第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣西南寧八中高二（上）診斷數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z的模為10，虛部為?8，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為(

)A.?6 B.6 C.±6 D.362.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A=“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B=“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，則A與B的關(guān)系是(

)A.互斥 B.互為對立 C.相互獨(dú)立 D.相等3.如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′//B′C′，O′A′=2B′C′=2，A′B′=1，則該平面圖形的高為(

)A.2

B.1

C.224.已知α，β是空間中兩個不同的平面，m，n是空間中兩條不同的直線，下列說法正確的是(

)A.若α⊥β，m⊥β，則m//α

B.若m//α，n//α，α//β，則m//n

C.若m⊥β，m//n，n?α，則α⊥β

D.若m⊥α，n//β，α⊥β，則m⊥n5.如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN上，且MN=12ON，AP=34AN，用向量OA，OB，OC表示OPA.14OA+14OB+146.經(jīng)過點(diǎn)P(0,?1)作直線l，若直線l與連接A(1,?2)，B(2,1)兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角α的取值范圍是(

)A.[0,π4]∪[3π4,π) B.[7.如圖所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別滿足AE=23AB，AF=23A.833

B.33

8.在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，面積為S，且3(a2+c2?A.(38,34) 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.第一組樣本數(shù)據(jù)：x1，x2，?，xn，由這組數(shù)據(jù)得到第二組樣本數(shù)據(jù)：y1，y2，?，yn，其中yi=aA.當(dāng)a=1時，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)不相同

B.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差是第一組的a倍

C.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差是第一組的a倍

D.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本方差是第一組的a倍10.已知向量m=(cosα,sinα)，n=(cosβ,sinβ)，且m+nA.m2+n2=1 B.cos(α?β)=0

C.11.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P是底面A1B1CA.A1C⊥AP

B.三棱錐P?BDC1的體積為定值

C.PC⊥平面BDC1

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知|a|=6，b=(3,0)，a?b=?12，則13.若直線過點(diǎn)A(1,2)，且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等，則直線l方程為______．14.已知在三棱錐P?ABC中，PA=4，BC=26，PB=PC=3，PA⊥平面PBC，則三棱錐P?ABC的外接球的表面積是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，且各棱長均相等，D為A1B1的中點(diǎn)．

16.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2bcosC+c=2a．

(1)求角B；

(2)若D為AC的中點(diǎn)，且BD=52，b=3，求△ABC17.(本小題15分)

對800名參加競賽選拔學(xué)生的成績作統(tǒng)計(滿分：100分)，將數(shù)據(jù)分成五組，從左到右依次記為[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計這800名學(xué)生成績的眾數(shù)和平均數(shù)(求平均數(shù)時同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(2)現(xiàn)從以上各組中采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取40人.若分?jǐn)?shù)在區(qū)間[70,90)的學(xué)生實(shí)際成績的平均數(shù)與方差分別為78分和2775，第三組[70,80)的學(xué)生實(shí)際成績的平均數(shù)與方差分別為72分和1，求第四組[80,90)的學(xué)生實(shí)際成績的平均數(shù)與方差．18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+π3)(A>0,ω>0)的部分圖象如圖所示．

(1)求A和ω的值；

(2)求函數(shù)y=f(x)在[0,π]的單調(diào)增區(qū)間；

(3)若函數(shù)g(x)=f(x)+1在區(qū)間(a,b)上恰有10個零點(diǎn)，求b?a19.(本小題17分)

如圖，在直角梯形ABCD中，BC//AD，AD⊥CD，BC=2，AD=3，CD=3，邊AD上一點(diǎn)E滿足DE=1，現(xiàn)將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使平面A1BE⊥平面BCDE，如圖所示．

(1)在棱A1C上是否存在點(diǎn)F，使直線DF//平面A1

參考答案1.C

2.C

3.C

4.C

5.A

6.A

7.A

8.B

9.ABC

10.BD

11.ABD

12.(?4,0)

13.x+y?3=0或x?y+1=0或y=2x

14.43π

15.解：三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，且各棱長均相等，D為A1B1的中點(diǎn)，

(1)證明：連接A1C，交AC1于O，連接OD，則O是A1C的中點(diǎn)，

∴OD/?/B1C，

又OD?平面AC1D，B1C?平面AC1D，

∴B1C/?/平面AC1D.

(2)證明：∵AA1⊥平面A1B16.解：(1)∵2bcosC+c=2a，

∴由余弦定理得2b×a2+b2?c22ab=2a?c，

即a2+c2?b2=ac，即cosB=a2+c2?b22ac=12，

又B∈(0,π)，則B=π17.解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計這800名學(xué)生成績的眾數(shù)為60+702=65(分)；

平均數(shù)約為55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67(分)；

(2)∵第三組與第四組的頻率之比為3：2，

設(shè)第四組[80,90)的學(xué)生實(shí)際成績的平均數(shù)與方差分別為x，y，

∴根據(jù)題意可得78=35×72+25x，解得x=87，

∴2775=35[1+(72?78)2]+18.解：(1)A=2，T4=π3?π12=2π4ω，ω=2，所以f(x)=2sin(2x+π3)．

(2)令?π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，求得?5π12+kπ≤x≤π12+kπ．

又因?yàn)閤∈[0,π]，所以函數(shù)y=f(x)在19.解：(1)當(dāng)F是A1C的中點(diǎn)時，直線DF/?/平面ABE，理由如下：

如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為N，連接EN，F(xiàn)N，

所以FN//BC，F(xiàn)N=12BC，又ED/?/BC，ED=12BC，

所以FN/?/ED且FN=ED，

所以四邊形DENF是平行四邊形，

所以DF/?/EN，又因?yàn)镈F?平面A1BE，EN?平面A1BE，

所以DF/?/平面A1BE，

所以存在點(diǎn)F，使DF/?/平面A1BE，且A1FA1C=12；

(2)在平面圖形中，連接CE，則∠ECD=30°，∠ECB=