浙江省麗水、湖州、衢州市2025年高三模擬考試（三模）數學試題試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

x-y>Q

1.已知x,V滿足約束條件x+y?2,則z=2x+y的最大值為

y>0

A.1B.2C.3D.4

2.已知復數z滿足目=1,則|Z+2T］的最大值為（）

A.2+3B.1+75C.2+6D.6

3.如圖是二次函數/（x）=x2-bx+a的部分圖象，則函數8（%）=。111%+/（幻的零點所在的區間是（）

C.(1,2)D.(2,3)

4.據國家統計局發布的數據，2019年11月全國CP/（居民消費價格指數），同比上漲4.5%,C77上漲的主要因素是

豬肉價格的上漲，豬肉加上其他畜肉影響C"上漲3.27個百分點.下圖是2019年11月。7一籃子商品權重，根據該

圖，下列結論錯誤的是（）

教育文化和

娛樂8.5%

A.CP/一籃子商品中所占權重最大的是居住

B.C尸/一籃子商品中吃穿住所占權重超過50%

C.豬肉在CP/一籃子商品中所占權重約為2.5%

D.豬肉與其他畜肉在CP/一籃子商品中所占權重約為0.18%

51E.

5.在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足?一班=彳炮”，其中星等為

2七2

磔的星的亮度為反(?=1,2).已知太陽的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為()

A.1010JB.10.1C.IglO.lD.10-10J

6.已知集合4=卜卜=lgsinx+Jg-x?],貝/(x)=cos2x+2sinx,xwA的值域為()

「，31人3]"1]U

」」」

12121212)

7.設等差數列｛q｝的前"項和為S“，且4=0,%=-3,則邑=()

A.9B.12C.-15D.-1E

8.已知點A(WM),網打^^是函數八司二3^+匕/的函數圖像上的任意兩點，且y=/(x)在點

石;%2"(石；2)處的切線與直線平行，貝1()

A.a=0,5為任意非零實數B.b=0,"為任意非零實數

C.a、〃均為任意實數D.不存在滿足條件的實數a,b

9.已知拋物線C：必=4y的焦點為口，過點口的直線/交拋物線。于a,B兩點,其中點A在第一象限，若弦AB

的長為W25'則b|AF=()

A.2或工B.3或工C.4或工D.5或1

2345

3

10.已知。，b,C分別為AABC內角A,B,C的對邊，a=l,4csinA=3(:osC,AABC的面積為一，則c=()

2

A.2A/2B.4C.5D.3亞

22

11.已知雙曲線，—方=l(a〉0,6〉0)的左、右焦點分別為耳，F],過工作一條直線與雙曲線右支交于4B兩

點，坐標原點為點,若。=Y+四郎|=5,2,則該雙曲線的離心率為()

A.史B.巫C.

V15NA/10

2233

2

12.已知雙曲線二->2=1的一條漸近線方程是y=則雙曲線的離心率為()

a-3

A.BB.逅C,D.正

3323

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在三棱錐P-A8C中，AB=5,BC=3,C4=4,三個側面與底面所成的角均為60。，三棱錐的內切球的表面

積為.

14.已知實數x、y滿足1,且可行域表示的區域為三角形，則實數〃？的取值范圍為,若目標函數

x+y<m

z=x—y的最小值為-I,則實數加等于.

15.已知F是拋物線C：V=2px(p>0)的焦點，過F作直線與C相交于RQ兩點，且。在第一象限,若2而=匝，

則直線PQ的斜率是.

16.集合A={(x,y)料+|y|=a,a>0},3={(x,y)忡|+1=忖+|山，若4口8是平面上正八邊形的頂點所構成的

集合，則下列說法正確的為

①。的值可以為2；

②。的值可以為J5;

③a的值可以為2+后；

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在正三棱柱A3C—4與￡中，AB=AAl^2,E,歹分別為AB,反。1的中點.

(1)求證：與E//平面ACN；

(2)求平面CEB1與平面ACF所成二面角(銳角)的余弦值.

18.（12分）已知函數/O）=lnx—ox+a,其中a>0.

（1）討論函數f（x）的零點個數；

（2）求證：ex+sinx>xlnx+l.

1"

X=——y

1+t

19.（12分）在直角坐標系x0y中，曲線C的參數方程為（/為參數）.點p（%o，%）在曲線C上，點。（犯〃）

2t

m=2XQ

滿足

n=#>y。

（1）以坐標原點。為極點，r軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求動點。的軌跡&的極坐標方程;

7rli

（2）點A,3分別是曲線G上第一象限，第二象限上兩點，且滿足NAO3=Q,求為1+面產的值?

20.(12分)已知函數/(x)=|x+l|-2|x-a|,a>0.

（1）當。=1時,求不等式/。）>1的解集;

（2）若/（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求。的取值范圍.

21.（12分）已知橢圓G：W+==l（〃>b〉O）,上頂點為8（0,1）,離心率為走，直線/：>=區—2交y軸于。點,

/b22

交橢圓于P,。兩點，直線BP,3Q分別交x軸于點M,N.

（I）求橢圓G的方程;

(II)求證：S&BOM'S/SBCN為定值?

x=1+2coscc

22.（10分）在直角坐標系中，圓C的參數方程為：\廠（&為參數），以坐標原點為極點，以x軸的正

y=，3+2sina

半軸為極軸建立極坐標系，且長度單位相同.

(1)求圓C的極坐標方程;

(

(2)若直線/：x=tc,os"pa為參數)被圓c截得的弦長為2gr-，求直線/的傾斜角.

y=tsin0

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，利用數形結合即可得到結論.

【詳解】

作出不等式組表示的平面區域如下圖中陰影部分所示，

2=2工+丫等價于丁=一2%+2,作直線y=—2x,向上平移，

易知當直線經過點(2,0)時z最大，所以z?1ax=2x2+0=4,故選D.

本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法.

2.B

【解析】

設z=a+bi,a,beR,\z+2-i\=^(?+2)2+(Z?-1)2>利用復數幾何意義計算.

【詳解】

^,z=a+bi,a,b&R,由已知，a2+b2=1^所以點(a,切在單位圓上，

而|z+2-i|=|(a+2)+(6-l)i|=^(?+2)2+(/?-1)2，J(a+2)2+(6-1)2表示點(a,b)

到(—2,1)的距離，故|z+2—心J(—2y+F+1=1+石.

故選：B.

本題考查求復數模的最大值,其實本題可以利用不等式|z+2-，區|z|+12-i|來解決.

3.B

【解析】

根據二次函數圖象的對稱軸得出力范圍，y軸截距，求出。的范圍，判斷g(x)在區間端點函數值正負，即可求出結論.

【詳解】

,**/W^-bx+a,結合函數的圖象可知,

b

二次函數的對稱軸為％=5，。</(。)=〃<1,

1b

—<x=—<1,*.*/'(%)=2x-b,

所以g(x)=〃lnx+/'(x)=〃lnx+2x—b在(0,+8)上單調遞增.

又因為g(])—6^1n—+1—/?<0,g(l)=〃lnl+2—/?〉0,

所以函數g(x)的零點所在的區間是

故選:B.

本題考查二次函數的圖象及函數的零點，屬于基礎題.

4.D

【解析】

A.從第一個圖觀察居住占23%,與其他比較即可.B.一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判斷C

食品占19.9%,再看第二個圖，分清2.5%是在CP/一籃子商品中，還是在食品中即可.D.易知豬肉與其他畜肉在CP/

一籃子商品中所占權重約為2.1%+2.5%=4.6%.

【詳解】

A.CP/一籃子商品中居住占23%,所占權重最大的，故正確.

B.CP/一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,權重超過50%,故正確.

C.食品占中19.9%,分解后后可知豬肉是占在C/7一籃子商品中所占權重約為2.5%,故正確.

D.豬肉與其他畜肉在CP/一籃子商品中所占權重約為2.1%+2.5%=4.6%,故錯誤.

故選：D

本題主要考查統計圖的識別與應用，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.

5.A

【解析】

由題意得到關于用,反的等式，結合對數的運算法則可得亮度的比值.

【詳解】

5,E,

兩顆星的星等與亮度滿足利一叫=彳炒J,令冽2=-1.45,叫=-26.7,

2匕2

?F101

1gmW?（根2一嗎）=W（一L45+26.7）=10.1,曾=1O.

故選A.

本題以天文學問題為背景，考查考生的數學應用意識、信息處理能力、閱讀理解能力以及指數對數運算.

6.A

【解析】

先求出集合4=(0,3],化簡/(%)=—2sin2無+2sinx+l，令siiu=/e(0』，得g”)=—2/+2/+1由二次函數的性

質即可得值域.

【詳解】

[sinx>0/1/\/I

由J2n0<%<3,得A=(0,3],/(%)=852%+25]!1%=—201112%+25111￥+1，令0111^=%,,??1￡(0,31,

.?.?e(O,l],所以得g?)=—2/+2/+1,在[o，；]上遞增，在gj上遞減，==|，所以

33

g(')e^2,即/(x)的值域為1,-

故選A

本題考查了二次不等式的解法、二次函數最值的求法，換元法要注意新變量的范圍，屬于中檔題

7.A

【解析】

由§8=。，。3=—3可得,d以及“9，而S9=叢+%，代入即可得到答案.

【詳解】

4+2d——3,

4=-7,

設公差為d,則《8x7解得

8q+2d=。,d=2,

CI9=+8d=9,所以S9=Sg+dg—9.

故選：A.

本題考查等差數列基本量的計算，考查學生運算求解能力，是一道基礎題.

8.A

【解析】

求得了(%)的導函數，結合兩點斜率公式和兩直線平行的條件：斜率相等，化簡可得。=0,b為任意非零實數.

【詳解】

、

%+%2玉+x

依題意/⑺=2,+2bx,y=在點2處的切線與直線A8平行，即有

2

+Z?(xt+%2)

石+尤2馬—玉

2,

2

aa

二"西+々），所以，由于對任意和馬上式都成立，可得a=0，人為非

零實數.

故選：A

本題考查導數的運用，求切線的斜率，考查兩點的斜率公式，以及化簡運算能力，屬于中檔題.

9.C

【解析】

先根據弦長求出直線的斜率，再利用拋物線定義可求出M刊，忸巴.

【詳解】

則^邳=熱=烹=字,

設直線的傾斜角為氏

16o193

所以cos20。：一,tan2^=-----——1=一,即tan6=±—,

25COS26>164

33

所以直線/的方程為y=±—x+1.當直線/的方程為丁=—九+1,

44

x2=

4y\AF\

所以4-0

聯立《3，解得石=-1和々=4,3=4；

y=—x+l0-(-1)

4

3AF1AF\1

同理'當直線"的方程為y=-—+L綜上,.西=4或屋選C.

BF4

本題主要考查直線和拋物線的位置關系，弦長問題一般是利用弦長公式來處理.出現了到焦點的距離時，一般考慮拋物

線的定義.

10.D

【解析】

一3413

由正弦定理可知4csinA=4asinC=3cosC,從而可求出sinC=—,cosC=1.通過又8c=—absinC二一可求出

422

b=5,結合余弦定理即可求出c的值.

【詳解】

解：,/4csinA=3cosC,即4csinA=3acosC

/.4sinAsinC=3sinAcosC,即4sinC=3cosC.

34

-.?sin2C+cos2C=l，貝iJsinC=g,cosC=g.

1133

/.S=—absinC=—xlxZ?x-=—,解得6=5.

SAARBC2252

c2=a?+b?—2ctbcosC=1+5?-2xlx5x—=18,/.0=3y

故選:D.

本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查同角三角函數的基本關系.本題的關鍵是通過

正弦定理結合已知條件，得到角C的正弦值余弦值.

11.B

【解析】

由題可知|O4|=c=g|G閭，4A8=90。，再結合雙曲線第一定義，可得|四|=|4閭+2a,對RMA畢有

|叫『+|期2=網「，

即（卜閭+242+（卜閭+3勾2=（5a『，解得〔A閭=a,再對RtZ\A￡鳥，由勾股定理可得/+（34=（2°丫，化簡

即可求解

【詳解】

如圖，因為忸耳|=5a,所以忸閭=5a—2a=3a.因為|OA|=c=g忸閭所以/耳4瑪=90。.

在43中，1ABl2=忸瑞，即閭+2a『+（k閭+34=（5aJ,

得,閭=4，則|AfJ=a+2a=3a在RtZ\A耳工中，由/+（34）?=（2c）2得6=￡=4^.

故選：B

本題考查雙曲線的離心率求法，幾何性質的應用，屬于中檔題

12.D

【解析】

222

雙曲線的漸近線方程是y=±1x,所以工=1，即。=百力=1,C=a+Z，=4，即c=2，e=-=1V3,

aa3a3

故選D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

4萬

13.----

3

【解析】

先確定頂點在底面的射影，再求出三棱錐的高以及各側面三角形的高，利用各個面的面積和乘以內切球半徑等于三棱

錐的體積的三倍即可解決.

【詳解】

設頂點在底面上的射影為反，"是三角形ABC的內心，內切圓半徑廠=1.三個側面與底面所

成的角均為60°,AR43，&PBC,APAC的高PD=PE=PF=2，PH=5設內

切球的半徑為R,(g(3+4+5)x2+gx3x4)xR=3xgxgx3x4xG=63

:.R力,內切球表面積S=4?R?=生.

33

4-71

故答案為：.

3

本題考查三棱錐內切球的表面積問題，考查學生空間想象能力，本題解題關鍵是找到內切球的半徑，是一道中檔題.

14.m>2m-5

【解析】

作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，結合目標函數z=x-y的最小值，利用數形結合即可得到

結論.

【詳解】

作出可行域如圖，

則要為三角形需滿足3(1,1)在直線=m下方，即1+1<772,m>2；

目標函數可視為y=x-z,貝口為斜率為1的直線縱截距的相反數，

該直線截距最大在過點A時，此時Zmin=-1,

直線Q4：y=x+l,與AB：y=2x—1的交點為4(2,3),

該點也在直線AC：*+丁=加上，故機=2+3=5,

故答案為：m>2；m=5.

本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法，屬

于基礎題.

15.2拒

【解析】

作出準線，過P,Q作準線的垂線，利用拋物線的定義把拋物線點到焦點的距離轉化為點到準線的距離，利用平面幾何

知識計算出直線的斜率.

【詳解】

設/是準線，過尸作于以，過。作QN_L/于N,過尸作PHLQV于"，如圖,

則|尸閭=|「耳，|沙|=依司，?.?2麗=聞，.?.|。叫=2|尸耳，

：.\QH\=\NH\^\PM\=\PF\,\PH\=^(3|PF|)2-|PF|2=2s/2\PF\，

\PH\

：.tanZHQF=―=27r2,直線PQ斜率為2夜.

\QH\

故答案為：2后.

解題關鍵是利用拋物線的定義，把拋物線上點到焦點

16.②③

【解析】

根據對稱性，只需研究第一象限的情況，計算AC：y=(V2-l)x,得到—1),C(A/2+1,1),得到答案.

【詳解】

如圖所示：根據對稱性，只需研究第一象限的情況,

集合3：xy+l^x+y,故=即x=］或y=l,

集合A：x+y=a,AC8是平面上正八邊形的頂點所構成的集合，

故AC所在的直線的傾斜角為22.5。，左AC=tan22.5°=0—1，故AC：y=(a-l)x,

解得A(1,0—1),止匕時q=C(V2+1,1),止匕時。=血+2.

本題考查了根據集合的交集求參數，意在考查學生的計算能力和轉化能力，利用對稱性是解題的關鍵.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見詳解；(2)US.

19

【解析】

(1)取AC中點為通過證明府〃B|E,進而證明線面平行；

(2)取中點為。，以。為坐標原點建立直角坐標系，求得兩個平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.

【詳解】

(1)證明：取AC的中點M，連結石加，FM,如下圖所示：

在AABC中，因為E為AB的中點，

2

又歹為4G的中點，B.CJ/BC,

:.BF//BC,且用尸=：5。，

:.EM//ByF,且EM=B/,

四邊形EA〃閏為平行四邊形，

又Mbu平面ACN,8￡仁平面ACT,

，4E//平面ACE,即證.

(2)取中點。，連結AO,OF,則AOL3C,平面ABC,

以。為原點，分別以08,AO,OF為x,y,z軸,

建立空間直角坐標系，如下圖所示：

則A,—60),3(1,0,0),C(-l,0,0),E；，一苧，。，F(0,0,2),4(1,0,2)

I'7

CE=|，一￥，°,而=(1。2),04=(1,-73,0),國=(2,0,2)

設平面CEB1的一個法向量沅=(x,yz),

m-CE=Q6x_y=0

則<—.，貝卜

mCB,=0x+z=0

令x=l.則沅=(1,一1),

(Jil'}

同理得平面ACN的一個法向量為為=l,2{-,--,

[32)

則cos(玩，和性奇g=冬5’

|n||m|19

故平面CEB1與平面ACN所成二面角(銳角)的余弦值為叵5.

19

本題考查由線線平行推證線面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，屬綜合中檔題.

18.(1)。=1時，/Xx)有一個零點；當。>0且awl時，/(x)有兩個零點；(2)見解析

【解析】

⑴利用/(%)的導函數，求得/(%)的最大值的表達式，對。進行分類討論，由此判斷出了(%)的零點的個數.

(2)由lnx<x-l,得到％lnx+lW%2-x+i和,構造函數無(%)=e%+sin九—一十九一1,利用導數證得

/z(x)>0,即有ex+sinx>x2—x+1，從而證得e尤+sinx>x2—x+l>xlnx+1，即ex+sinx>xlnx+L

【詳解】

,1—77V*

(1)?.?/(x)=------(6Z>0,X>0),

.?.當xe(0-)時，/(x)>0,當尤e(±+8)時，/(x)<0,/(x)在(0-)上遞增，在(士+⑹上遞減，

aQaa

/(x)<f(-)=-lna+a-l.

a

令g(x)=—lnx+x—l=—(lnx—_x+l),g(x)在(0,1)上遞減，在上遞增，

g(x)>g(l)=0,,―lna+a—120,當且僅當a=l時取等號.

①a=l時，/(x)有一個零點；

②a>l時，-e(0,l),/(-)=-lntz+?--e(0,l),/f-K-ln?+?-l>0,/(l)=0,/(^)=-4<0,此時/(x)

aaa\a)ee

有兩個零點；

③0<a<l時，->l,/(-)=-ln?+?-l>0,/(l)=0,/(^)=-21niz--+a,令

aaaa

(p{x}=-21nx--+x(x>1),cp(x)=——口->0,/.(p{x}在(0,1)上遞增,

xx

夕(x)<0(1)=0,/(^-)=-21ntz--+a<0,此時/(無)有兩個零點;

aa

綜上：々=1時，/（%）有一個零點;當〃>0且awl時，/（%）有兩個零點;

(2)由(1)可知：--％+1,%工j1

令/1(%)=/+5畝%-％2+%-1,/1'(％)=/+<：0$%-2%+1?以一2%+1+?)$%>0,二〃(%)在(0,+8)上遞增,

A(x)>//(0)=0,+sinx>x2-x+1>xlnx+1.

本小題主要考查利用導數研究函數的零點，考查利用導數證明不等式，考查分類討論的數學思想方法，考查化歸與轉

化的數學思想方法，屬于中檔題.

7

19.(1)3P2cos之9+4夕?sin?夕=121一兀<0<兀)；(2)—

【解析】

（1）由已知，曲線。的參數方程消去r后，要注意x的范圍，再利用普通方程與極坐標方程的互化公式運算即可;

2

23cos1a+'

,由（）可得二=3cos24+4sin4+4sin2+

⑵設A(Q,6Q,40,4+511

12hfl

Pipi12

相加即可得到證明.

【詳解】

(1-t2、22

22It

(1)x+y=+I=1,

U+已1+7

]_產

???一-€(-1,11,???xw—1,Ax2+/=l(x—1),

1+/2I」

m

22

m=2x0mn八、

由題可知：<n<n——十—=l(mw-2),

n=n43

y。飛

G：3p2cos20+^p1sin20-12(-7U<0<7i).

12

（2）因為夕2=

3cos26^+4sin20

設A（%a）,,Pi，*+yj，

22

1_3cos+4sin0l

hP?-----------------r172------------------12

11117

--------j--------———?------——

222

|OA||OB|A古12-

本題考查參數方程、普通方程、極坐標方程間的互化，考查學生的計算能力，是一道容易題.

【解析】

試題分析：

(I)由題意零點分段即可確定不等式的解集為｛x||<x<2

2929

(II)由題意可得面積函數為為§(。+1)一，求解不等式§(。+1)一>6可得實數4的取值范圍為(2,+8)

試題解析：

(/)當0=1時，/(力〉1化為K+l|—2|x—1]—1>0,

當xW—1時，不等式化為x—4>0,無解；

當—1<%<1時，不等式化為3x—2>0,解得2<x<l；

3

當xNl時，不等式化為—x+2〉0,解得lWx<2.

所以/(x)>l的解集為卜||■<x<21.

x—1—2Q,x<—1,

(〃)由題設可得，=<3x+l-2a,-l<,x<a,

-x+\+2a,x>a,

2a-l

所以函數的圖像與X軸圍成的三角形的三個頂點分別為B(2a+l,0),c(a,a+l),

2/\2

AABC的面積為+1).

由題設得g(a+l)2>6,故a>2.

所以。的取值范圍為(2,內)

f1

21.（I）y+/=l；（II）S.M?S甌N=3,證明見解析?

【解析】

（I）根據題意列出關于。，b,c的方程組，解出。，b,。的值，即可得到橢圓G的方程;

y1一1x

（II）設點尸（七，％）,點。（/，%），易求直線8?的方程為：y-i=-一%,令y=o得，j=一，同理可得

七1-%

I]3x,x

S^o^CN=-xlx||x-x3x||=-x|---,-I,聯立直線/與橢圓方程，利用韋達定理代入上式，化

2249—3左(X+x2)+kxxx2

簡即可得到S*SgcN=；.

【詳解】

%=1

a=-\/2

c_42

（I）解：由題意可知:解得＜b=l

a2

c=