學年余姚市高二數學第一學期10月質檢試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的準線方程是（）A.B.CD.2.直線和直線，則“”是“”的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.如圖，在平行六面體中，，，，點P在上，且，則（）A. B. C. D.4.已知，是橢圓：的兩個焦點，A，是橢圓上關于軸對稱的不同的兩點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.5.如圖，在棱長為的正方體中，若點是棱上一點，則滿足的點的個數為（）A.10 B.8 C.6 D.46.已知拋物線和圓，點F是拋物線C的焦點，圓M上的兩點滿足，，其中O是坐標原點，動點P在圓M上運動，則點P到直線AB的最大距離為（）A.B.C. D.7.如圖，三棱柱滿足棱長都相等且平面，D是棱中點，E是棱上的動點．設，隨著x增大，平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角是（）A.先增大再減小 B.減小 C.增大 D.先減小再增大8.如圖，分別為雙曲線的左、右焦點，過點作直線，使直線與圓相切于點P,設直線交雙曲線的左右兩支分別于A、B兩點（A、B位于線段上），若,則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.已知直線的方向向量是，兩個平面的法向量分別是，則下列說法中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10.已知直線交橢圓于A，B兩點，，為橢圓的左、右焦點，M，N為橢圓的左、右頂點，在橢圓上與關于直線l的對稱點為Q，則（）A.若，則橢圓的離心率為B.若，則橢圓的離心率為C.D.若直線平行于x軸，則11.如圖，在棱長為6正方體中，分別為的中點，點是正方形面內（包含邊界）動點，則（）A.與所成角為B.平面截正方體所得截面的面積為C.平面D.若，則三棱錐的體積最大值是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線：，則直線過定點________；若直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，則這樣的直線有________條．13.已知圓，直線，為上的動點，過點作圓的切線，切點為，則的最小值為___________.14.如圖，在棱長為4的正方體中，E為棱BC的中點，P是底面ABCD內的一點（包含邊界），且，則線段的長度的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓C：，點，點．（1）過點P作圓C的切線l，求出l的方程；（2）設A為圓C上的動點，G為三角形APQ的重心，求動點G的軌跡方程．16.如圖，在梯形ABCD中，，，，四邊形ACFE為矩形，平面平面，，點M是線段EF的中點．（1）求平面MAB與平面EAD所成銳二面角的余弦值；（2）求出直線CD到平面MAB的距離．17.已知平面內兩個定點，滿足直線與斜率之積為的動點的軌跡為曲線，直線與曲線交于不同兩點．（1）求曲線的軌跡方程；（2）若直線和斜率之積為，試證明直線過定點，并求出這個定點坐標．18.圖是直角梯形，，，，，，，以為折痕將折起，使點到達的位置，且，如圖.（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點，使得到平面的距離為？若存在，求出二面角的大小；若不存在，說明理由.19.已知橢圓的焦距為，且過點．（1）求的方程．（2）記和分別是橢圓的左、右焦點．設是橢圓上一個動點且縱坐標不為．直線交橢圓于點（異于），直線交橢圓于點（異于）．若的中點為，求三角形面積的最大值．2024學年余姚市高二數學第一學期10月質檢試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的準線方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由拋物線方程結合準線定義計算即可得.【詳解】由可得，故，且開口向下，故拋物線的準線方程是.故選：C.2.直線和直線，則“”是“”的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由題意先求出的充要條件，然后根據充分不必要條件的定義判斷即可.【詳解】由題設，解得或.故，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：B.3.如圖，在平行六面體中，，，，點P在上，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結合幾何圖形，利用向量的線性運算公式，即可求解.【詳解】，，.故選：A4.已知，是橢圓：的兩個焦點，A，是橢圓上關于軸對稱的不同的兩點，則的取值范圍為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設，由橢圓性質和已知條件得，由兩點間的距離公式得，然后化簡、換元結合二次函數單調性可求【詳解】由題意，設，由于A，是橢圓上關于軸對稱的不同的兩點，所以，又,令，因為，所以，所以，由于對稱軸為，所以在單調遞減，所以，又，即，所以故選：D5.如圖，在棱長為正方體中，若點是棱上一點，則滿足的點的個數為（）A.10 B.8 C.6 D.4【答案】C【解析】【分析】首先連接輔助線，結合給定條件確定動點的軌跡，再判斷交點個數即可.【詳解】如圖，連接，正方體的棱長為，，，點在以為焦點的橢圓繞旋轉得到的橢球上，在正方體的棱上，應是橢球與正方體的棱的交點，結合正方體的性質可知，在棱上各有一點滿足條件，故C正確.故選：C6.已知拋物線和圓，點F是拋物線C的焦點，圓M上的兩點滿足，，其中O是坐標原點，動點P在圓M上運動，則點P到直線AB的最大距離為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由條件可知滿足到兩定點距離比為常數，設動點滿足求解動點軌跡為圓，可知為兩圓相交弦，得直線方程，再結合圖形由點線距離公式得到圓上動點到直線的距離最大值.【詳解】拋物線的焦點，圓，其圓心，半徑．設點是滿足的任意一動點，，則，化簡得，即.故動點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.由已知，，則圓M上的兩點也在圓上.所以AB是圓與圓的公共弦，將圓與圓的方程聯立，兩式相減化簡得直線AB的方程為，由動點P在圓M上運動，又圓心到直線的距離，結合圖形可知，點到直線的最大距離為.故選：A．7.如圖，三棱柱滿足棱長都相等且平面，D是棱的中點，E是棱上的動點．設，隨著x增大，平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角是（）A.先增大再減小 B.減小 C.增大 D.先減小再增大【答案】D【解析】【分析】以中點為坐標原點，分別為軸，并垂直向上作軸建立空間直角坐標系.設所有棱長均為2，則，通過空間向量來求二面角的，故在上單增，上單減，即隨著x增大先變大后變小，所以隨著x增大先變小后變大.即可得出結果.【詳解】以中點為坐標原點，分別為軸，并垂直向上作軸建立空間直角坐標系.設所有棱長均為2，則，,，，設平面BDE法向量,則，令有，故.又平面ABC法向量，故平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角的余弦值，又，故在上單增，上單減，即隨著x增大先變大后變小，所以隨著x增大先變小后變大.故選：D.【點睛】本題考查了用空間向量求二面角的余弦值，考查了解決問題能力和計算能力，屬于中檔題目.8.如圖，分別為雙曲線的左、右焦點，過點作直線，使直線與圓相切于點P,設直線交雙曲線的左右兩支分別于A、B兩點（A、B位于線段上），若,則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，，設則，由題意可知，，即，即，則，求解離心率即可.【詳解】連接，，設則，即，，根據雙曲線定義可知，即即直線與圓相切于點P在中①在中②在中③②③聯立得，即①②聯立得即④將代入④，即，整理得即故選：B【點睛】本題考查雙曲的離心率，解決本題的關鍵是根據雙曲線的定義表示出與，本題屬于中檔題.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.已知直線的方向向量是，兩個平面的法向量分別是，則下列說法中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AD【解析】【分析】利用空間向量判斷直線、平面間的位置關系.【詳解】若，則，故A正確；若，則或在內，故B錯；若，則，故C錯；若，則，故D正確.故選：AD.10.已知直線交橢圓于A，B兩點，，為橢圓的左、右焦點，M，N為橢圓的左、右頂點，在橢圓上與關于直線l的對稱點為Q，則（）A.若，則橢圓的離心率為B.若，則橢圓的離心率為C.D.若直線平行于x軸，則【答案】ACD【解析】【分析】對于A，則，故，則利用與離心率公式即可得解；對于B，設Ax0,y0，，接著利用和結合離心率公式直接計算即可求解；對于C，根據三角形中位線即可得解；對于D，設，則，根據已知條件求出和中點，再利用點關于直線對稱的理論列式求出即可得解.【詳解】如圖，直線l與交于G，對于A，若，則，所以，所以，故A正確；對于B，設Ax0,y0，則，且所以，所以，故B錯誤；對于C，由題意可知是中位線，故，故C正確；對于D，設點，則直線，因為直線平行于x軸，所以點的中點，所以由點G在直線l上且得，解得，即，因此，故D正確.故選：ACD．【點睛】方法點睛：點關于直線對稱的點的計算求解步驟：（1）設所求點坐標，（2）利用中點坐標公式求出中點坐標，（3）利用中點坐標在直線上和兩點所在直線與已知直線垂直則斜率乘積為這兩個條件建立關于所求點坐標的方程組，利用該方程組即可求解.（4）遇特殊直線如或一般直接得解.11.如圖，在棱長為6的正方體中，分別為的中點，點是正方形面內（包含邊界）動點，則（）A.與所成角為B.平面截正方體所得截面的面積為C.平面D.若，則三棱錐的體積最大值是【答案】BCD【解析】【分析】A選項，如圖建立以A為原點的空間直角坐標系，利用空間向量可判斷選項；做出截面求得截面面積可判斷B；利用線線平行可得線面平行判斷C，求得P的軌跡方程可求得三棱錐的體積最大值判斷D.【詳解】以為坐標原點，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，∴，，，對A選項，，則直線與所成角為，故A錯誤；對B選項，由平面在兩平行平面上的交線互相平行，取的中點的中點，的中點，連接，延長一定與CD交于一點，所以四點共面，同理可證四點共面，則過點作正方體的截面，截面為正六邊形，邊長為，則正六邊形的面積為，故B正確.由正方體，可得，∵分別為的中點，∴，∴平面平面，∴平面，故C正確；如圖，面，又面，故，同理，又，根據題意可得，設，又，∴，整理得，∴在正方形面內(包括邊界)，是以為圓心，半徑的圓上的點，令，可得，∴當為圓與線段的交點時，到底面的距離最大，最大距離為，∴三棱錐的體積最大值是，故D正確.故選:BCD.【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是建立空間直角坐標系，用向量的方法研究點線面的位置關系及數量計算.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線：，則直線過定點________；若直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，則這樣的直線有________條．【答案】①.?1,1②.【解析】【分析】可化為，令，解出即可得空一；計算出直線橫縱截距后，結合面積公式計算即可得空二.【詳解】由，得，令，解得，所以直線l過定點?1,1；當時，，此時直線l與x軸沒有交點，所以，在中，令，得，令，得，依題意得，解得或，所以滿足條件的直線l有條.故答案為：?1,1；.13.已知圓，直線，為上的動點，過點作圓的切線，切點為，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑；由可利用面積橋將轉化為，當最小時，為圓心到直線的距離，由此可求得結果.【詳解】由得：，圓心，半徑.，，為線段的垂直平分線，，若最小，則最小，，.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查切線長最小值的求解問題，解題關鍵是能夠將所求的長度之積轉化為四邊形面積，進而轉化為切線長最小值的求解問題.14.如圖，在棱長為4的正方體中，E為棱BC的中點，P是底面ABCD內的一點（包含邊界），且，則線段的長度的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】首先利用向量垂直的坐標表示，求得點的軌跡方程，再代入兩點間的距離公式，求線段長度的取值范圍.【詳解】以D為原點，以DA，DC，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，設，則，，又，所以，即，則．當時，，設，所以點P在底面ABCD內的軌跡為一條線段AF，所以，，，當時，，當時，，所以線段的長度的取值范圍是．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓C：，點，點．（1）過點P作圓C的切線l，求出l的方程；（2）設A為圓C上的動點，G為三角形APQ的重心，求動點G的軌跡方程．【答案】（1）或；（2）．【解析】【分析】（1）分切線的斜率不存在和切線的斜率存在兩種情況求解即可；（2）設，，結合重心的性質可得，進而結合A為圓C上的動點求解即可.【小問1詳解】由C：，則圓心，半徑，當切線l的斜率不存在時，直線l的方程為，符合題意；當切線l的斜率存在時,則設切線l的方程為，即，所以，解得，此時切線l的方程為，即.綜上所述，切線l的方程為或.【小問2詳解】設，，因為，，G為三角形APQ的重心，所以，即，由A為圓C上的動點，得，則，整理得，即動點G的軌跡方程為．16.如圖，在梯形ABCD中，，，，四邊形ACFE為矩形，平面平面，，點M是線段EF的中點．（1）求平面MAB與平面EAD所成銳二面角的余弦值；（2）求出直線CD到平面MAB的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直性質得線面垂直，利用垂直關系建立空間直角坐標系，分別求平面MAB與平面EAD的法向量，再求解夾角即可得；（2）由線面平行關系，將直線CD到平面MAB的距離轉化為點到平面的距離，利用法向量求解可得.【小問1詳解】因為在梯形ABCD中，，，，如圖，過C作交AB于G，則四邊形是平行四邊形.可得，.在中，由余弦定理得，所以，得，又平面平面，平面平面，平面，所以平面；因為四邊形ACFE為矩形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，則.如圖，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，，設平面MAB的法向量為，則，取，得，設平面EAD的法向量為，則，取，得，所以．所以平面MAB與平面EAD所成銳二面角的余弦值為．【小問2詳解】由，平面，平面，則平面.則直線到平面的距離即為點到平面的距離.由（1）知，，平面的一個法向量，則點到平面的距離.故直線CD到平面MAB的距離為.17.已知平面內兩個定點，滿足直線與的斜率之積為的動點的軌跡為曲線，直線與曲線交于不同兩點．（1）求曲線的軌跡方程；（2）若直線和的斜率之積為，試證明直線過定點，并求出這個定點坐標．【答案】（1）（2）證明見解析，定點為【解析】【分析】（1）設出點坐標，根據條件建立方程，再化簡求解即可.（2）聯立方程組并利用韋達定理表示出，，再結合給定條件得到之間的關系，進而求出定點即可.【小問1詳解】設，由題意得，化簡得到，所以曲線C的軌跡方程為．【小問2詳解】因為直線和的斜率之積為，所以直線的斜率存在,設，Mx1,y由，消得到，則Δ=64k2b2而，，化簡整理得到，得到或，當時，，直線過定點與重合，不合題意，當時，，直線過定點，所以直線過定點．18.圖是直角梯形，，，，，，，以為折痕將折起，使點到達的位置，且，如圖.（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點，使得到平面的距離為？若存在，求出二面角的大小；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（