1、數學建模競賽試題B題：如何進行人員分配“A公司”是一家從事建筑工程的公司，現有41個專業技術人員，其結構和相應的工資水平分布如表1所示：表1人員結構及工資情況人員工資情疝高級工程師工程師助理工程師技術貝人數917105日工資（元）250200170110目前，公司承接4個工程項目，其中2項是現場施工，分別在A地和B地,主要工作在現場完成；另外2項是工程設計，分別在C地和D地，主要工作在辦公室完成。由于4個項目來源于不同客戶，并且工作的難易程度不同，因此，各項目的合同對有關技術人員的收費標準不同，具體情況如表2:表2不同項目和各種人員的收費標準人員項目高級工程師工程師助理工程師技術貝收費（元/天

2、）A1000800600500B1500800700600C1300900700400D1000800700500為了保證工程質量，各項目中必須保證專業人員結構符合客戶的要求，具體情況如表3所小：表3各項目對專業技術人員結構的要求項目人員ABCD高級工程師1325212工程師>2>2>228助理工程師至2至2>2>1技術貝之1至3>1總計<10<16<11<18說明：（1）項目D，由于技術要求較高，人員配備必須是助理工程師以上，技術員不能參加；（2）高級工程師相對稀少，而且是保證質量的關鍵，因此，各項目客戶對高級工程師的配備要求不能少

3、于一定數目的限制。各項目對其他專業人員也有不同的限制或要求；（3）各項目客戶對總人數都有限制；（4）由于C，D兩項目是在辦公室完成，所以每人每天有50元的管理費開支；由于收費是按人工計算的，而且4個項目總共同時最多需要的人數是10+16+11+18=55，多于公司現有人數41，應如何合理地分配現有的人員力量，使公司每天的直接受益最大？10如何進行人員分配目錄一、問題重述二、問題分析三、問題假設四、模型建立五、模型求解六、結果分析七、模型評價八、模型改進一、問題重述企業的人力資源管理是一門科學，而人力資源管理最主要的任務是如何把企業現有的人力資源安排到合適的工作崗位，以使企業能夠獲得更高的經濟效

4、益。尤其是在人力資源稀缺的情況下，合理的安排各人員的任務更是顯得至關重要。接下來我們將要解決的就是一個企業人員分配的問題。在這個問題中，A建筑工程公司有高級工程師、工程師、助理工程師、技術員等四種不同級別的工作人員，并且公司同時承接了A、B、GD四個不同的工程項目。公司不同級別的技術人員的工資是固定不變的，各級別技術人員的數量也是一定的，為了保證工程質量，各項目中必須保證專業人員結構符合客戶的要求，在各項目的收費標準也是一定的情況下，合理的安排現有的技術人員的任務，將使公司獲得一個最大的利潤。那么，為了獲得最大收益，A公司到底應該如何把這四種不同級別的技術人員安排到四個不同的項目中去呢？本文中

5、，我們將重點對該問題進行分析。二、問題分析該問題的任務是，通過合理分配人員，使公司每天的直接收益最大。公司的主要收入來源是對各項目所收取的費用，支出主要有兩項：四種不同級別的技術人員的工資和項目期間的辦公費用。公司的直接收益是總收入減去總支出。A公司對各個項目的不同技術人員的收費標準都高于對應技術人員的總支出費用。我們可以得出不同項目對應不同級別技術人員的利潤表如下：人員項目高級工程師工程師助理工程師技術貝利潤（元/天）A750600430390B1250600530490C1000650480240D700550480340注：該表中的利潤值是已經減去辦公費用的值同時，技術人員的分配受到不同

6、項目對技術人員結構要求的約束，由于公司人員有限，各項目的技術人員安排不可能同時達到所需的最大數量，我們要將現有的41名技術人員對最大55個可用崗位進行安排。從以上分析結果，我們可以確定這是一個線性規劃問題，對公司現有的各級別技術人員進行合理的任務安排，可以使公司獲得一個最大利潤。接下來，我們就將問題轉化到如何將A公司各級別技術人員安排到55個崗位上來，使公司獲得最大利潤。三、問題假設1、公司的現有技術人員數量和結構保持不變，即公司不會再臨時招聘專業技術人員；2、一旦任務分配好之后，不會再出現人員變動的情況，并且不可能出現同一個技術人員同時擔任兩個項目的工作；3、對項目的收費標準和專業技術人員的

7、工資水平保持不變；4、排除人員因生病、請假等不能正常工作的情況，排除天氣對項目進行的影響；四、模型建立1、決策變量：對各項目分配的技術人員數目設如下變量:人員數目ABCD高級工程師x11x12x13x14工程師x21x22x23x24助理工程師x31x32x33x34技術貝x41x42x43x442、目標函數：設公司每天的利潤為萌，根據利潤表和人員分配表，公司每天的總利潤可以表示為：M=750*x11+1250*x12+1000*x13+700*x14+600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+430*x31+530*x32+480*x33+480*x34+390*x41

8、+490*x42+240*x43+340*x443、約束條件：(1)各項目的不同技術人員數量約束如下:1<x11<32<x12<5x13=21<x14<2x21>2x22>2x23>22<x24<8x31>2x32>2x33>2x34>1x41>1x42>3x43>1x44=0(2)各項目安排的總人員約束如下：x11+x21+x31+x41<10x12+x22+x32+x42<16x13+x23+x33+x43<11x14+x24+x34+x44<18(3)各級別

9、技術人員總數約束如下：x11+x12+x13+x14<9x21+x22+x23+x24<17x31+x32+x33+x34<10x41+x42+x43+x44<5五、模型求解對于這種整數規劃類型的問題，可以用分支定界法來進行求解。但是由于該模型的變量比較多，用分支定界法進行手工求解是比較麻煩的，而lingo軟件求解整數規劃問題時，正是基于這種方法，所以我們可以借助lingo軟件進行求解。編寫lingo程序如下：model:max=750*x11+1250*x12+1000*x13+700*x14+600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+430*x

10、31+530*x32+480*x33+480*x34+390*x41+490*x42+240*x43+340*x44;x11+x12+x13+x14<=9;x21+x22+x23+x24<=17;x31+x32+x33+x34<=10;x41+x42+x43+x44<=5;x11+x21+x31+x41<=10;x12+x22+x32+x42<=16;x13+x23+x33+x43<=11;x14+x24+x34+x44<=18;x11>=1x11<=3x12>=2x12<=5x13=2;x14>=1x14<=

11、2x21>=2x22>=2x23>=2x24>=2x24<=8x31>=2x32>=2x33>=2x34>=1x41>=1x42>=3x43>=1x44=0;End運行程序（運行結果見附錄一）,求得最優解為27150元，即為公司每天最大直接收益。各項目的專業技術人員最優分配表如下：項目人員ABCD總計高級工程師15219工程師636217助理工程師252110技術貝13105總計101611441六、結果分析從運行結果（詳見附錄一）可以看出，公司的41名技術人員都能分配到任務，且完全符合各項目對技術人員結構的要求。而且，從

12、其“影子價格”一欄可得知，在其他條件不變的情況下，每增加一名高級工程師，公司的最大直接收益就增加700元；每增加一名工程師，公司的最大直接收益就增加550元；每增加一名助理工程師，公司的最大直接收益增加480元；每增加一名技術員，公司的最大直接收益增加440元。因此，在不影響公司正常業務的情況下，應減少助理工程師和技術員的人數，增加高級工程師和工程師的人數，以使公司獲得最大的直接收益。七、模型評價1模型優點：（1）該模型對問題用線性規劃進行分析，而且列出了利潤表對問題進行簡化，使得問題變得簡單，也減少了模型變量的數量，使得分析問題變得簡單；（2）結果分析了各級別技術人員數量增加時對企業利潤的影

13、響，給人力資源結構調整作了一個參照，以及今后公司擴展業務時應該招聘的人員比例。2模型缺點：（1）本模型忽略了實際作業時的多種因素，例如天氣、人員缺勤等不確定因素；（2）本模型未對公司實際作業時的其他支出進行考慮，如購買工具、設備折舊等；八、模型改進四個項目同時要求的總人數為55人，而公司實際人口為41人，如果公司招聘更多的技術人員會使利潤增加，但應該招多少高級工程師、工程師、助理工程師和技術員，才能使公司的直接收益最大呢？下面我們對此問題進行求解。假設其他條件不變，新招聘的技術人員的工資標準和現有人員的相同。我們編寫如下lingo程序并進行求解：model:max=750*x11+1250*x

14、12+1000*x13+700*x14+600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+430*x31+530*x32+480*x33+480*x34+390*x41+490*x42+240*x43+340*x44;x11+x21+x31+x41<=10;x12+x22+x32+x42<=16;x13+x23+x33+x43<=11;x14+x24+x34+x44<=18;x11>=1;x11<=3;x12>=2;x12<=5;x13=2;x14>=1;x14<=2;x21>=2;x22>=2;x23>=2;x24>=2;x24<=8;x31>=2;x32>=2;x33>=2;x34>=1;x41>=1;x42>=3;x43>=