第1頁共16頁《平面的基本性質》課堂教學實錄（一）平面的基本性質是研究空間圖形性質的理論基礎，也是以后演繹推理的邏輯依據．平面的基本性質是通過三條公理及其重要推論來刻劃的，通過這些內容的教學，使學生初步了解從具體的直觀形象到嚴格的數學表述的方法，使學生的思維從直覺思維上升至分析思維，使學生的觀念逐步從平面轉向空間．一、素質教育目標（一）知識教學點平面的基本性質是通過三個與平面的特征有關的公理來規定的．1．公理1說明了平面與曲面的本質區別．通過直線的“直”來刻劃平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展性”，它既是判斷直線在平面內，又是檢驗平面的方法．2．公理2揭示了兩個平面相交的主要特征，提供了確定兩個平面交線的方法．3．公理3及其三個推論是空間里確定一個平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問題轉化為平面問題的重要條件，這個轉化使得立體幾何的問題得以在確定的平面內充分使用平面幾何的知識來解決，是立體幾何中解決相當一部分問題的主要的思想方法．4．“有且只有一個”的含義分兩部分理解，“有”說明圖形存在，但不唯一，“只有一個”說明圖形如果有頂多只有一個，但不保證符合條件的圖形存在，“有且只有一個”既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性．在數學語言的敘述中，“確定一個”，“可以作且只能作一個”與“有且只有一個”是同義詞，因此，在證明有關這類語句的命題時，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來論證．5．公理3的三個推論是以公理3為主要的推理論證的依據，是命題間邏輯關系的體現，為使命題的敘述和論證簡明、準確，應將其證明過程用數學的符號語言表述．（二）能力訓練點1．通過由模型示范到三條公理的文字敘述培養觀察能力與空間想象能力．2．通過由公理3導出其三個推論的思考與論證培養邏輯推理能力．3．將三條定理及三個推論用符號語言表述，提高幾何語言水平．（三）德育滲透點借助模型和實物來說明三個公理，進行“數學來源于實踐”的唯物主義觀念的教育，通過三條公理及公理3的三個推論的學習，逐步滲透事物間既有聯系又有區別的觀點，更由于對三個推論的證明培養言必有據，一絲不茍的學習品質和公理法思想．二、教學重點、難點、疑點及解決辦法1．教學重點（1）體現平面基本性質的三條公理及其作用．（3）兩條公理及公理3的三個推論中的“有且只有一個”的含義．（3）用圖形語言和符號語言表述三條公理及公理3的三個推論．（4）理解用反證法和同一法證明命題的思路，并會證一些簡單問題．2．教學難點（1）對“有且只有一個”語句的理解．（2）對公理3的三個推論的存在性與唯一性的證明及書寫格式．（3）確定兩相交平面的交線．3．解決辦法（1）從實物演示中引導學生觀察和實驗，闡明公理的條件和結論間的直觀形象，加深對“有且只有一個”語句的理解．（2）通過系列設問，幫助學生漸次展開思維和想象，理解公理的實質和作用．三、課時安排2課時．四、學生活動設計準備好兩塊紙板，一塊薄平的泡沫板，四根長15cm左右的小竹針，其中三根一樣長，一根稍短．針對三條公理設計不同的活動，對公理1，可作如下示范：把直尺的兩端緊按在玻璃黑板上，完全密接；對公理2，可用兩塊硬紙板進行演示（如圖1－9）；對公理3，使用圖1－10所示的模型進行演示．五、教學步驟（一）明確目標（1）理解井熟記平面基本性質的三條公理及公理3的三個推論．（2）掌握這三個公理和三個推論的文字語言、圖形語言、符號語言間的互譯．（3）理解“有且只有一個”的含義，在此基礎上，以公理3為主要依據，推證其三個推論．（4）能夠用模型來說明有關平面劃分空間的問題．（5）理解并掌握證明命題的常用方法——反證法和同一法．（二）整體感知本課以平面基本性質的三條公理及公理3的三個推論為主要內容，既有學生熟悉的事實，又有學生初次接觸的證明，因此以“設問——實驗——歸納”法和講解法相結合的方式進行教學．首先，對于平面基本性質的三條公理，因為是“公理”，無需證明，教學中以系列設問結合模型示范引導學生共同思考、觀察和實驗，從而歸納出三條公理并加以驗證．其中公理1應以直線的“直”和“無限延伸”來刻劃平面的“平”和“無限延展”；公理2要抓住平面在空間的無限延展特征來講；公理3應突出已知點的個數和位置，強調“三個點”且“不在同一直線上”．通過三條公理的教學培養學生的觀察能力和空間觀念，加深對“有且只有一個”語句的理解．對于公理3的三個推論的證明，學生是初次接觸“存在性”和“唯一性”的證明，應引導學生以公理3為主要的推理依據進行分析，逐漸擺脫對實物模型的依賴，培養推理論證能力，證明過程不僅要進行口頭表述，而且教師應進行板書，使學生熟悉證明的書寫格式和符號．最后，無論定理還是推論，都要將文字語言轉化為圖形語言和符號語言，并且做到既不遺漏又不重復且忠于原意．三、教學重點、難點的學習與完成過程A．公理師：立體幾何中有一些公理，構成一個公理體系．人們經過長期的觀察和實踐，把平面的三條基本性質歸納成三條公理．請同學們思考下列問題（用幻燈顯示）．問題1：直線l上有一個點P在平面α內，直線l是否全部落在平面α內？問題2：直線l上有兩個點P、Q在平面α內，直線l是否全部落在平面α內？（用竹針穿過紙板演示問題1，用直尺緊貼著玻璃黑板演示問題2，學生思考回答后教師歸納．）這就是公理1：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內．這里的條件是什么？結論是什么？生：條件是直線（a）上有兩點（A、B）在平面（α）內，結論是：直線（a）在平面（α）內．師：把條件表示為A∈a，B∈b且A∈α，B∈α，把結論表示11）．這條公理是判定直線是否在平面內的依據，也可用于驗證一個面是否是平面，如泥瓦工用直的木條刮平地面上的水泥漿．在這里，我們用平行四邊形來表示平面，那么平面是不是只有平行四邊形這么個范圍呢？生：不是，因為平面是無限延展的．師：對，根據公理1，直線是可以落在平面內的，因為直線是無限延伸的，如果平面是有限的，那么無限延伸的直線又怎么能在有限的平面內呢？所以平面具有無限延展的特征．現在我們根據平面的無限延展性來觀察一個現象（演示圖1－9－（1）給學生看）．問：兩個平面會不會只有一個公共點？生甲：只有一個公共點．生乙：因為平面是無限延展的，應當有很多公共點．師：生乙答得對，正因為平面是無限延展的，所以有一個公共點，必有無數個公共點．那么這無數個公共點在什么位置呢？（教師隨手一壓，一塊紙板隨即插入另一塊紙板上事先做好的縫隙里）．可見，這無數個公共點在一條直線上．這說明，如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線．此時，就說兩平面相交，交線就是公共點的集合，這就是公理2，其條件和結論分別是什么？生：條件是兩平面（α、β）有一公共點（A），結論是：它們有且只有一條過這個點的直線．師：條件表示為A∈α，A∈β，結論表示為：α∩β＝a，A∈a，圖形表示為圖1－9－（2）或圖1－12．公理2是判定兩平面相交的依據，提供了確定相交平面的交線的方法．下面請同學們思考下列問題（用幻燈顯示）：問題1：經過空間一個已知點A可能有幾個平面？問題2：經過空間兩個已知點A、B可能有幾個平面？問題3：經過空間三個已知點A、B、C可能有幾個平面？（教師演示圖1－10給學生看，學生思考后回答，教師歸納）．這說明，經過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面，即公理3，其條件、結論分別是什么？生：條件是：不在同一直線上的三點（A、B、C），結論是：過這三點（A、B、C）有且只有一個平面（α）．A∈α，B∈α，C∈α，圖形表示為圖1－13，公理3是確定平面位置的依據之一．以上三個公理是平面的基本性質．其中公理2和公理3中的“有且只有一個”有兩層含義，在數學中，“有一個”是說明“存在”、但不唯一；“只有一個”是說明“唯一”，但不保證圖形存在．也就是說，如果有頂多只有一個．因此，在證明有關“有且只有一個”語句的命題時，要證明兩個方面——存在性和唯一性．B．推論師：確定一個平面的依據，除公理3外，還有它的三個推論．推論1：經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面．說出推論1的條件和結論．生：條件是：一條直線和直線外一點，結論是：經過這條直線和這一點有且只有一個平面．求證：經過a和A有且只有一個平面．證明：“存在性”即存在過A、a的平面，在直線a上任取兩點B、C．∴A、B、C三點不在同一直線上．∴過A、B、C三點有且只有一個平面α（公理3）．∴B∈α，C∈α．即過直線a和點A有一個平面α．“唯一性”，假設過直線a和點A還有一個平面β．∴B∈β，C∈β．∴過不共線三點A、B、C有兩個平面α、β，這與公理3矛盾．∴假設不成立，即過直線a和點A不可能還有另一個平面β，而只能有一個平面α．這里證明“唯一性”時用了反證法．推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．其條件、結論分別是什么？生：條件是：兩條直線相交，結論是：經過這兩條直線有且只有一個平面．師（板書）：已知：直線a∩直線b＝A．求證：經過a、b有且只有一個平面．證明：“存在性”．在a、b上分別取不同于點A的點B、C，得不在同一直線上的三點A、B、C，則過A、B、C三點有且只有一個平面α（公理3）．∵A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，∴平面α是經過相交直線a、b的一個平面．“唯一性”．設過直線a和b還有另一個平面β，則A、B、C三點也一定都在平面β內．∴過不共線三點A、B、C就有兩個平面α和β．∴平面α與平面β重合．∴過直線a、b的平面只有一個．這里證明唯一性時，用的是“同一法”．推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．（證明作為思考題）C．練習1．下面是一些命題的敘述語（A、B表示點，a表示直線，α、β表示平面）A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α．B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．其中命題和敘述方法都正確的是．[]2．下列推斷中，錯誤的是[]D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共3．一個平面把空間分成____部分，兩個平面把空間最多分成____部分，三個平面把空間最多分成____部分．4．確定經過A、B、C三點的平面與已知平面α、β的交線．（圖1－16）四、總結、擴展本課主要的學習內容是平面的基本性質，有三條公理及公理3的三推論．其中公理1用于判定直線是否在平面內，公理2用于判定兩平面相交，公理3及三個推論是確定平面的依據．“確定一個平面”與“有且只有一個平面”是同義詞．“有”即“存在”，“只有一個”即“唯一”．所以證明有關“有且只有一個”語句的命題時，要證兩方面——存在性和唯一性．證明的方法是反證法和同一法．五、布置作業1．復習課本有關內容并預習課本例題．2．課本習題（略）．3．確定經過A、B、C三點的平面與已知平面α、β、γ的交線．4．思考題：（1）三個平面把空間可能分成幾部分？（2）如何證明推論3？六、答案練習：1．D，2．C，3．圖1－18．作業：3．圖1－19．七、板書設計《平面的基本性質》課堂教學實錄（二）平面的基本性質是立體幾何中演繹推理的邏輯依據．以平面的基本性質證明諸點共線、諸線共點、諸點共面是立體幾何中最基礎的問題，既加深了對平面基本性質的理解，又是今后解決較復雜立體幾何問題的基礎．一、素質教育目標（一）知識教學點掌握利用平面的基本性質證明諸點共面、諸線共面、三點共線、三線共點問題的一般方法．1．證明若干點或直線共面通常有兩種思路（1）先由部分元素確定若干平面，再證明這些平面重合，如例1之①；（2）先由部分元素確定一個平面，再證明其余元素在這平面內，如例1之②．2．證明三點共線，通常先確定經過兩點的直線是某兩個平面的交線，再證明第三點是這兩個平面的公共點，即該點分別在這兩個平面內，如例2．3．證明三線共點通常先證其中的兩條直線相交于一點，然后再證第三條直線經過這一點，如練習．（二）能力訓練點通過嚴格的推理論證，培養邏輯思維能力，發展空間想象能力．（三）德育滲透點通過對解題方法和規律的概括，了解個性與共性．特殊與一般間的關系，培養辯證唯物主義觀點，又從有理有據的論證過程中培養嚴謹的學風．二、教學重點、難點、疑問及解決辦法1．教學重點（1）證明點或線共面，三點共線或三線共點問題．（2）證明過程的書寫格式與規則．2．教學難點（1）畫出符合題意的圖形．（2）選擇恰當的公理或推論作為論據．3．解決辦法（1）教師完整板書有代表性的題目的證明過程，規范學生的證明格式．（2）利用實物，擺放成符合題意的位置．三、學生活動設計動手畫圖并證明．四、教學步驟（一）明確目標1．學會審題，根據題意畫出圖形，并寫“已知、求證”．2．論據正確，論證嚴謹，書寫規范．3．掌握基本方法：反證法和同一法，學習分類討論．（二）整體感知立體幾何教學中，對學生進行推理論證訓練是發展學生邏輯思維能力的有效手段．首先應指導學生學會審題，包括根據題意畫出圖形，并寫出已知、求證．其次，推理的依據是平面的基本性質，要引導學生確定平面．由于學生對立體幾何中的推理頗不熟練，因此宜采用以啟發為主，邊講邊練的教學方式．教師在講解時，應充分展開思維過程，培養學生分析空間問題的能力，在板書時，應復誦公理或推論的內容，加深對平面基本性質的理解．（三）重點、難點的學習與目標完成過程A．復習與講評師：我們已學習了平面的基本性質，那么具備哪些條件時，直線在平面內？（生回答公理1，教師板畫圖1－20示意．）師：具備哪些條件可以確定一個平面？（生4人回答，教師板畫圖1－21示意．）師：上一節課后布置思考證明推論3，現在請同學們共同討論這個證明過程．已知：直線a∥b．求證：經過a、b有且只有一個平面．證明：“存在性”．∵a∥b，∴a、b在同一平面α內（平行線的定義）．“唯一性”——在直線a上作一點A．假設過a和b還有一個平面β，則A∈β．那么過b和b外一點A有兩個平面α和β．這與推論1矛盾．注：證唯一性，用了“反證法”．B．例題與練習師：先看怎樣證幾條線共面．例1求證：兩兩相交而不過同一點的四條直線必在同一平面內．分析：四條直線兩兩相交且不共點，可能有兩種：一是有三條直線共點；二是沒有三條直線共點，故而證明要分兩種情況．（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．d∩c＝R，a、b、c相交于點O．求證：a、b、c、d共面．證明：∵d∩a＝P，∴過d、a確定一個平面α（推論2）．同理過d、b和d、c各確定一個平面β、γ．∵O∈a，O∈b，O∈c，∴O∈α，O∈β，O∈γ．∴平面α、β、γ都經過直線d和d外一點O．∴α、β、γ重合．∴a、b、c、d共面．注：本題的方法是“同一法”．（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且無三線共點．求證：a、b、c、d共面證明：∵d∩a＝P，∴d和a確定一個平面α（推論2）．∵a∩b＝M，d∩b＝Q，∴M∈α，Q∈α．∴a、b、c、d四線共面．注：①讓學生從實物擺放中得到四條直線的兩種位置關系．②分類討論時，強調要注意既不要重復，又不要遺漏．③結合本例，說明證諸線共面的常用方法．例2如圖1－25，已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、AD、BC、CD上的點，且EF交GH于P．求證：P在直線BD上．分析：易證BD是兩平面交線，要證P在兩平面交線上，必須先證P是兩平面公共點．已知：EF∩GH＝P，E∈AB、F∈AD，G∈BC，H∈CD，求證：B、D、P三點共線．證明：∵AB∩BD＝B，∴AB和BD確定平面ABD（推論2）．∵A∈AB，D∈BD，∵E∈AB，F∈AD，∴EF∩GH＝P，∴P∈平面ABD．同理，P∈平面BCD．∴平面ABD∩平面BCD＝BD．∴P∈BD即B、D、P三點共線．注