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文檔簡介
金平區重點達標名校2023-2024學年中考四模數學試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1.實數a在數軸上對應點的位置如圖所示,把a,﹣a,a2按照從小到大的順序排列,正確的是()A.﹣a<a<a2 B.a<﹣a<a2 C.﹣a<a2<a D.a<a2<﹣a2.已知拋物線y=ax2+bx+c(a<0)與x軸交于點A(﹣1,0),與y軸的交點在(0,2),(0,3)之間(包含端點),頂點坐標為(1,n),則下列結論:①4a+2b<0;②﹣1≤a≤;③對于任意實數m,a+b≥am2+bm總成立;④關于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有兩個不相等的實數根.其中結論正確的個數為()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個3.如圖,長度為10m的木條,從兩邊各截取長度為xm的木條,若得到的三根木條能組成三角形,則x可以取的值為()A.2m B.m C.3m D.6m4.平面直角坐標系中,若點A(a,﹣b)在第三象限內,則點B(b,a)所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.3月22日,美國宣布將對約600億美元進口自中國的商品加征關稅,中國商務部隨即公布擬對約30億美元自美進口商品加征關稅,并表示,中國不希望打貿易戰,但絕不懼怕貿易戰,有信心,有能力應對任何挑戰.將數據30億用科學記數法表示為()A.3×109 B.3×108 C.30×108 D.0.3×10106.如圖,一次函數y1=x與二次函數y2=ax2+bx+c圖象相交于P、Q兩點,則函數y=ax2+(b-1)x+c的圖象可能是()A. B. C. D.7.如圖,點C、D是線段AB上的兩點,點D是線段AC的中點.若AB=10cm,BC=4cm,則線段DB的長等于()A.2cm B.3cm C.6cm D.7cm8.下列算式的運算結果正確的是()A.m3?m2=m6B.m5÷m3=m2(m≠0)C.(m﹣2)3=m﹣5D.m4﹣m2=m29.設x1,x2是方程x2-2x-1=0的兩個實數根,則的值是()A.-6 B.-5 C.-6或-5 D.6或510.一次函數滿足,且隨的增大而減小,則此函數的圖象不經過()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題(本大題共6個小題,每小題3分,共18分)11.二次函數的圖象與x軸有____個交點
.12.分解因式:.13.如圖,扇形的半徑為,圓心角為120°,用這個扇形圍成一個圓錐的側面,所得的圓錐的高為______.14.如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,BC邊上的高AD=6cm,腰AB上的高CE=8cm,則BC=_____cm15.如圖,在平面直角坐標系中,反比例函數y=(x>0)的圖象交矩形OABC的邊AB于點D,交BC于點E,且BE=2EC,若四邊形ODBE的面積為8,則k=_____.16.如圖,已知,D、E分別是邊AB、AC上的點,且設,,那么______用向量、表示三、解答題(共8題,共72分)17.(8分)已知關于x的一元二次方程3x2﹣6x+1﹣k=0有實數根,k為負整數.求k的值;如果這個方程有兩個整數根,求出它的根.18.(8分)已知拋物線y=﹣2x2+4x+c.(1)若拋物線與x軸有兩個交點,求c的取值范圍;(2)若拋物線經過點(﹣1,0),求方程﹣2x2+4x+c=0的根.19.(8分)x取哪些整數值時,不等式5x+2>3(x-1)與x≤2-x都成立?20.(8分)如今很多初中生購買飲品飲用,既影響身體健康又給家庭增加不必要的開銷,為此數學興趣小組對本班同學一天飲用飲品的情況進行了調查,大致可分為四種:A:自帶白開水;B:瓶裝礦泉水;C:碳酸飲料;D:非碳酸飲料.根據統計結果繪制如下兩個統計圖(如圖),根據統計圖提供的信息,解答下列問題:請你補全條形統計圖;在扇形統計圖中,求“碳酸飲料”所在的扇形的圓心角的度數;為了養成良好的生活習慣,班主任決定在自帶白開水的5名同學(男生2人,女生3人)中隨機抽取2名同學擔任生活監督員,請用列表法或樹狀圖法求出恰好抽到一男一女的概率.21.(8分)如圖,點D是AB上一點,E是AC的中點,連接DE并延長到F,使得DE=EF,連接CF.求證:FC∥AB.22.(10分)某學校計劃組織全校1441名師生到相關部門規劃的林區植樹,經過研究,決定租用當地租車公司一共62輛A,B兩種型號客車作為交通工具.下表是租車公司提供給學校有關兩種型號客車的載客量和租金信息:型號載客量租金單價A30人/輛380元/輛B20人/輛280元/輛注:載客量指的是每輛客車最多可載該校師生的人數設學校租用A型號客車x輛,租車總費用為y元.求y與x的函數解析式,請直接寫出x的取值范圍;若要使租車總費用不超過21940元,一共有幾種租車方案?哪種租車方案總費用最省?最省的總費用是多少?23.(12分)如圖,二次函數y=ax2+2x+c的圖象與x軸交于點A(﹣1,0)和點B,與y軸交于點C(0,3).(1)求該二次函數的表達式;(2)過點A的直線AD∥BC且交拋物線于另一點D,求直線AD的函數表達式;(3)在(2)的條件下,請解答下列問題:①在x軸上是否存在一點P,使得以B、C、P為頂點的三角形與△ABD相似?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;②動點M以每秒1個單位的速度沿線段AD從點A向點D運動,同時,動點N以每秒個單位的速度沿線段DB從點D向點B運動,問:在運動過程中,當運動時間t為何值時,△DMN的面積最大,并求出這個最大值.24.如圖,已知拋物線過點A(4,0),B(﹣2,0),C(0,﹣4).(1)求拋物線的解析式;(2)在圖甲中,點M是拋物線AC段上的一個動點,當圖中陰影部分的面積最小值時,求點M的坐標;(3)在圖乙中,點C和點C1關于拋物線的對稱軸對稱,點P在拋物線上,且∠PAB=∠CAC1,求點P的橫坐標.
參考答案一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1、D【解析】
根據實數a在數軸上的位置,判斷a,﹣a,a2在數軸上的相對位置,根據數軸上右邊的數大于左邊的數進行判斷.【詳解】由數軸上的位置可得,a<0,-a>0,0<a2<a,所以,a<a2<﹣a.故選D【點睛】本題考核知識點:考查了有理數的大小比較,解答本題的關鍵是根據數軸判斷出a,﹣a,a2的位置.2、C【解析】
①由拋物線的頂點橫坐標可得出b=-2a,進而可得出4a+2b=0,結論①錯誤;
②利用一次函數圖象上點的坐標特征結合b=-2a可得出a=-,再結合拋物線與y軸交點的位置即可得出-1≤a≤-,結論②正確;
③由拋物線的頂點坐標及a<0,可得出n=a+b+c,且n≥ax2+bx+c,進而可得出對于任意實數m,a+b≥am2+bm總成立,結論③正確;
④由拋物線的頂點坐標可得出拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n只有一個交點,將直線下移可得出拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n-1有兩個交點,進而可得出關于x的方程ax2+bx+c=n-1有兩個不相等的實數根,結合④正確.【詳解】:①∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為(1,n),
∴-=1,
∴b=-2a,
∴4a+2b=0,結論①錯誤;
②∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(-1,0),
∴a-b+c=3a+c=0,
∴a=-.
又∵拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點在(0,2),(0,3)之間(包含端點),
∴2≤c≤3,
∴-1≤a≤-,結論②正確;
③∵a<0,頂點坐標為(1,n),
∴n=a+b+c,且n≥ax2+bx+c,
∴對于任意實數m,a+b≥am2+bm總成立,結論③正確;
④∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為(1,n),
∴拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n只有一個交點,
又∵a<0,
∴拋物線開口向下,
∴拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n-1有兩個交點,
∴關于x的方程ax2+bx+c=n-1有兩個不相等的實數根,結合④正確.
故選C.【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系、拋物線與x軸的交點以及二次函數的性質,觀察函數圖象,逐一分析四個結論的正誤是解題的關鍵.3、C【解析】
依據題意,三根木條的長度分別為xm,xm,(10-2x)m,在根據三角形的三邊關系即可判斷.【詳解】解:由題意可知,三根木條的長度分別為xm,xm,(10-2x)m,∵三根木條要組成三角形,∴x-x<10-2x<x+x,解得:.故選擇C.【點睛】本題主要考察了三角形三邊的關系,關鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差的絕對值小于第三邊.4、D【解析】分析:根據題意得出a和b的正負性,從而得出點B所在的象限.詳解:∵點A在第三象限,∴a<0,-b<0,即a<0,b>0,∴點B在第四象限,故選D.點睛:本題主要考查的是象限中點的坐標特點,屬于基礎題型.明確各象限中點的橫縱坐標的正負性是解題的關鍵.5、A【解析】
科學記數法的表示形式為的形式,其中,n為整數確定n的值時,要看把原數變成a時,小數點移動了多少位,n的絕對值與小數點移動的位數相同當原數絕對值時,n是正數;當原數的絕對值時,n是負數.【詳解】將數據30億用科學記數法表示為,故選A.【點睛】此題考查科學記數法的表示方法科學記數法的表示形式為的形式,其中,n為整數,表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.6、A【解析】
由一次函數y1=x與二次函數y2=ax2+bx+c圖象相交于P、Q兩點,得出方程ax2+(b-1)x+c=0有兩個不相等的根,進而得出函數y=ax2+(b-1)x+c與x軸有兩個交點,根據方程根與系數的關系得出函數y=ax2+(b-1)x+c的對稱軸x=->0,即可進行判斷.【詳解】點P在拋物線上,設點P(x,ax2+bx+c),又因點P在直線y=x上,∴x=ax2+bx+c,∴ax2+(b-1)x+c=0;由圖象可知一次函數y=x與二次函數y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q兩點,∴方程ax2+(b-1)x+c=0有兩個正實數根.∴函數y=ax2+(b-1)x+c與x軸有兩個交點,又∵->0,a>0∴-=-+>0∴函數y=ax2+(b-1)x+c的對稱軸x=->0,∴A符合條件,故選A.7、D【解析】【分析】先求AC,再根據點D是線段AC的中點,求出CD,再求BD.【詳解】因為,AB=10cm,BC=4cm,所以,AC=AB-BC=10-4=6(cm)因為,點D是線段AC的中點,所以,CD=3cm,所以,BD=BC+CD=3+4=7(cm)故選D【點睛】本題考核知識點:線段的中點,和差.解題關鍵點:利用線段的中點求出線段長度.8、B【解析】
直接利用同底數冪的除法運算法則以及合并同類項法則、積的乘方運算法則分別化簡得出答案.【詳解】A、m3?m2=m5,故此選項錯誤;B、m5÷m3=m2(m≠0),故此選項正確;C、(m-2)3=m-6,故此選項錯誤;D、m4-m2,無法計算,故此選項錯誤;故選:B.【點睛】此題主要考查了同底數冪的除法運算以及合并同類項法則、積的乘方運算,正確掌握運算法則是解題關鍵.9、A【解析】試題解析:∵x1,x2是方程x2-2x-1=0的兩個實數根,∴x1+x2=2,x1?x2=-1∴=.故選A.10、A【解析】試題分析:根據y隨x的增大而減小得:k<0,又kb>0,則b<0,故此函數的圖象經過第二、三、四象限,即不經過第一象限.故選A.考點:一次函數圖象與系數的關系.二、填空題(本大題共6個小題,每小題3分,共18分)11、2【解析】【分析】根據一元二次方程x2+mx+m-2=0的根的判別式的符號進行判定二次函數y=x2+mx+m-2的圖象與x軸交點的個數.【詳解】二次函數y=x2+mx+m-2的圖象與x軸交點的縱坐標是零,即當y=0時,x2+mx+m-2=0,∵△=m2-4(m-2)=(m-2)2+4>0,∴一元二次方程x2+mx+m-2=0有兩個不相等是實數根,即二次函數y=x2+mx+m-2的圖象與x軸有2個交點,故答案為:2.【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點.二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0)的交點與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關系.△=b2-4ac決定拋物線與x軸的交點個數.△=b2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點;△=b2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點;△=b2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點.12、.【解析】要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式,若有公因式,則把它提取出來,之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式,若是就考慮用公式法繼續分解因式.因此,先提取公因式后繼續應用平方差公式分解即可:.考點:提公因式法和應用公式法因式分解.13、4cm【解析】
求出扇形的弧長,除以2π即為圓錐的底面半徑,然后利用勾股定理求得圓錐的高即可.【詳解】扇形的弧長==4π,
圓錐的底面半徑為4π÷2π=2,
故圓錐的高為:=4,
故答案為4cm.【點睛】本題考查了圓錐的計算,重點考查了扇形的弧長公式;圓的周長公式;用到的知識點為:圓錐的弧長等于底面周長.14、【解析】
根據三角形的面積公式求出=,根據等腰三角形的性質得到BD=DC=BC,根據勾股定理列式計算即可.【詳解】∵AD是BC邊上的高,CE是AB邊上的高,∴AB?CE=BC?AD,∵AD=6,CE=8,∴=,∴=,∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC=BC,∵AB2?BD2=AD2,∴AB2=BC2+36,即BC2=BC2+36,解得:BC=.故答案為:.【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質、勾股定理的應用和三角形面積公式的應用,根據三角形的面積公式求出腰與底的比是解題的關15、1【解析】
連接OB,由矩形的性質和已知條件得出△OBD的面積=△OBE的面積=四邊形ODBE的面積,再求出△OCE的面積為2,即可得出k的值.【詳解】連接OB,如圖所示:∵四邊形OABC是矩形,∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°,△OAB的面積=△OBC的面積,∵D、E在反比例函數y=(x>0)的圖象上,∴△OAD的面積=△OCE的面積,∴△OBD的面積=△OBE的面積=四邊形ODBE的面積=1,∵BE=2EC,∴△OCE的面積=△OBE的面積=2,∴k=1.故答案為:1.【點睛】本題考查了反比例函數的系數k的幾何意義:在反比例函數y=xk圖象中任取一點,過這一個點向x軸和y軸分別作垂線,與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|.在反比例函數的圖象上任意一點向坐標軸作垂線,這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形的面積是|k|,且保持不變.16、【解析】
在△ABC中,,∠A=∠A,所以△ABC△ADE,所以DE=BC,再由向量的運算可得出結果.【詳解】解:在△ABC中,,∠A=∠A,∴△ABC△ADE,∴DE=BC,∴=3=3∴=,故答案為.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質以及向量的運算.三、解答題(共8題,共72分)17、(2)k=﹣2,﹣2.(2)方程的根為x2=x2=2.【解析】
(2)根據方程有實數根,得到根的判別式的值大于等于0列出關于k的不等式,求出不等式的解集即可得到k的值;(2)將k的值代入原方程,求出方程的根,經檢驗即可得到滿足題意的k的值.【詳解】解:(2)根據題意,得△=(﹣6)2﹣4×3(2﹣k)≥0,解得k≥﹣2.∵k為負整數,∴k=﹣2,﹣2.(2)當k=﹣2時,不符合題意,舍去;當k=﹣2時,符合題意,此時方程的根為x2=x2=2.【點睛】本題考查了根的判別式,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2-4ac有如下關系:(2)△>0時,方程有兩個不相等的實數根;(2)△=0時,方程有兩個相等的實數根;(3)△<0時,方程沒有實數根.也考查了一元二次方程的解法.18、(1)c>﹣2;(2)x1=﹣1,x2=1.【解析】
(1)根據拋物線與x軸有兩個交點,b2-4ac>0列不等式求解即可;
(2)先求出拋物線的對稱軸,再根據拋物線的對稱性求出拋物線與x軸的另一個交點坐標,然后根據二次函數與一元二次方程的關系解答.【詳解】(1)解:∵拋物線與x軸有兩個交點,∴b2﹣4ac>0,即16+8c>0,解得c>﹣2;(2)解:由y=﹣2x2+4x+c得拋物線的對稱軸為直線x=1,∵拋物線經過點(﹣1,0),∴拋物線與x軸的另一個交點為(1,0),∴方程﹣2x2+4x+c=0的根為x1=﹣1,x2=1.【點睛】考查了拋物線與x軸的交點問題、二次函數與一元二次方程,解題關鍵是運用了根與系數的關系以及二次函數的對稱性.19、-2,-1,0,1【解析】
解不等式5x+2>3(x-1)得:得x>-2.5;解不等式x≤2-x得x≤1.則這兩個不等式解集的公共部分為,因為x取整數,則x取-2,-1,0,1.故答案為-2,-1,0,1【點睛】本題考查了求不等式組的整數解,先求出每個不等式的解集,再求出它們的公共部分,最后確定公共的整數解(包括正整數,0,負整數).20、(1)詳見解析;(2)72°;(3)3【解析】
(1)由B類型的人數及其百分比求得總人數,在用總人數減去其余各組人數得出C類型人數,即可補全條形圖;(2)用360°乘以C類別人數所占比例即可得;(3)用列表法或畫樹狀圖法列出所有等可能結果,從中確定恰好抽到一男一女的結果數,根據概率公式求解可得.【詳解】解:(1)∵抽查的總人數為:20÷40%=50(人)∴C類人數為:50-5-20-15=10(人)補全條形統計圖如下:(2)“碳酸飲料”所在的扇形的圓心角度數為:10(3)設男生為A1、A2,女生為B1、B畫樹狀圖得:∴恰好抽到一男一女的情況共有12種,分別是A∴P(恰好抽到一男一女)=12【點睛】本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用以及概率的求法,讀懂統計圖,從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵.條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據;扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小.21、答案見解析【解析】
利用已知條件容易證明△ADE≌△CFE,得出角相等,然后利用平行線的判定可以證明FC∥AB.【詳解】解:∵E是AC的中點,∴AE=CE.在△ADE與△CFE中,∵AE=EC,∠AED=∠CEF,DE=EF,∴△ADE≌△CFE(SAS),∴∠EAD=∠ECF,∴FC∥AB.【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定,平行線的判定定理.通過全等得角相等,然后得到兩線平行時一種常用的方法,應注意掌握運用.22、(1)21≤x≤62且x為整數;(2)共有25種租車方案,當租用A型號客車21輛,B型號客車41輛時,租金最少,為19460元.【解析】
(1)根據租車總費用=A、B兩種車的費用之和,列出函數關系式,再根據AB兩種車至少要能坐1441人即可得取x的取值范圍;(2)由總費用不超過21940元可得關于x的不等式,解不等式后再利用函數的性質即可解決問題.【詳解】(1)由題意得y=380x+280(62-x)=100x+17360,∵30x+20(62-x)≥1441,∴x≥20.1,∴21≤x≤62且x為整數;(2)由題意得100x+17360≤21940,解得x≤45.8,∴21≤x≤45且x為整數,∴共有25種租車方案,∵k=100>0,∴y隨x的增大而增大,當x=21時,y有最小值,y最小=100×21+17360=19460,故共有25種租車方案,當租用A型號客車21輛,B型號客車41輛時,租金最少,為19460元.【點睛】本題考查了一次函數的應用、一元一次不等式的應用等,解題的關鍵是理解題意,正確列出函數關系式,會利用函數的性質解決最值問題.23、(1)y=﹣x2+2x+3;(2)y=﹣x﹣1;(3)P()或P(﹣4.5,0);當t=時,S△MDN的最大值為.【解析】
(1)把A(-1,0),C(0,3)代入y=ax2+2x+c即可得到結果;
(2)在y=-x2+2x+3中,令y=0,則-x2+2x+3=0,得到B(3,0),由已知條件得直線BC的解析式為y=-x+3,由于AD∥BC,設直線AD的解析式為y=-x+b,即可得到結論;
(3)①由BC∥AD,得到∠DAB=∠CBA,全等只要當或時,△PBC∽△ABD,解方程組得D(4,?5),求得設P的坐標為(x,0),代入比例式解得或x=?4.5,即可得到或P(?4.5,0);
②過點B作BF⊥AD于F,過點N作NE⊥AD于E,在Rt△AFB中,∠BAF=45°,于是得到sin∠BAF求得求得由于于是得到即可得到結果.【詳解】(1)由題意知:解得∴二次函數的表達式為(2)在中,令y=0,則解得:∴B(3,0),由已知條件得直線BC的解析式為y=?x+3,∵AD∥BC,∴設直線AD的解析式為y=?x+b,∴0=1+b,∴b=?1,∴直線AD的解析式為y=?x?1;(3)①∵BC∥AD,∴∠DAB=∠CBA
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