第1頁（共1頁）2024-2025學年北京十三中分校八年級（上）期中數學試卷一、選擇題：（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1．（2分）2024年巴黎奧運會和殘奧會體育圖標一共70個．與近年來各大體育類賽事圖標都注重運動員運動狀態刻畫不同，巴黎奧運會則是注重項目本身的展現．此次巴黎奧運會項目圖標在視覺設計上主要融入三個方面的元素——對稱軸設計、項目場地的抽象表達以及項目的代表性元素．如圖，下列哪個圖標屬于軸對稱圖形（忽略圖標上的文字標注）（）A．射箭項目圖標 B．跳水項目圖標 C．鐵人三項圖標 D．賽跑項目圖標2．（2分）課堂上，老師組織大家用小棒擺三角形．已知三條線段的長分別是4，5，m，若它們能構成三角形（）A．10 B．8 C．7 D．43．（2分）下列計算中，正確的是（）A．a3+a3＝a6 B．a2?a5＝a7 C．（2a）3＝2a3 D．3a8÷a2＝3a44．（2分）如圖，已知AB＝AD，那么添加下列一個條件后（）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．∠BCA＝∠DCA5．（2分）下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．3x+3y﹣5＝3（x+y）﹣5 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．6．（2分）數學活動課上，小敏、小穎分別畫了△ABC和△DEF，尺寸如圖，小穎畫的三角形面積記作q，那么你認為（）A．p＞q B．p＜q C．p＝q D．不能確定7．（2分）如圖，△ABC中，AB＜AC＜BC，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作圖痕跡是（）A． B． C． D．8．（2分）在學完《三角形》一章后，某班組織了一次數學活動課，老師讓同學們自己談談對三角形相關知識的理解．小峰說：“存在這樣的三角形，它的三條高的比為1：2：3．”小慧說：“存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其它兩邊和的一半．”下面對于小峰和小慧的說法，判斷正確的是（）A．小峰和小慧均正確 B．小峰和小慧均錯誤 C．小峰正確，小慧錯誤 D．小峰錯誤，小慧正確二、填空題（本大題共8小題，每題2分，共16分）9．（2分）計算：（π﹣1）0＝．10．（2分）如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點A、B的距離，可以在AB的垂線BF上取兩點C、D，再作出BF的垂線DE，使A、C、E三點在一條直線上的長就等于AB的長．判定△ABC和△EDC是全等三角形的依據是．11．（2分）學校附近的胡同里，增設了幾處有立體效果的圖標，起到減速帶的作用．該圖形是由一個等腰三角形和兩個全等的平行四邊形構成的五邊形．12．（2分）小明在做作業時，不慎把墨水滴在紙上，將一個三項式前后兩項污染得看不清楚了，請幫他把前后兩項補充完整，使它成為完全平方式（寫出一種即可））2．13．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，BD＝6cmcm．14．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（2，0），B（4，2），且以O，A，P為頂點的三角形與△OAB全等．15．（2分）小明同學在學習了全等三角形的相關知識后發現，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個銳角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P．16．（2分）如圖，平面直角坐標系中，點B、點C分別為x軸正半軸、y軸正半軸上的動點，使得△ABC為等腰直角三角形，∠CAB＝90°，若C（0，c），B（b，0）（其中，c＞b），則A點坐標為（，）（用含b，c的代數式表示）．三、解答題：（本大題共10小題，共68分．其中17、19、21題，每題8分，18、20、22-24每小題8分，25、26每小題8分）17．（8分）計算：（1）（x﹣1）（x+3）﹣2x2；（2）（x﹣2）2+x（x﹣3）．18．（6分）先化簡，再求值：（4x+1）（4x﹣1）﹣（2x）2+6x3÷3x2，其中x＝﹣1．19．（8分）分解因式：（1）3a2﹣6ab+3b2；（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）．20．（6分）如圖，點A，B，C，D在一條直線上，若∠1＝∠2，EC＝FB．求證：∠E＝∠F．21．（8分）將代數式通過配方得到完全平方式，再運用完全平方式的非負性這一性質解決問題，這種解題方法叫做配方法，如利用配方法求最小值，求a2﹣4a+3的最小值．解：a2﹣4a+3＝a2﹣4a+22﹣22+3＝（a﹣2）2﹣1；∵不論a取何值，（a﹣2）2總是非負數，即（a﹣2）2≥0∴（a﹣2）2﹣1≥﹣1；即當a＝2時，a2﹣4a+3有最小值﹣1根據上述材料，解答下列問題：（1）求a2﹣4a﹣6的最小值；（2）若M＝2a2+3a，N＝3a2+5，比較M、N的大小（寫出比較過程）；（3）若三角形中某兩邊a、b滿足a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，求a+b．22．（6分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC邊上一點，連接BD，且AE＝BD，AE與BC交于點F．（1）求證：CE＝AD；（2）當∠CFE＝∠ADB時，求證：BD平分∠ABC．23．（6分）當我們利用兩種不同的方法計算同一圖形的面積時，可以得到一個等式，例如：由圖可得等式：（a+2b）（a+b）2+3ab+2b2．（1）已知等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，請仿照圖構造相應的圖形（畫在答題紙指定位置）；（2）利用（1）中等式，解決下面的問題：①已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；②已知（b﹣c）2＝4（a﹣b）（c﹣a），用等式表示a、b、c之間的關系，并證明．24．（6分）如圖，△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC+∠EAD＝180°，連接BE、CD，連接AF．求證：CD＝2AF．25．（7分）定義：如圖1，A，B為直線l同側的兩點，過點A作直線l的對稱點A′，連接AP，則稱點P為點A如圖2，在△ABC、△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，連接CE、BD．（1）猜想BD與CE的數量關系是；并證明你的結論．（2）延長CE交BA的延長線于點N，延長BD至點M，使DM＝EN①先補全圖形．②求證：點A為點C，M關于直線BN的“等角點”．26．（7分）在平面直角坐標系xOy中，直線l：x＝m表示經過點（m，0），且平行于y軸的直線．給出如下定義：將點P關于x軸的對稱點P1，稱為點P的一次反射點；將點P1關于直線l的對稱點P2，稱為點P關于直線l的二次反射點．例如，如圖，點M（3，2）1（3，﹣2），點M關于直線l：x＝1的二次反射點為M2（﹣1，﹣2）．已知點A（﹣1，﹣1），B（﹣3，1），C（3，3），D（1，﹣1）．（1）點A的一次反射點為，點A關于直線l1：x＝2的二次反射點為；（2）點B是點A關于直線l2：x＝a的二次反射點，則a的值為；（3）設點A，B，C關于直線l3：x＝t的二次反射點分別為A2，B2，C2，若△A2B2C2與△BCD無公共點，求t的取值范圍．

2024-2025學年北京十三中分校八年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1．（2分）2024年巴黎奧運會和殘奧會體育圖標一共70個．與近年來各大體育類賽事圖標都注重運動員運動狀態刻畫不同，巴黎奧運會則是注重項目本身的展現．此次巴黎奧運會項目圖標在視覺設計上主要融入三個方面的元素——對稱軸設計、項目場地的抽象表達以及項目的代表性元素．如圖，下列哪個圖標屬于軸對稱圖形（忽略圖標上的文字標注）（）A．射箭項目圖標 B．跳水項目圖標 C．鐵人三項圖標 D．賽跑項目圖標【解答】解：B，C，D選項中的圖標都不能找到一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合；A選項中的圖標能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以是軸對稱圖形．故選：A．2．（2分）課堂上，老師組織大家用小棒擺三角形．已知三條線段的長分別是4，5，m，若它們能構成三角形（）A．10 B．8 C．7 D．4【解答】解：由三角形的三邊關系可知：5﹣4＜m＜2+4，即1＜m＜2，則整數m不可能是10，故選：A．3．（2分）下列計算中，正確的是（）A．a3+a3＝a6 B．a2?a5＝a7 C．（2a）3＝2a3 D．3a8÷a2＝3a4【解答】解：∵a3+a3＝7a3，故選項A錯誤，∵a2?a3＝a7，故選項B正確，∵（2a）8＝8a3，故選項C錯誤，∵7a8÷a2＝7a6，故選項D錯誤，故選：B．4．（2分）如圖，已知AB＝AD，那么添加下列一個條件后（）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．∠BCA＝∠DCA【解答】解：A、添加CB＝CD，能判定△ABC≌△ADC；B、添加∠BAC＝∠DAC，能判定△ABC≌△ADC；C、添加∠B＝∠D＝90°，能判定△ABC≌△ADC；D、添加∠BCA＝∠DCA時，故D選項符合題意；故選：D．5．（2分）下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．3x+3y﹣5＝3（x+y）﹣5 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．【解答】解：3x+3y﹣6＝3（x+y）﹣5中等號右邊不是積的形式，則A不符合題意；（x+6）（x﹣1）＝x2﹣7是乘法運算，則B不符合題意；x2+2x+8＝（x+1）2符合因式分解的定義，則C符合題意；x4+x＝x2（x+）中，則D不符合題意；故選：C．6．（2分）數學活動課上，小敏、小穎分別畫了△ABC和△DEF，尺寸如圖，小穎畫的三角形面積記作q，那么你認為（）A．p＞q B．p＜q C．p＝q D．不能確定【解答】解：作AM⊥BC于點M，作DN⊥FE，∵∠DEF＝130°，∴∠DEN＝50°，∵BC＝4，AB＝5，∴p＝，∵EF＝4，DE＝5，∴q＝，∴p＝q，故選：C．7．（2分）如圖，△ABC中，AB＜AC＜BC，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作圖痕跡是（）A． B． C． D．【解答】解：∵PA+PB＝BC，而PC+PB＝BC，∴PA＝PC，∴點P在AC的垂直平分線上，即點P為AC的垂直平分線與BC的交點．故選：D．8．（2分）在學完《三角形》一章后，某班組織了一次數學活動課，老師讓同學們自己談談對三角形相關知識的理解．小峰說：“存在這樣的三角形，它的三條高的比為1：2：3．”小慧說：“存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其它兩邊和的一半．”下面對于小峰和小慧的說法，判斷正確的是（）A．小峰和小慧均正確 B．小峰和小慧均錯誤 C．小峰正確，小慧錯誤 D．小峰錯誤，小慧正確【解答】解：假設存在這樣的三角形，它的三條高的比是1：2：2，得到此三角形三邊比為6：3：7，故假設錯誤；假設存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其他兩邊和的一半，利用三角形全等，這與三角形三邊關系矛盾，所以這樣的三角形不存在．故兩人都不正確．故選：B．二、填空題（本大題共8小題，每題2分，共16分）9．（2分）計算：（π﹣1）0＝1．【解答】解：原式＝1，故答案為：110．（2分）如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點A、B的距離，可以在AB的垂線BF上取兩點C、D，再作出BF的垂線DE，使A、C、E三點在一條直線上DE的長就等于AB的長．判定△ABC和△EDC是全等三角形的依據是ASA．【解答】解：根據題意可知：∠B＝∠CDE＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝DE．故答案為：DE，ASA．11．（2分）學校附近的胡同里，增設了幾處有立體效果的圖標，起到減速帶的作用．該圖形是由一個等腰三角形和兩個全等的平行四邊形構成的五邊形540°．【解答】解：五邊形ABCDE的內角和＝（5﹣2）×180°＝540°，故答案為：540°．12．（2分）小明在做作業時，不慎把墨水滴在紙上，將一個三項式前后兩項污染得看不清楚了，請幫他把前后兩項補充完整，使它成為完全平方式（寫出一種即可）3x+2y（答案不唯一））2．【解答】解：9x2+12xy+4y2＝（3x+7y）2，故答案為：3x+4y（答案不唯一）．13．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，BD＝6cm3cm．【解答】解：如圖，作DE垂直于AB于點E．∵BC＝9cm，BD＝6cm，∴CD＝4cm，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，∴DE＝CD＝3cm，故答案為：3．14．（2分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（2，0），B（4，2），且以O，A，P為頂點的三角形與△OAB全等（4，﹣2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，2）．【解答】解：如圖，①作B關于x的對稱的點P1，連接OP1，AP8，∴OB＝OP1，AB＝AP1，∵OA＝OA，∴△OAP5≌△OAB（SSS），∵B（4，2），∴P3（4，﹣2），②作P5關于直線x＝1對稱的點P2，連接OP5，AP2，則AP1＝OP5，OP1＝AP2，又∵OA＝OA，∴△OAP2≌△AOP2（SSS），∴△OAP2≌△AOB，則點P6（﹣2，﹣2），③作P8關于x軸的對稱的點P3，連接OP3，AP2，則AP3＝AP2，OP2＝OP2，又∵OA＝OA，∴△AOP3≌△AOP8（SSS），∴△AOP3≌△OAB，則點P3（﹣8，2），故答案為：（4，﹣8）或（﹣2，2）．15．（2分）小明同學在學習了全等三角形的相關知識后發現，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個銳角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P在角的內部，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上．【解答】解：如圖，過點P作PD⊥OB于點D，∵是兩把完全相同的長方形直尺，∴PC＝PD，∴∠AOP＝∠BOP，即射線OP就是∠BOA的角平分線（在角的內部．故答案為：在角的內部，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上．16．（2分）如圖，平面直角坐標系中，點B、點C分別為x軸正半軸、y軸正半軸上的動點，使得△ABC為等腰直角三角形，∠CAB＝90°，若C（0，c），B（b，0）（其中，c＞b），則A點坐標為（，）（用含b，c的代數式表示）．【解答】解：如圖所示，過點A作AE⊥x軸于點E，∵∠CAB＝90°，∴∠DAC+∠BAE＝90°，又∵∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠BAE＝∠DCA在△DCA和△EAB中，，∴△DCA≌△EAB（AAS）∴CD＝AE，AD＝BE．設CD＝AE＝x＝EO，AD＝BE＝y．∴AD+AE＝OC＝c，EB﹣OE＝OB＝b，即，解得：，又點A在第二象限，故點A的坐標為：（，）．故答案為：，．三、解答題：（本大題共10小題，共68分．其中17、19、21題，每題8分，18、20、22-24每小題8分，25、26每小題8分）17．（8分）計算：（1）（x﹣1）（x+3）﹣2x2；（2）（x﹣2）2+x（x﹣3）．【解答】解：（1）（x﹣1）（x+3）﹣4x2＝x2+8x﹣3﹣2x4＝﹣x2+2x﹣4；（2）（x﹣2）2+x（x﹣8）＝x2﹣4x+2+x2﹣3x＝2x2﹣7x+2．18．（6分）先化簡，再求值：（4x+1）（4x﹣1）﹣（2x）2+6x3÷3x2，其中x＝﹣1．【解答】解：（4x+1）（6x﹣1）﹣（2x）2+6x3÷7x2＝16x2﹣6﹣4x2+2x＝12x2+2x﹣5，當x＝﹣1時，原式＝12×（﹣1）3+2×（﹣1）﹣3＝12×1﹣2﹣7＝12﹣2﹣1＝7．19．（8分）分解因式：（1）3a2﹣6ab+3b2；（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）．【解答】解：（1）3a2﹣3ab+3b2＝2（a2﹣2ab+b4）＝3（a﹣b）2；（2）x2（m﹣2）+y2（3﹣m）＝（m﹣2）（x2﹣y4）＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）．20．（6分）如圖，點A，B，C，D在一條直線上，若∠1＝∠2，EC＝FB．求證：∠E＝∠F．【解答】證明：∵∠1+∠DBF＝180°，∠2+∠ACE＝180°．又∵∠8＝∠2，∴∠DBF＝∠ACE，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝DB，在△ACE 和△DBF中，∴△ACE≌△DBF（SAS），∴∠E＝∠F．21．（8分）將代數式通過配方得到完全平方式，再運用完全平方式的非負性這一性質解決問題，這種解題方法叫做配方法，如利用配方法求最小值，求a2﹣4a+3的最小值．解：a2﹣4a+3＝a2﹣4a+22﹣22+3＝（a﹣2）2﹣1；∵不論a取何值，（a﹣2）2總是非負數，即（a﹣2）2≥0∴（a﹣2）2﹣1≥﹣1；即當a＝2時，a2﹣4a+3有最小值﹣1根據上述材料，解答下列問題：（1）求a2﹣4a﹣6的最小值；（2）若M＝2a2+3a，N＝3a2+5，比較M、N的大小（寫出比較過程）；（3）若三角形中某兩邊a、b滿足a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，求a+b．【解答】解：（1）a2﹣4a﹣7＝a2﹣4a+52﹣26﹣6＝（a﹣2）5﹣10；∵不論a取何值，（a﹣2）2總是非負數，即（a﹣6）2≥0，∴（a﹣6）2﹣10≥﹣10；∴當a＝2時，a8﹣4a﹣6的最小值﹣10，答：a6﹣4a﹣6的最小值﹣10；（2）∵M＝2a2+3a，N＝5a2+5，∴N﹣M＝（6a2+5）﹣（4a2+3a）＝6a2+5﹣2a2﹣3a＝a4﹣3a+5＝a4﹣3a++5＝（a﹣）2+，∵（a﹣）8≥0，∴（a﹣）2+＞8，∴N﹣M＞0，∴N＞M；（3）∵a2+b2﹣6a﹣14b+58＝0，∴a4﹣6a+9+b7﹣14b+49＝0，∴（a﹣3）6+（b﹣7）2＝8，∵（a﹣3）2≥6，（b﹣7）2≥3，∴（a﹣3）2＝3，（b﹣7）2＝2，∴a＝3，b＝7，∴a+b＝5+7＝10，答：a+b的值為10．22．（6分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC邊上一點，連接BD，且AE＝BD，AE與BC交于點F．（1）求證：CE＝AD；（2）當∠CFE＝∠ADB時，求證：BD平分∠ABC．【解答】證明：（1）∵EC⊥AC，∴∠ACE＝90°＝∠BAD，在Rt△ACE與Rt△BAD中，，∴Rt△ACE≌Rt△BAD（HL），∴CE＝AD；（2）∵Rt△ACE≌Rt△BAD，∴∠BDA＝∠AEC，∵∠CFE＝∠ADB，∴∠CFE＝∠AEC，∵∠BAC＝∠ACE＝90°，∴AB∥CE，∴∠AEC＝∠BAE，∵∠CAE+∠AEC＝90°，∴∠CAE+∠BDA＝90°，∴BD⊥AE，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC．23．（6分）當我們利用兩種不同的方法計算同一圖形的面積時，可以得到一個等式，例如：由圖可得等式：（a+2b）（a+b）2+3ab+2b2．（1）已知等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，請仿照圖構造相應的圖形（畫在答題紙指定位置）；（2）利用（1）中等式，解決下面的問題：①已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；②已知（b﹣c）2＝4（a﹣b）（c﹣a），用等式表示a、b、c之間的關系，并證明．【解答】解：（1）以a+b+c為邊，構造一個正方形，（2）①由（1）可得，（a+b+c）2＝a2+b3+c2+2ab+6ac+2bc＝a2+b8+c2+2（ab+ac+bc），當a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38時，116＝a2+b2+c6+2×38，即a2+b8+c2+76＝121，∴a2+b3+c2＝45；②由（b﹣c）2＝3（a﹣b）（c﹣a），可得（c﹣b）2＝4（a﹣b）（c﹣a），令a﹣b＝m，c﹣a＝n，∴（m+n）5＝4mn，即（m﹣n）2＝8，∴m＝n，即a﹣b＝c﹣a，∴2a＝b+c．24．（6分）如圖，△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC+∠EAD＝180°，連接BE、CD，連接AF．求證：CD＝2AF．【解答】證明：延長AF至G，使得FG＝AF，如圖所示：∵F為BE的中點，∴EF＝BF，在△AFE和△GFB中，，∴△AFE≌△GFB（SAS），∴∠EAF＝∠G，AE＝BG，∴AE∥BG，∴∠GBA+∠BAE＝180°，∵∠BAC+∠EAD＝180°，∴∠DAC+∠BAE＝180°，∴∠GBA＝∠DAC，∵AD＝AE，∴BG＝AD，在△GBA和△DAC中，，∴△GBA≌△DAC（SAS），∴AG＝CD，∵AG＝2AF，∴CD＝2AF．25．（7分）定義：如圖1，A，B為直線l同側的兩點，過點A作直線l的對稱點A′，連接AP，則稱點P為點A如圖2，在△ABC、△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，連接CE、BD．（1）猜想BD與CE的數量關系是BD＝CE；并證明你的結論．（2）延長CE交BA的延長線于點N，延長BD至點M，使DM＝EN①先補全圖形．②求證：點A為點C，M關于直線BN的“等角點”．【解答】（1）證明：在△ABC、△ADE中，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE