；

對于B.當。=1時，直線方程為了=無，/關于x軸的對稱直線為x+y=O,故B正確；

對于C,當。=1時，直線方程為了=工，直線/不經過第四象限，故C錯誤；

對于D,如圖所示：

設PHL,由圖象知：\PQ\>\PH\,點尸(3,-1)到直線I的最大距離為d=<(3-1)2+(-1-I)?=2/,故

D正確；

故選：BD

10.已知拋物線J?=2px(p〉0)的焦點為尸，N3是經過拋物線焦點尸的弦，M是線段N5的中點，經過

點B,M作拋物線的準線/的垂線/C,BD,MN,垂足分別是C,D,N,其中交拋物線于點0,

連接。凡NF,NB,NA,則下列說法正確的是()

A.\MN\=^AB\B.FNVAB

C.0是線段MN的一個三等分點D.AQFM=ZQMF

【答案】ABD

【解析】如圖，由拋物線的定義,

對于A,得|/。=|/司，忸必=忸丹，乂=,則|九困」'司；忸司=；|/同,A正確;

對于B,^\MN\=^\AB\,\AM\=\MB\,得pW|=MM，所以ZA￡4N=NMS.

rfffZMNA=ZCAN,所以NM4N=/C4N,所以AANC咨AANF,

可知//CN=Z4FN=90。，所以W_L4B,B正確；

對于D,在Rt△跖VF中，|0叫=|Q耳，可知@F=NQFN,所以=D正確；

對于C,由/即/=/。兒行，可知尸卜|。加|,所以|紗卜|0赫|,即。是MN的中點，C不正確.

故選：ABD.

11.直線嚴船與雙曲線［-1-I交于尸兩點，點P位于第一象限，過點P作x軸的垂線，垂足為N,點

下為雙曲線的左焦點，則（）

A.若|尸0|=2將，則PFLQF

B.若PFLQF,則△尸。尸的面積為4

PF

D.|=|-|兩|的最小值為4

【答案】AD

【解析】設雙曲線右焦點為用，由題意可知，四邊形尸尸。片為平行四邊形，

由雙曲線?-《=1可知：a=2,b=0c=不,

對于A,因為戶0|=2療，所以戶。|=但用，所以四邊形打‘06為矩形，所以刊FQF,故A正確；

對于B,據雙曲線定義可知：|尸尸尸團=4,|歷|=2將,

若尸7F則四邊形PFQF、為矩形，

則|尸尸產+|尸同2TMi所以伊司_|際|）2+2浮忸耳卜陽「，

即42+2|尸川。用=（2行>，所以|尸司附|=6,所以\PF\\QF\=6,

所以邑物=J尸網°司=36=3,

故B不正確;

對于C,由雙曲線的方程可知，

在RtAPFN中，空■=卜"『=F+E=hJ尸N『

7W|丫|印『r?Arl2AIIArl2

又因為雙曲線漸近線方程為：y=±^x,所以￡=凝下〈李,

/2FN2

所以FWPMIW，即牖,耳故c錯誤;

對于D,I尸尸IT則=2a+|尸用一|尸川=4+|尸耳TPAf24dl冏4尸機。

當且僅當|SH尸M時，|尸--|尸解取到最小值為4,故D正確.

故選：AD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若2x+即-2=0與x-y+a=O平行，則兩直線之間的距離為.

【答案】昱

2

【解析】,??直線4與4平行，???：2=/三7-。2,，解得4=-2,

1-1a

二?直線4：x-V-1=0,直線（：i->-2=0,

直線/,與4之間的距離d=卜IM"=—,

_V1+12

故答案為：.

13.已知點/(—2,0),5(2,0),若圓(x-a+l)z+(y-a-2)2=l上存在點M滿足疝.指=5，則實數a的取

值范圍是.

后+1亞-1

【答案】-2'-2-

【解析】由題意可知：圓(x-a+l)2+(y-a-2)2=l的圓心C(a-l,a+2),半徑廠=1,

LlUUUULLULILUUllUUU.ULUUUILUUL

貝ij跖4=M9+O4Affi=MO+OB=MO-Ql,其中。為坐標原點,

可得疝.施=(荻+叫.(荻一珂=該?一涼=荻2_4=5,貝小荻卜3,

所以”的軌跡是以。為圓心，r=3的圓,

由題意可知：圓C與圓。有公共點，貝|尺一廠引。口4尺+廠,

即2W^(0-1)2+(?+2)2<4,解得一"+1<a<臼T

所以實數。的取值范圍是一誓上1,也|二1

.田iV23+1V23-1

故答案為：———,——.

14.已知拋物線C：/=2"(夕＞0)的焦點為F，圓M:(x-Xo)2+(y-而『=戶(廠＞0),圓心”是拋物

線C上一點，直線/：x=/gxj,圓/與線段〃/相交于點A,與直線/交于E,G兩點，且

77T

NEMGR,^\M^\=2\AF\,則拋物線方程為.

【答案】F=2&

]TT

如圖，過點M作于點K,則NEKM=—/EMG=—,

23

由圖知|隧|=x0-孑=rcos]=gr①,

2

由|M4|=2|/刊可得，r=||^|=|^(x0-1)+10②,

又點A/4,而）在拋物線/=2/上，可得，2px0=10,即內=5③,

2

1g「

把①式代入②式，-r2+10=—r,解得，r=M，

44

回代入①可得，/=勺如，代入③式整理得，p2+帚7。=。,

解得，0=石或0=-20（舍去），故拋物線方程為：丁=2氐.

故答案為：y1=2亞x.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）已知直線4：2x+3y-2=0,12：小+（2機-1）＞+1=0,其中加為實數.

（1）當4〃4時，求直線4，。之間的距離；

（2）當〃7=1時，求過直線/1,4的交點，且垂直于直線x-2y+4=0的直線方程.

【解析】（1）由得2（2冽-1）=3m，解得加=2,...................................................2分

止匕時直線《：2x+3y-2=Q,l2：2x+3y+l=0,乙，不重合，.................4分

則直線4,4之間的距離為華斗=跡；...................................6分

V4+913

(2)當機=1時，，2：x+_y+l=0,

2x+3y—2=0

聯立解得％=—5,>=4,..............................................................................9分

x+y+1=0

又直線x-2尸4=0斜率為:，.............................................10分

故過直線"4的交點，且垂直于直線工-2了+4=0的直線方程為y-4=-2仁+5）,12分

即2x+>+6=013分

16.（15分）已知圓C過兩點/（一2,0）,5（2,4）,且圓心C在直線2尤一了一4=0上.

⑴求圓C的方程；

⑵過點P（6,g）作圓C的切線，求切線方程.

【解析】(1)根據題意，因為圓C過兩點/(-2,0),8(2,4),

設22的中點為則M(0,2),

4-0

因為g=。,”=1，所以48的中垂線方程為y-2=-(x-0),即y=2-x

2一(一夕

fy=2-xlx=2

又因為圓心在直線2x-y-4=0上，聯立、解得..........3分

[2x-y-4=0()=0

所以圓心C(2,0),半徑『=忸。=4,故圓的方程為(X-2)2+/=16；.........................5分

(2)圓(x-2)2+/=16的圓心為C(2,0),半徑,=忸。|=4,.........................................6分

當過點P的切線的斜率不存在時，此時直線x=6與圓C相切；.................8分

當過點尸的切線斜率在存在時，設切線方程為y-G=Mx-6),

即fcc-y+g-6左=0(*),....................................................................................................9分

由圓心C到切線的距離怛叫=4,

即1642—8園+3=16左？+16,可得上=一^1,............................................................12、分

24

將左=一至1代入(*),得切線方程為了-6=-m8^-6)，即了=一電lx+以1,14分

綜上，所求切線方程為x=6或＞=-電ix+D2.......................................................15分

244

17.(15分)2024年4月30日17時46分，神舟十七號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙.返

回艙的軸截面可近似看作是由半個橢圓和一段圓弧組成的“果圓”.如圖，在平面直角坐標系中，某“果

圓”中圓弧經過橢圓的一個焦點廠(0,-1)和短軸的兩個頂點(2,0)與(-2,0).

⑴寫出圖中“果圓”的方程;

⑵直線＞=x交該“果圓”于/、2兩點，求弦的長度(精確至！J0.01).

【解析】(1)因為橢圓的一個焦點尸(0,-1)和短軸的兩個頂點(2,0)與(-2,0).

可得c=l,Z>=2,即/=5,

22

所以半個橢圓的方程為3+q=l，(yN0);.......................................................................2分

圓弧經過橢圓的一個焦點廠(0,-1)和短軸的兩個頂點(2,0)與(-2,0),

設圓弧方程為―+。-廳=產,(”0),..............................................................................4分

利用卜17|=』22+/,解得"■!，所以r=g，

得/+1一|]W，(y<°)....................................................................................................6分

22

3I嚀，("0)

所以果圓方程為\+q=i,(j^o),一+"7分

3-V41

3225X=---------

—+y=了，旌°),解得.

(2)由,「得4，10分

3-V41

y=x廣一

22

?+q=L(y之。)

由<13分

y=%

所以Ma=0|苧-

15分

18.(17分)己知拋物線。:r=2力(p>0)的焦點為尸，點。在。上，且|。可的最小值為1.

(1)求。的方程；

(2)過點M(3,-2)的直線與。相交于A,B兩點，過點N(3,-6)的直線與。相交于3,C兩點，且A,C

不重合，判斷直線/C是否過定點.若是，求出該定點；若不是，請說明理由.

【解析】(1)由題意可設。(機,〃)，則/=2p%...............................................................1分

則|”|的最小值為與，則與=1，得。=2...........................................................................4分

所以。的方程為好=以.....................................................6分

(2)因為4C不重合，所以直線BC,NC的斜率必然存在.

設/(字%:4字乂1j

k=%f4=%+2

直線的斜率9一必二K一汽+必一'"一￡_3

44

%-12_y=2yo+12

得必=%+2一%一九+29分

kr%一切_4一力+6

直線BC的斜率演。一1——許一第一匚

44

心126%+12

得乂=—%=~7~

%+6了2+6

2%+126乃+12,

由必=_=一2；，可得％%=1212分

%+2%+6

k二Af_4

AC

直線ZC的斜率~y^-yl~y0+y2.

4

(2A

4X義工=曳山=」一(x+3).15分

所以直線/C的方程了=----~-^-T+%=

%+了2147%+%%+%%+%

故直線AC過定點(-3,0)...................................................17分

22

19.(17分)已知雙曲線C：^-}=lg>0,6>0)的離心率為近，點(3,-l)在雙曲線C上.過C的左焦

點尸作直線/交C的左支于/、B兩點.

(1)求雙曲線C的方程.

(2)若可(-2,0),試問：是否存在直線/,使得點M在以N3為直徑的圓上？若存在出直線/的方程；若

不存在，說明理由.

(3)點尸(-4,2),直線/尸交直線》=-2于點。.設直線Q4。8的斜率分別左、k2,求證：左-匕為定

值.

22

【解析】(I)由雙曲線l的離心率為VL且M(3,T)在雙曲線C上,

ab

可得e，=&,解得/=86=8,................................................................................2分

a

c2=a2+b2

所以雙曲線的方程為《一片=1...................