第1頁共13頁《兩條異面直線所成的角》課堂教學實錄一、素質教育目標（一）知識教學點1．兩異面直線所成角的定義及兩異面直線互相垂直的概念．2．兩異面直線的公垂線和距離的概念及兩異面直線所成角及距離的求法．（二）能力訓練點1．利用轉化的思想，化歸的方法掌握兩異面直線所成角的定義及取值范圍，并體現了定義的合理性．2．利用類比的方法掌握兩異面直線的公垂線和距離等概念，應用在證題中體現了嚴格的邏輯思維，并會求兩條異面直線所成角與距離．（三）德育滲透點進一步培養學生的空間想象能力，以及有根有據、實事求是等嚴肅的科學態度和品質．二、教學重點、難點、疑點及解決方法1．教學重點：兩異面直線所成角的定義；兩異面直線的公垂線及距離的概念；兩異面直線所成角和距離的求法．2．教學難點：兩異面直線所成角及距離的求法．3．教學疑點：因為兩條異面直線既不相交，但又有所成的角，這對于初學立體幾何的學生來說是難以理解的．講解時，應首先使學生明了學習異面直線所成角的概念的必要性．三、課時安排1課時．四、教與學的過程設計（一）復習提問引入課題師：上新課前，我們先來回憶：平面內兩條相交直線一般通過什么來反映它們之間的相互位置關系？生：通過它們的夾角．如圖1－46，a、b的位置關系與a′、b′的位置關系是不一樣的，a、b的夾角比a′、b′的夾角來的?。畮煟耗敲磧蓷l異面直線是否也能用它們所成的角來表示它們之間相互位置的不同狀況．例如要表示大橋上火車行駛方向與橋下輪船航行方向間的關系，就要用到兩條異面直線所成角的概念．（二）異面直線所成的角師：怎么定義兩條異面直線所成的角呢？能否轉化為用共面直線所成的角來表示呢？生：可以把異面直線所成角轉化為平面內兩直線所成角來表示．如圖1－47，異面直線a、b，在空間中任取一點O，過點O分別引a′∥a，b′∥b，則a′，b′所成的銳角（或直角）叫做兩條異面直線所成的角．師：針對這個定義，我們來思考兩個問題．問題1：這樣定義兩條異而直線所成的角，是否合理？對空間中的任一點O有無限制條件？答：在這個定義中，空間中的一點是任意取的．若在空間中，再取一點O′，過點O′作a″∥a，b″∥b，根據等角定理，a″與b″所成的銳角（或直角）和a′與b′所成的銳角（或直角）相等．即過空間任意一點引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）都是相等的，值是唯一的、確定的，而與所取的點位置無關，這表明這樣定義兩條異面直線所成角的合理性．注意：有時，為了方便，可將點O取在a或b上．問題2：這個定義與平面內兩相交直線所成角是否有矛盾？答：沒有矛盾．當a、b相交時，此定義仍適用，表明此定義與平面內兩相交直線所成角的概念沒有矛盾，是相交直線所成角概念的推廣．師：在定義中，兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直（出示模型：正方體）．例如，正方體上的任一條棱和不平行于它的八條棱都是相互垂直的，其中有的和這條棱相交，有的和這條棱異面．（三）兩條異面直線的距離師：（出示模型）觀察模型，思考問題：a與b，a′與b所成角相等，但是否就表示它們之間的相互位置也一樣呢？生：不是．它們之間的遠近距離不一樣，從而得到兩條異面直線的相互位置除了用它們所成的角表示，還要用它們之間的距離表示．師：那么如何表示兩條異面直線之間的距離呢？我們來回憶在平面幾何中，兩條平行線間的位置關系是用什么來表示的？生：用兩平行線間的距離來表示．師：對．如圖1－50，要知道它們的距離，先要定義它們的公垂線，如圖1－50：a∥b，a′∥b′，c⊥a，c′⊥a′，則a、b與a′、b′的公垂線分別為c、c′，且線段AB、A′B′的長度分別是a、b與a′、b′之間的距離．對兩條異面直線的距離，我們可以應用類似的方法先定義它們的公垂線．定義：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線．師：根據定義，思考問題．問題1：和兩條異面直線都垂直的直線有多少條？答：無數條．因為兩條異面直線互相垂直時，它們不一定相交，所以公垂線的定義要注意“相交”的含義．問題2：兩條異面直線的公垂線有幾條？答：有且只有一條（出示正方體骨架模型），能和AA′、B′C′都垂直相交的只有A′B′一條；能和AB與面A′C′內過點A′的直線都垂直相交的直線只有一條AA′．師：有了兩條異面直線公垂線的概念，我們就可以定義兩條異面生成的距離．定義：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離．如圖1－52中的線段AB的長度就是異面直線a、b間的距離．下面，我們來完成練習和例題．（四）練習例設圖1－53中的正方體的棱長為a，（1）圖中哪些棱所在的直線與直線BA′成異面直線？（2）求直線BA′和CC′所成的角的大?。?）求異面直線BC和AA′的距離．解：（l）∵A′平面BC′，而點B，直線CC′都在平面BC′∴直線BA′與CC′是異面直線．同理，直線C′D′、D′D、DC、AD、B′C′都和直線BA′成異面直線．（2）∵CC′∥BB′，∴BA′和BB′所成的銳角就是BA′和CC′所成的角．∵=∠A′BB′=45°，∴BA′和CC′所成的角是45°．（3）∵AB⊥AA′，AB∩AA′=A，又∵AB⊥BC，AB∩BC=B，∴AB是BC和AA′的公垂線段．∵AB=a，∴BC和AA′的距離是a．說明：本題是判定異面直線，求異面直線所成角與距離的綜合題，解題時要注意書寫規范．【練習】（P．16練習1、3．）1．（1）兩條直線互相垂直，它們一定相交嗎？答：不一定，還可能異面．（2）垂直于同一直線的兩條直線，有幾種位置關系？答：三種：相交，平行，異面．3．畫兩個相交平面，在這兩個平面內各畫一條直線使它們成為（1）平行直線；（2）相交直線；（3）異面直線．解：（五）總結本節課我們學習了兩條異面直線所成的角，以及兩條異面直線間的距離和有關概念．并學會如何求兩條異面直線所成角及距離，懂得將其轉化為平面幾何問題來解決．五、作業P．17-18中9、10．《兩條異面直線所成的角》練習課教學目標1．記憶并理解余弦定理；2．應用余弦定理來求異面直線所成的角．教學重點和難點這節課的重點是以異面直線所成的角的概念為指導作出相應的角，然后用余弦定理解這個角所在的三角形求出這個角的余弦．這節課的難點是使學生初步理解當cosθ＞0時，0°＜θ＜90°，當cosθ=0時，θ=90°，當cosθ＜0時，90°＜θ＜180°．教學設計過程一、余弦定理師：余弦定理有哪兩種表述的形式？它們各有什么用途？生：余弦定理有兩種表述的形式，即：a2=b2＋c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2＋b2-2abcosC第一種形式是已知兩邊夾角用來求第三邊，第二種形式是已知三邊用來求角．師：在立體幾何中我們主要用余弦定理的第二種形式，即已知三角形的三邊來求角．在余弦定理的第二個形式中，我們知道b2＋c2可以等于a2；也可以小于a2；也可以大于a2．那么，我們想當b2+c2=a2時，∠A等于多少度？為什么？生：當b2＋c2=a2時，由勾股定理的逆定理可知∠A=90°．師：當b2＋c2＞a2時，∠A應該是什么樣的角呢？生：因為cosA＞0，所以∠A應該是銳角．師：當b2＋c2＜a2時，∠A應該是什么樣的角呢？生：因為這時cosA＜0，所以∠A應該是鈍角．師：對，關于這個問題，我們只要求同學們有初步的理解即可．初步理解后應該記住、會用．現在明確提出當cosθ=0時，θ=90°，θ是直角；當cosθ＞0時，0°＜θ＜90°，θ是銳角當cosθ＜0時，90°＜θ＜180°，θ是鈍角．下面請同學們回答下列問題：生：θ等于60°，等于120°．師：這時θ和是什么關系？生：θ和是互為補角．師：再回答下列問題：生：θ1等于45°，1等于135°，θ1+1=180°；θ2等于30°，2=150°，θ2+2=180°．師：一般說來，當cosθ=-cos時，角θ與角是什么關系？生：角θ與角是互補的兩個角．即一個為銳角，一個為鈍角，且θ＋=180°．（關于鈍角的三角函數還沒有定義，所以這里采用從特殊到一般的方法使學生有所理解即可）二、余弦定理的應用例1

在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．求異面直線A1B和AD1所成的角的余弦．（如圖1）師：首先我們要以概念為指導作出這個角，A1B和AD1所成的角是哪一個角？生：因為CD1∥A1B，所以∠AD1C即為A1B與AD1所成的角．師：∠AD1C在△AD1C中，求出△AD1C的三邊，然后再用余弦定理求出∠AD1C的余弦．師：我們要再一次明確求異面直線所成的角的三個步驟：第一是以概念為指導作出所成的角；第二是找出這個角所在的三角形；第三是解這個三角形．現在我們再來看例2．例2

在長方體ABCD－A1B1C1D1中，∠C1BC=45°，∠B1AB=60°．求AB1與BC1所成角的余弦．（如圖2）師：在這例中，我們除了首先要以概念為指導作出異面直線所成的角以外，還要注意把所給的特殊角的條件轉化為長方體各棱之間的關系，以便于我們用余弦定理．生：因為BC1∥AD1，所以AB1與BC1所成的角即為∠D1AB1．根師：現在我們來看例3．例3

已知正方體的棱長為a，M為AB的中點，N為B1B的中點．求A1M與C1N所成的角的余弦．（如圖3）（1992年高考題）師：我們要求A1M與C1N所成的角，關鍵還是以概念為指導作出這個角，當一次平移不行時，可用兩次平移的方法．在直觀圖中，根據條件我們如何把A1M用兩次平移的方法作出與C1N所成的角？生：取A1B1的中點E，連BE，由平面幾何可知BE∥A1M1，再取EB1的中點F，連FN由平面幾何可知FN∥BE，所以NF∥A1M．所以∠C1NF即為A1M與C1N所成的角．師：還可以用什么方法作出A1M與C1N所成的角？生：當BE∥A1M后，可取C1C中點G，連BG，則BG∥C1N，師：這兩種解法都要用兩次平移來作出異面直線所成的角，現在我們來看例4．例4

在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1與BD所成的角的余弦．（如圖4）師：根據異面直線所成的角的概念，再根據長方體的基本性質，如何作出AC1與BD所成的角。生：連AC，設AC∩BD=0，則O為AC中點，取C1C的中點F，定理，得師：想一想第二個解法生：取AC1中點O1，B1B中點G．在△C1O1G中，∠C1O1G即一可知：師：想一想第三個解法．當然還是根據異面直線所成的角概念首先作出這個角．有時可根據題目的要求在長方體外作平行直線．生：延長CD到E，使ED=DC．則ABDE為平行四邊形．AE∥BD，所以∠EAC1即為AC1與BD所成的角．（如圖5）連EC1，在由余弦定理，得所以∠EAC1為鈍角．根據異面直線所成角的定義，AC1與BD所成的角的余弦為師：根據這一道題的三種解法，我們可以看出，當用異面直線所成的角的概念，作出所成的角，這時所作出的角可能是異面直線所成的角，也可能是它的鄰補角，在直觀圖中無法判定，只有通過解三角形后，根據這個角的余弦的正、負值來判定這個角是銳角（也就是異面直線所成的