第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三（上）第三次段考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|3<2x<17}，B={0,1,2,3,4,5}，則A∩B=A.{0,1} B.{0,1,5} C.{2,3,4} D.{5}2.已知復(fù)數(shù)z滿足(z?i)(1?i)=3+i，z的共軛復(fù)數(shù)為z?，則z?的虛部為(

)A.3 B.3i C.?3i D.?33.若a=ln10,b=ln2?ln5,c=ln4eA.c<a<b B.a<b<c C.c<b<a D.b<a<c4.已知|b|=2|a|，若a與b的夾角為60°，則2a?A.b B.?12b C.?5.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=2，則4a+c的最小值為(

)A.16 B.18 C.20 D.146.已知函數(shù)f(x)=3x2?2lnx+(a?1)x+3在區(qū)間(1,2)上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.a>?3 B.?493<a<?10 C.?7.若α,β,γ∈(2π,5π2)，且sinα?2cosβ+γ2A.±12 B.12 C.±8.已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy，f(1)=0，f′(1)=12，則f′(2)=(

)A.0 B.34 C.1 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z1，z2，滿足|z1A.若|z1|=|z2|，則z12=z2210.水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是半徑為R的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)A(33,?3)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)60秒，經(jīng)過t秒后，水斗旋到點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，其縱坐標(biāo)滿足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<π2)A.R=6，ω=π30，φ=?π6

B.當(dāng)t∈[35,55]時(shí)，點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為6

C.當(dāng)t∈[35,55]時(shí)，函數(shù)y=f(t)單調(diào)遞減

D.11.定義：在區(qū)間I上，若函數(shù)y=f(x)是減函數(shù)，且y=xf(x)是增函數(shù)，則稱y=f(x)在區(qū)間I上是“弱減函數(shù)”.根據(jù)定義可得(

)A.f(x)=1x在(0,+∞)上是“弱減函數(shù)”

B.f(x)=xex在(1,2)上是“弱減函數(shù)”

C.若f(x)=lnxx在(m,+∞)上是“弱減函數(shù)”，則m≥e

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若曲線y=lnxx上點(diǎn)P的切線平行于直線x?y+1=0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是______．13.在△ABC中，已知DC=3BD，P為線段AD的中點(diǎn)，若BP=λBA+μBC14.已知函數(shù)y=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π2)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,2)，且在y軸右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為π4，當(dāng)x∈[0,2π]時(shí)，曲線四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且cosAcosC=a2b?c．

(1)求A的值；

(2)若c=2b=4，M為邊BC上一點(diǎn)，且BM=2MC，求16.(本小題15分)

如圖，在三棱錐A?BCD中，平面ABC⊥平面BCD，∠BCD=∠BDC=π6，P為棱AC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱CD上，PQ⊥BC，且DQ=2QC．

(1)證明：AB⊥平面BCD；

(2)若AB=BD，求平面CPQ與平面ABD的夾角的余弦值．17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ex+acosx在x=0處的切線方程為y=x+2．

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)探究f(x)在區(qū)間18.(本小題17分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的焦距為4，離心率為2，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，兩點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)都在C上．

(1)求C的方程；

19.(本小題17分)

隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代來臨，數(shù)據(jù)傳輸安全問題引起了人們的高度關(guān)注，國(guó)際上常用的數(shù)據(jù)加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密鑰長(zhǎng)度也不同，其中RSA的密鑰長(zhǎng)度較長(zhǎng)，用于傳輸敏感數(shù)據(jù).在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算法中的應(yīng)用.設(shè)p，q是兩個(gè)正整數(shù)，若p，q的最大公約數(shù)是1，則稱p，q互素.對(duì)于任意正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是不超過n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為φ(n)．

(1)試求φ(1)+φ(9)，φ(7)+φ(21)的值；

(2)設(shè)p，q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，試用p，k表示φ(pk)(k∈N?)，并探究φ(pq)與φ(p)和φ(q)的關(guān)系；

(3)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為參考答案1.C

2.D

3.D

4.B

5.B

6.D

7.D

8.D

9.BD

10.ABD

11.BCD

12.(1,0)

13.10

14.6

15.解：(1)由題意，cosAcosC=a2b?c，即acosC=2bcosA?ccosA，

即2bcosA=acosC+ccosA，

由正弦定理asinA=bsinB=csinC，

可得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sinB，

又在△ABC中，sinB>0，則2cosA=1，即cosA=12，

結(jié)合A∈(0,π)，則A=π3；

(2)由BM=2MC，得BM=23BC，

則AM16.解：(1)證明：如圖，取棱CD靠近D的三等分點(diǎn)R，連結(jié)AR，BR，則Q是CR的中點(diǎn)，

因?yàn)镻為棱AC的中點(diǎn)，所以PQ是△ACR的中位線，所以PQ//AR，

因?yàn)镻Q⊥BC，所以BC⊥AR，

設(shè)BC=3a，因?yàn)椤螧CD=∠BDC=π6，所以BD=3a，作BH⊥CD，連接BR，

則CD=2BCcos∠BCD=3a，因?yàn)镈Q=2QC，所以CR=2a．

在△BCR中，由余弦定理得：BR=(3a)2+(2a)2?2×(3a)×(2a)×cos∠BCD=a，

因?yàn)锽R2+BC2=CR2，所以BC⊥BR．

又因?yàn)锳R∩BR=R，AR，BR?面ABR，所以BC⊥平面ABR，

因?yàn)锳B?面ABR，所以BC⊥AB．

又因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AB?平面ABC，

所以AB⊥平面BCD；

(2)由(1)知，AB⊥BC，AB⊥BR.以B為原點(diǎn)，BC的方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B?xyz．

令A(yù)B=BD=3，所以C(3,0,0),A(0,0,3),R(0,1,0),Q(32,12,0)，

設(shè)平面CPQ的法向量為n1=(x,y,z)，

則n1?AC=0,n1?AR=0,即3x?3z=0,y?3z=0,令z=1，可得x=1,y=317.解：(1)由題可知f′(x)=ex?asinx，

由x=0處的切線方程為y=x+2，∴k=f′(0)=e0=1，

把點(diǎn)(0,2)代入得e0+acos0=2，∴a=1．

(2)由(1)可知f(x)=ex+cosx，∴f′(x)=ex?sinx，

令g(x)=f′(x)，g′(x)=ex?cosx，

當(dāng)x∈(?3π2,?π)時(shí)，g′(x)>0，則g(x)在區(qū)間(?3π2,?π)上單調(diào)遞增．

∵g(?3π2)=e?3π2?1<0,g(?π)=e?π>0，

∴由零點(diǎn)存在定理可知，存在x0∈(?3π2,?π)，使得g(x0)=0，即ex0=sinx0，

∴當(dāng)x∈(?3π2,x0)時(shí)，f′(x)<0，則f(x)在區(qū)間(?3π2,x0)18.解：(1)因?yàn)殡p曲線C的焦距為4，離心率為2，

所以2c=4ca=2a2+b2=c2，解得a=1b=3c=2，

故曲線C的方程為x2?y23=1．

(2)由(1)有F2(2,0)，因?yàn)锳F2=2F2B，所以(2?x1,?y1)=2(x2?2,y2)，所以y1=?2y2，

所以直線AB過右焦點(diǎn)F2，且直線AB的斜率不為零，設(shè)直線AB的方程為x=my+2，

聯(lián)立x=my+2x2?y23=1，消去x可得(3m2?1)y2+12my+9=0，

易知3m2?1≠0，其中Δ=36m2+36>0恒成立，

y1+y2=?12m3m2?1,y1y2=93m2?1，

代入y1=?2y2，消元得y2=12m3m2?1,y22=?92(3m2?1)，

所以(12m3m2?1)2=?92(3m2?1)，解得m=±3535，滿足Δ>0，

所以直線AB的方程為x±3535y?2=0．

(3)因?yàn)閤1x2<019.解：(1)易得φ(1)=1，

不超過9且與9互素的正整數(shù)有1，2，4，5，7，8，則φ(9)=6，

不超過7且與7互素的正整數(shù)有1，2，3，4，5，6，則φ(7)=6，

不超過21且與21互素的正整數(shù)有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，則φ(21)=12，

所以φ(1)+φ(9)=7，φ(7)+φ(21)=18．

(2)在不大于pk的正整數(shù)中，只有p的倍數(shù)不