2024-2025學年遼寧省高二數學上學期11月期中調研試卷命題范圍：立體幾何、解析幾何雙曲線及之前 試卷難度：提升一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知a，b為兩條直線，，為兩個平面，且滿足，，，，則“與異面”是“直線與l相交”的 （

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件2．若方程表示雙曲線，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．或3．兩平行直線與之間的距離為 （

）A． B． C． D．4．設AB是橢圓（）的長軸，若把AB一百等分，過每個分點作AB的垂線，交橢圓的上半部分于P1、P2、…、P99，F1為橢圓的左焦點，則的值是 （

）A． B． C． D．5．已知A為直線2x+y?4=0上的動點，B為圓(x+1)2+y2=1上的動點，點C(1,0)，則2AB+A．45 B．35 C．25在四棱錐中，平面，二面角的大小為，若點均在球的表面上，則球的表面積最小值為（

）A． B． C． D．7．已知曲線：是雙紐線，則下列結論正確的是（

）A．曲線的圖象不關于原點對稱B．曲線經過4個整點（橫、縱坐標均為整數的點）C．若直線與曲線只有一個交點，則實數的取值范圍為D．曲線上任意一點到坐標原點的距離都不超過38．已知平面上兩定點、，則所有滿足（且）的點的軌跡是一個圓心在上，半徑為的圓．這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱作阿氏圓．已知棱長為3的正方體表面上動點滿足，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法命題正確的是（

）A．已知，，則在上的投影向量為B．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C．已知三棱錐，點P為平面ABC上的一點，且，則m?n=12D．若向量，（x，y，z都是不共線的非零向量）則稱在基底下的坐標為，若在單位正交基底下的坐標為，則在基底下的坐標為10．已知，是雙曲線E：的左、右焦點，過作傾斜角為的直線分別交y軸、雙曲線右支于點、點，且，下列判斷正確的是（

）A． B．的離心率等于C．雙曲線漸近線的方程為 D．的內切圓半徑是11．在直三棱柱中，，，M是的中點，N是的中點，點P在線段上，點Q是線段上靠近M的三等分點，R是線段的中點，若面，則（

）A． B．P為的中點C．三棱錐的體積為 D．三棱錐的外接球表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知圓C1：x2+y2=16與圓C2：x2+y2+kx+y+m?16=0交于A，B13．如圖，已知四邊形ABCD是菱形，，點E為AB的中點，把沿DE折起，使點A到達點P的位置，且平面平面BCDE，則異面直線PD與BC所成角的余弦值為．14．傾斜角為銳角的直線l經過雙曲線C:x23m2?y2m2=1(m>0)的左焦點F1，分別交雙曲線的兩條漸近線于A,B兩點，若線段四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）如圖所示，三棱柱中，側棱垂直于底面，，，點分別為的中點．（1）求證：；（2）求點到平面的距離．16．（本小題滿分15分）已知圓.（1）直線截圓的弦長為，求的值.（2）記圓與、軸的正半軸分別交于兩點，動點滿足，問：動點的軌跡與圓是否有兩個公共點？若有，求出公共弦長；若沒有，說明理由．17．（本小題滿分15分）如圖，四棱錐中，，，，，平面平面，且平面，平面平面．（1）求四棱錐的體積；（2）設Q為上一點，若，求二面角的大小．18．（本小題滿分17分）已知橢圓的右焦點為，點在上，且軸，過點且與橢圓有且只有一個公共點的直線與軸交于點．（1）求橢圓的方程；（2）點是橢圓C上異于的一點，且三角形的面積為，求直線的方程；（3）過點的直線交橢圓于,兩點（在的左側），若為線段的中點，直線交直線于點，為線段的中點，求線段的最大值．19．（本小題滿分17分）在空間直角坐標系中，已知向量，點．若直線以為方向向量且經過點，則直線的標準式方程可表示為；若平面以為法向量且經過點，則平面的點法式方程可表示為，一般式方程可表示為．（1）若平面，平面，直線為平面和平面的交線，求直線的單位方向向量（寫出一個即可）；（2）若三棱柱的三個側面所在平面分別記為，其中平面經過點，，平面，平面，求實數m的值；（3）若集合，記集合中所有點構成的幾何體為，求幾何體的體積和相鄰兩個面（有公共棱）所成二面角的大小．參考答案命題范圍：立體幾何、解析幾何雙曲線及之前一、單選題：本題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．題號12345678答案CBCDCADB二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．題號91011答案CDACDACD12．±2． 13．． 14．77．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（1）證明見解析； （2）．16．（1）； （2）有，公共弦長為．17．（1）6； （2）．18．（1）； （2）； （3）2．19．（1）； （2）； （3）體積為128，相鄰兩個面（有公共棱）所成二面角為．遼寧省普通高中2024-2025學年度上學期11月期中調研試題（2）高二數學（教師版）命題范圍：立體幾何、解析幾何雙曲線及之前 試卷難度：提升注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知a，b為兩條直線，，為兩個平面，且滿足，，，，則“與異面”是“直線與l相交”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據空間中線、面關系結合充分、必要條件分析判斷．【詳解】當“與異面”，若直線與l不相交，由于，則，又，則，這與和異面相矛盾，故直線與l相交，故“與異面”是“直線與l相交”的充分條件；當“直線與l相交”，若與不異面，則與平行或相交，若與平行，又，則，這與直線和l相交相矛盾；若與相交，設，則且，得，即A為直線的公共點，這與相矛盾；綜上所述：與異面，即“與異面”是“直線與l相交”的必要條件；所以“與異面”是“直線與l相交”的充分必要條件．故選：C．2．若方程表示雙曲線，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【答案】B【知識點】根據方程表示雙曲線求參數的范圍【分析】根據雙曲線方程的特征，列式求解．【詳解】若方程表示雙曲線，則，得．故選：B3．兩平行直線與之間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由兩直線平行求出，再代入兩平行直線間距離公式求解即可；【詳解】由題意知，所以，則化為，所以兩平行直線與之間的距離為．故選：C．4．設AB是橢圓（）的長軸，若把AB一百等分，過每個分點作AB的垂線，交橢圓的上半部分于P1、P2、…、P99，F1為橢圓的左焦點，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據橢圓的定義，寫出，可求出的和，又根據關于縱軸成對稱分布，得到結果．【詳解】設橢圓右焦點為F2，由橢圓的定義知，2，，，．由題意知，，，關于軸成對稱分布，．又，故所求的值為．故選：D．5．已知A為直線2x+y?4=0上的動點，B為圓(x+1)2+y2=1上的動點，點C(1,0)A．45 B．35 C．25【答案】C【知識點】求點到直線的距離、定點到圓上點的最值（范圍）、圓上點到定直線（圖形）上的最值（范圍）【分析】設Dx0,0,Bx1,y1，不妨令BC=2【詳解】設Dx0,0則x1整理得3x1+1又3x1+1則2x0+1所以存在定點D?12要使2AB+BC則A，B，D三點共線，且DA垂直于直線2x+y?4=0時取得最小值，如圖所示，所以2AB+BC故選：C．【點睛】關鍵點點睛：設Dx0,0,Bx16．在四棱錐中，平面，二面角的大小為，若點均在球的表面上，則球的表面積最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題設易得是四邊形外接圓的直徑，中點為外接球球心，令且，求得外接球半徑關于的表達式，求其最小值，即可求表面積最小值．【詳解】由題設，，，，在一個圓上，故，又，所以，即，故是四邊形外接圓的直徑，由平面，，，平面，則，，，由，，平面，則平面，平面，則，由，，平面，則平面，平面，則，故，，都是以為斜邊的直角三角形，故中點為外接球球心，且為二面角的平面角，故，因為，，令且，則，，故，所以外接球半徑，當時，，此時球的表面積的最小值為．故選：A7．已知曲線：是雙紐線，則下列結論正確的是（

）A．曲線的圖象不關于原點對稱B．曲線經過4個整點（橫、縱坐標均為整數的點）C．若直線與曲線只有一個交點，則實數的取值范圍為D．曲線上任意一點到坐標原點的距離都不超過3【答案】D【分析】將代入方程，可判斷A；結合方程，求解整點坐標，可判斷B；聯立方程組，結合其解唯一求出k的范圍，判斷C；結合方程以及距離公式可判斷D．【詳解】對于A，結合曲線：，將代入，方程不變，即曲線的圖象關于原點對稱，A錯誤；對于B，令，則，解得，令，則，解得，令，則，解得，故曲線經過的整點只能是，B錯誤；對于C，直線與曲線：必有公共點，因此若直線與曲線只有一個交點，則只有一個解，即只有一個解為，即時，無解，故，即實數的取值范圍為，C錯誤，對于D，由，可得，時取等號，則曲線上任意一點到坐標原點的距離為，即都不超過3，D正確，故選：D8．已知平面上兩定點、，則所有滿足（且）的點的軌跡是一個圓心在上，半徑為的圓．這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱作阿氏圓．已知棱長為3的正方體表面上動點滿足，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據阿氏圓性質求出阿氏圓圓心O位置及半徑，P在空間內軌跡為以O為球心的球，球與面，，交線為圓弧，求出截面圓的半徑及圓心角，求出在截面內的圓弧的長度即可．【詳解】在平面中，圖①中以B為原點以AB為x軸建系如圖，設阿氏圓圓心,半徑為，，設圓O與AB交于M,由阿氏圓性質知，，，P在空間內軌跡為以O為球心半徑為2的球，若P在四邊形內部時如圖②,截面圓與分別交于M，R，所以P在四邊形內的軌跡為，在中，，所以，當P在面內部的軌跡長為，同理，當P在面內部的軌跡長為，當P在面時,如圖③所示，面，平面截球所得小圓是以B為圓心，以BP為半徑的圓，截面圓與分別交于，且，所以P在正方形內的軌跡為，所以，綜上：P的軌跡長度為．故選：B【點睛】方法點睛：求球與平面公共點軌跡長度時先求出平面截球所得圓面的半徑，當截面為完整的圓時可直接求圓周長，當截面只是圓的一部分時先求圓心角的大小再計算弧長．9．下列說法命題正確的是（

）A．已知，，則在上的投影向量為A．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C．已知三棱錐，點P為平面ABC上的一點，且，則m?n=12D．若向量，（x，y，z都是不共線的非零向量）則稱在基底下的坐標為，若在單位正交基底下的坐標為，則在基底下的坐標為【答案】CD【分析】根據投影向量公式計算判斷A，應用向量共線判斷B，判斷四點共面判斷C，根據基底運算判斷D．【詳解】對于A，由于，，則在的投影向量為，故A錯誤；對于B，e?n=?2+2=0，所以或，A錯誤對于C，因為P為平面ABC上的一點，所以四點共面，則由共面定理以及可得，，所以m?n=12，C對于D：在單位正交基底下的坐標為，即，所以在基底下滿足，故，，，解得，，，則在基底下的坐標為，故D正確．故選：CD．已知，是雙曲線E：的左、右焦點，過作傾斜角為的直線分別交y軸、雙曲線右支于點、點，且，下列判斷正確的是（

）A． B．的離心率等于C．雙曲線漸近線的方程為 D．的內切圓半徑是【答案】ACD【分析】根據已知條件可得出軸，可判斷A項；根據雙曲線的定義結合直角三角形的性質，構造齊次方程可求解離心率，故可判斷B項；結合，得到，即可求得漸近線方程，可判斷C項；利用三角形等面積法得到內切圓半徑r的表達式與c有關，可判斷D項正確.【詳解】如圖所示，因為分別是，的中點，所以中，，所以軸，A選項中，因為直線的傾斜角為，所以，故A正確；B選項中，直角中，，，，所以，得：，故B不正確；C選項中，由，即，即，即，所以雙曲線的漸近線方程為：，故C正確；D選項中，的周長為，設內切圓為r，根據三角形的等面積法，有，得：，故D正確故選：ACD.11．在直三棱柱中，，，M是的中點，N是的中點，點P在線段上，點Q是線段上靠近M的三等分點，R是線段的中點，若面，則 （

）A． B．P為的中點C．三棱錐的體積為 D．三棱錐的外接球表面積為【答案】ACD【分析】由線面平行的判定定理得線線平行，從而判斷A，并利用平面幾何知識證明判斷B，證明三棱錐的體積等于三棱錐的體積，由體積公式計算體積后判斷C，確定三棱錐的外接球球心在上（如圖），求出球半徑后得球表面積判斷D．【詳解】對于選項AB，連接并延長交于S，連接，由平面幾何知識可得：S是的中點，且N，R，S三點共線，是重心，因為面，平面，平面平面，所以，作交于，由直棱柱性質有，因此是平行四邊形，，又由平面幾何知識知是中點，因此是中點，從而，即P為上靠近N的三等分點，所以A正確，B錯誤；對于選項C，，因此是平行四邊形，所以與互相平分，從而與點到平面的距離相等，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，而，所以C正確；對于選項D，∵的外心是S，由得平面，∴三棱錐的外接球球心一定在直線上，設三棱錐的外接球球心為O，半徑為R，，則，，∴，解得：，，球表面積為，所以D正確．故選：ACD．12．已知圓C1：x2+y2=16與圓C2：x2+y2+kx+y+m?16=0交于A，B【答案】±2【知識點】已知圓的弦長求方程或參數、相交圓的公共弦方程【分析】先求兩個圓的公共弦所在直線方程，利用勾股定理求出弦長的表達式，結合最值可得答案.【詳解】兩圓的公共弦所在線的方程為：kx+y+m=0，圓心C1到直線的距離為d=AB=216?m21+所以216?m2故答案為±213．如圖，已知四邊形ABCD是菱形，，點E為AB的中點，把沿DE折起，使點A到達點P的位置，且平面平面BCDE，則異面直線PD與BC所成角的余弦值為．【答案】/【詳解】因為，故或其補角就是異面直線PD與BC所成的角，連接PA，易知，，因為平面平面，菱形中，，即是正三角形，為中點，則，所以，又，所以即為平面與平面所成的二面角的平面角，因為平面平面，所以，，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以異面直線PD與BC所成角的余弦值為．故答案為：．14．傾斜角為銳角的直線l經過雙曲線C:x23m2?y2m2=1(m>0)的左焦點F1，分別交雙曲線的兩條漸近線于A,B兩點，若線段【答案】77/【知識點】已知兩點求斜率、已知方程求雙曲線的漸近線、根據直線與雙曲線的位置關系求參數或范圍【分析】設Ax1y1,Bx2y2，M(x【詳解】

設AB中點為M，兩漸近線可寫成x23?則M(x1①-②可得x1整理得，y1?y2x1如圖，在Rt△F1MF2故tan∠MOF2=tan2∠MF1O=2tan∠MF1O1?tan2∠M15．如圖所示，三棱柱中，側棱垂直于底面，，，點分別為的中點．（1）求證：；（2）求點到平面的距離【答案】（1）證明見解析； （2）．【知識點】證明線面垂直、求點面距離、線面垂直證明線線垂直【分析】（1）利用線面垂直的判定、性質推理即得．（2）連接，交于點E，連接BE，過點C作于，利用線面垂直的判定、性質推證平面，再借助直角三角形求出即可．【詳解】（1）由，得，則，即，由平面，平面，則，而，平面，于是平面，連接，又平面，則，由點分別為的中點，得，所以．（2）連接，交于點E，連接BE，過點C作，F為垂足，由，側棱垂直于底面，得且，又，，平面CBE，則平面CBE，又平面CBE，則，又，，平面，因此平面，即CF為點C到平面的距離，由平面，平面，得，，所以點C到平面的距離．16．已知圓.（1）直線截圓的弦長為，求的值.（2）記圓與、軸的正半軸分別交于兩點，動點滿足，問：動點的軌跡與圓是否有兩個公共點？若有，求出公共弦長；若沒有，說明理由．【答案】（1）； （2）有，公共弦長為【分析】（1）計算圓心到直線距離為，再根據弦長公式計算得到答案.（2）設，根據得到，計算圓心距得到兩圓相交，確定公共弦方程，計算弦長得到答案.【詳解】（1）圓心到直線距離為，故，解得；（2），設，由得，化簡得：，即，所以動點的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，圓心距，，兩圓相交，所以兩圓有兩個公共點，由兩圓方程相減得公共弦所在直線方程為，圓心到公共弦的距離為，則公共弦長為.17．如圖，四棱錐中，，，，，平面平面，且平面，平面平面．

（1）求四棱錐的體積；（2）設Q為上一點，若，求二面角的大小．【答案】（1）6； （2）．【知識點】錐體體積的有關計算、面面垂直證線面垂直、面面角的向量求法【分析】（1）先由余弦定理依次求出，接著求出底面梯形的高進而求出其面積，再由已知條件結合面面垂直性質定理求出平面即可由錐體體積公式求出四棱錐的體積．（2）由結合（1）可以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，求出，，，設，進而求出和，接著由求出，從而解出和，進而可求出平面的法向量，由平面得平面的法向量為，再由計算結合圖形即可得圖二面角的大小．【詳解】（1）因為平面，平面，平面平面，所以，同理得，所以，因為，，，所以，所以且，所以且，底面梯形的高為，所以底面梯形的面積，在中，，，，所以，所以，因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，所以四棱錐的體積．（2）因為，，，所以即，所以，，兩兩垂直，可以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，A2,0,0，，C?1,3,0，所以，，，設，所以，，因為，所以，解得，因此，，設m=x,y,z為平面的法向量，則，則，取，則，，即，因為平面，所以平面的法向量為，設二面角為，則，所以由圖二面角的大小為．18．已知橢圓的右焦點為，點在上，且軸，過點且與橢圓有且只有一個公共點的直線與軸交于點．（1）求橢圓的方程；（2）點是橢圓C上異于的一點，且三角形的面積為，求直線的方程；（3）過點的直線交橢圓于，兩點（在的左側），若為線段的中點，直線交直線于點，為線段的中點，求線段的最大值．【答案】（1）； （2）； （3）【知識點】根據橢圓過的點求標準方程、根據直線與橢圓的位置關系求參數或范圍、求橢圓中的最值問題【分析】（1）由題意列方程求出，，即可求得橢圓方程；（2）利用聯立方程的方法求出點為，繼而證明，關于對稱，即可求得答案；（3）設，，可推出，即而推出，設直線的方程為，即可推出軸，即可結合橢圓的幾何性質得出答案．【詳解】（1）由題意知點在上，且軸，設橢圓焦距為，則，將代入中，得，則，結合，從而，，橢圓C方程為；（2）由題意知過點且與橢圓有且只有一個公共點的直線的斜率不為，故設，與橢圓聯立，得，由橢圓與直線只有一個交點，令，即①，又過，則②，聯立①②可得，則，即得點為．設原點O0,0，由，，故，從而到的距離為到距離的倍，即在關于對稱的直線上，又在橢圓上，從而，關于對稱，故直線方程為（3）設，，，則，則①