人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第三冊PAGEPAGE1§8.3列聯表與獨立性檢驗學習目標1.通過實例，理解2×2列聯表的統計意義.2.通過實例，了解2×2列聯表獨立性檢驗及其應用．知識點一分類變量為了表述方便，我們經常會使用一種特殊的隨機變量，以區別不同的現象或性質，這類隨機變量稱為分類變量．分類變量的取值可以用實數表示．知識點二2×2列聯表1．2×2列聯表給出了成對分類變量數據的交叉分類頻數．2．定義一對分類變量X和Y，我們整理數據如下表所示：XY合計Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d像這種形式的數據統計表稱為2×2列聯表．知識點三獨立性檢驗1．定義：利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”．簡稱獨立性檢驗．2．χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.3．獨立性檢驗解決實際問題的主要環節(1)提出零假設H0：X和Y相互獨立，并給出在問題中的解釋．(2)根據抽樣數據整理出2×2列聯表，計算χ2的值，并與臨界值xα比較．(3)根據檢驗規則得出推斷結論．(4)在X和Y不獨立的情況下，根據需要，通過比較相應的頻率，分析X和Y間的影響規律．思考獨立性檢驗與反證法的思想類似，那么獨立性檢驗是反證法嗎？〖答案〗不是．因為反證法不會出錯，而獨立性檢驗依據的是小概率事件幾乎不發生．1．分類變量中的變量與函數的變量是同一概念．(×)2．等高堆積條形圖可初步分析兩分類變量是否有關系，而獨立性檢驗中χ2取值則可通過統計表從數據上說明兩分類變量的相關性的大?。?√)3．事件A與B的獨立性檢驗無關，即兩個事件互不影響．(×)4．χ2的大小是判斷事件A與B是否相關的統計量．(√)一、等高堆積條形圖的應用例1為了解鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關系，分別對病人組和對照組的尿液作尿棕色素定性檢查，結果如下：組別尿棕色素合計陽性數陰性數鉛中毒病人29736對照組92837合計383573試畫出列聯表的等高堆積條形圖，分析鉛中毒病人和對照組的尿棕色素陽性數有無差別，鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關系？解等高堆積條形圖如圖所示：其中兩個淺色條的高分別代表鉛中毒病人和對照組樣本中尿棕色素為陽性的頻率．由圖可以直觀地看出鉛中毒病人與對照組相比，尿棕色素為陽性的頻率差異明顯，因此鉛中毒病人與尿棕色素為陽性有關系．反思感悟等高堆積條形圖的優劣點(1)優點：較直觀地展示了eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)的差異性．(2)劣點：不能給出推斷“兩個分類變量有關系”犯錯誤的概率．跟蹤訓練1網絡對現代人的生活影響較大，尤其是對青少年，為了解網絡對中學生學習成績的影響，某地區教育主管部門從轄區初中生中隨機抽取了1000人調查，發現其中經常上網的有200人，這200人中有80人期末考試不及格，而另外800人中有120人不及格．利用等高堆積條形圖判斷學生學習成績與經常上網有關嗎？解根據題目所給的數據得到如下2×2列聯表：學習成績上網合計經常不經常不及格80120200及格120680800合計2008001000得出等高堆積條形圖如圖所示：比較圖中陰影部分高可以發現經常上網不及格的頻率明顯高于經常上網及格的頻率，因此可以認為學習成績與經常上網有關．二、由χ2進行獨立性檢驗命題角度1有關“相關的檢驗”例2某校對學生課外活動進行調查，結果整理成下表：試根據小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，分析喜歡體育還是文娛與性別是否有關系．性別喜歡合計體育文娛男生212344女生62935合計275279解零假設為H0：喜歡體育還是喜歡文娛與性別沒有關系．∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79，∴χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(79×21×29－23×62,44×35×27×52)≈8.106>7.879＝x0.005.根據小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為喜歡體育還是喜歡文娛與性別有關．反思感悟用χ2進行“相關的檢驗”步驟(1)零假設：即先假設兩變量間沒關系．(2)計算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．(3)查臨界值：結合所給小概率值α查得相應的臨界值xα.(4)下結論：比較χ2與xα的大小，并作出結論．跟蹤訓練2甲、乙兩機床加工同一種零件，抽檢得到它們加工后的零件尺寸x(單位：cm)及個數y，如下表：零件尺寸x1.011.021.031.041.05零件個數y甲37893乙7444a由表中數據得y關于x的經驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－91＋100x(1.01≤x≤1.05)，其中合格零件尺寸為1.03±0.01(cm)．完成下面列聯表，并依據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，分析加工零件的質量與甲、乙是否有關．機床加工零件的質量合計合格零件數不合格零件數甲乙合計解eq\x\to(x)＝1.03，eq\x\to(y)＝eq\f(a＋49,5)，由eq\o(y,\s\up6(^))＝－91＋100x，知eq\f(a＋49,5)＝－91＋100×1.03，所以a＝11.由于合格零件尺寸為1.03±0.01cm，故甲、乙加工的合格與不合格零件的數據表為：機床加工零件的質量合計合格零件數不合格零件數甲24630乙121830合計362460零假設為H0：加工零件的質量與甲、乙無關．則χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(60×24×18－6×122,30×30×36×24)＝10，因為χ2＝10＞6.635＝x0.01，根據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立．即認為加工零件的質量與甲、乙有關．命題角度2有關“無關的檢驗”例3下表是某屆某校本科志愿報名時，對其中304名學生進入高校時是否知道想學專業的調查表：知道想學專業不知道想學專業合計男生63117180女生4282124合計105199304根據表中數據，則下列說法正確的是________．(填序號)①性別與知道想學專業有關；②性別與知道想學專業無關；③女生比男生更易知道所學專業．〖答案〗②〖解析〗χ2＝eq\f(304×63×82－42×1172,180×124×105×199)≈0.041≤2.706＝x0.1，所以性別與知道想學專業無關．反思感悟獨立性檢驗解決實際問題的主要環節(1)提出零假設H0：X和Y相互獨立，并給出在問題中的解釋．(2)根據抽樣數據整理出2×2列聯表，計算χ2的值，并與臨界值xα比較．(3)根據檢驗規則得出推斷結論．(4)在X和Y不獨立的情況下，根據需要，通過比較相應的頻率，分析X和Y間的影響規律．跟蹤訓練3某省進行高中新課程改革，為了解教師對新課程教學模式的使用情況，某一教育機構對某學校的教師關于新課程教學模式的使用情況進行了問卷調查，共調查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人．老教師對新課程教學模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對新課程教學模式贊同的有24人，不贊同的有6人．(1)根據以上數據建立一個2×2列聯表；(2)試根據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，分析對新課程教學模式的贊同情況與教師年齡是否有關系．解(1)2×2列聯表如下表所示：教師年齡對新課程教學模式合計贊同不贊同老教師101020青年教師24630合計341650(2)零假設為H0：對新課程教學模式的贊同情況與教師年齡無關．由公式得χ2＝eq\f(50×10×6－24×102,34×16×20×30)≈4.963<6.635＝x0.01，根據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷H0不成立，即認為對新課程教學模式的贊同情況與教師年齡無關．1.下面是一個2×2列聯表：XY合計Y＝0Y＝1X＝0a2173X＝182533合計b46則表中a，b處的值分別為()A．94,96 B．52,50C．52,60 D．54,52〖答案〗C〖解析〗∵a＋21＝73，∴a＝52，b＝a＋8＝52＋8＝60.2．某班主任對全班50名學生進行了作業量的調查，數據如下表：性別作業量合計大不大男生18927女生81523合計262450則推斷“學生的性別與認為作業量大有關”這種推斷犯錯誤的概率不超過()A．0.01 B．0.005C．0.05 D．0.001〖答案〗C〖解析〗由公式得χ2＝eq\f(50×18×15－8×92,26×24×27×23)≈5.059>3.841＝x0.05.∴犯錯誤的概率不超過0.05.3．(多選)若在研究吸煙與患肺癌的關系中，通過收集、整理分析數據得“吸煙與患肺癌有關”的結論，并且有99%以上的把握認為這個結論是成立的，則下列說法中正確的是()A．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為吸煙和患肺癌有關系B．1個人吸煙，那么這個人有99%的概率患有肺癌C．在100個吸煙者中一定有患肺癌的人D．在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有〖答案〗AD〖解析〗獨立性檢驗的結論是一個統計量，統計的結果只是說明事件發生的可能性的大小，具體到一個個體，則不一定發生．4．根據如圖所示的等高堆積條形圖可知喝酒與患胃病________關系．(填“有”或“沒有”)〖答案〗有〖解析〗從等高率．5．某銷售部門為了研究具有相關大學學歷和能按時完成銷售任務的關系，對本部門200名銷售人員進行調查，所得數據如下表所示：能按時完成銷售任務不能按時完成銷售任務合計具有相關大學學歷574299不具有相關大學學歷3665101合計93107200根據上述數據能得出結論：有________以上的把握認為“銷售人員具有相關大學學歷與能按時完成銷售任務是有關系的”．〖答案〗99%〖解析〗由公式χ2＝eq\f(nad－bc