試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題12.16三角形全等幾何模型（半角模型）（精選精練）（專項練習）1．如圖，在正方形ABCD中，點P在直線BC上，作射線AP，將射線AP繞點A逆時針旋轉45°，得到射線AQ，交直線CD于點Q，過點B作BE⊥AP于點E，交AQ于點F，連接DF．（1）依題意補全圖形；（2）用等式表示線段BE，EF，DF之間的數量關系，并證明．2．如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以為頂點作一個角，使其兩邊分別交于點，交于點，連接，求的周長．3．（23-24八年級上·河南漯河·階段練習）如圖，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點，．(1)求證：．(2)求證：平分．4．問題背景：如圖1：在四邊形中，，，．，分別是，上的點，且．探究圖中線段，，之間的數量關系．（1）小王同學探究此問題的方法是：延長到點，使．連接，先證明，再證明，他的結論應是；（并寫出證明過程）探索延伸：（2）如圖2，若在四邊形中，，，，分別是，上的點，且是的二分之一，上述結論是否仍然成立，并說明理由．5．（22-23九年級下·山東濱州·期中）（1）如圖1，在四邊形中，，，且，求證：．（2）如圖2，若在四邊形中，，，分別是上的點，且，上述結論是否仍然成立？請說明理由．6．【問題引領】問題1：如圖1．在四邊形中，，，．E，F分別是，上的點．且．探究圖中線段，，之間的數量關系．小王祠學探究此問題的方法是，延長到點G．使．連接．先證明，再證明．他得出的正確結論是______．【探究思考】問題2：如圖2，若將問題Ⅰ的條件改為：四邊形中，，，，問題1的結論是否仍然成立?請說明理由．【拓展延伸】問題3：如圖3在問題2的條件下，若點E在AB的延長線上，點F在的延長線上，則問題2的結論是否仍然成立？若不成立，猜測此時線段，，之間存在的等量關系是______．

7．（）如圖：在四邊形中，，，．，分別是，上的點．且．探究圖中線段，，之間的數量關系．小明同學探究的方法是：延長到點．使，連接，先證明，再證明，可得出結論，他的結論是________（直接寫結論，不需證明）；

（2）如圖，若在四邊形中，，，、分別是，上的點，且是的二分之一，上述結論是否仍然成立，并說明理由；

（3）如圖，四邊形是邊長為的正方形，，直接寫出三角形的周長．

8．（23-24八年級上·北京朝陽·階段練習）在中，，點是直線上一點（不與重合），以為一邊在的右側作，使．設．(1)如圖1，如果___________度；(2)如圖2，你認為之間有怎樣的數量關系？并說明理由．(3)當點在直線上移動時，之間又有怎樣的數量關系？請在備用圖上畫出圖形，并直接寫出你的結論．（B、C、E三點不共線）參考答案：1．（1）補全圖形見解析；（2）BE+DF=EF，證明見解析．【分析】（1）根據題意補全圖形即可．（2）延長FE到H,使EH=EF，根據題意證明△ABH≌△ADF，然后根據全等三角形的性質即可證明．【詳解】（1）補全圖形（2）BE+DF=EF．證明：延長FE到H,使EH=EF∵BE⊥AP，∴AH=AF，∴∠HAP=∠FAP=45°，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°∴∠BAP+∠2=45°，∵∠1+∠BAP=45°∴∠1=∠2，∴△ABH≌△ADF，∴DF=BH，∵BE+BH=EH=EF，∴BE+DF=EF．【點睛】此題考查了正方形的性質和全等三角形的性質，解題的關鍵是根據題意作出輔助線．2．的周長為6．【分析】要求△AMN的周長，根據題目已知條件無法求出三條邊的長，只能把三條邊長用其它已知邊長來表示，所以需要作輔助線，延長AB至F，使BF=CN，連接DF，通過證明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，從而得出MN=MF，△AMN的周長等于AB+AC的長．【詳解】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴∠BCD=∠DBC=30°∵△ABC是邊長為3的等邊三角形∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°∴∠DBA=∠DCA=90°延長AB至F，使BF=CN，連接DF，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF=∠CDN，DF=DN∵∠MDN=60°∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM為公共邊∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF∴△AMN的周長是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．【點睛】此題主要利用等邊三角形和等腰三角形的性質來證明三角形全等，構造另一個三角形是解題的關鍵．3．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質；（1）延長到，使，連接．先說明，然后利用全等三角形的性質和已知條件證得，最后再運用全等三角形的性質和線段的和差即可解答；（2）根據（1）的結論可得，，即可得出，即可得證．【詳解】（1）證明：延長到，使，連接．，，．，．

．．又，．．．；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴，即平分．4．（1），證明過程見解析（2）成立，理由見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，正確作出輔助線構建全等三角形是解題的關鍵．（1）先利用“”判斷得到，，再證明，接著根據“”判斷，所以，從而得到；（2）結論仍然成立，證明方法與（1）相同．【詳解】解：（1），證明如下：如下圖，延長到點，使得，連接，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；故答案為：；（2）結論仍然成立，理由如下：如下圖，延長到點，使得，連接，

∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．5．（1）見解析；（2）結論仍然成立；理由見解析【分析】本題主要考查的是三角形的綜合題，主要涉及三角形全等的判定與性質，作輔助線構造全等三角形是解此題的關鍵．（1）延長到，使，連接，根據證明可得，再證明，可得，即可得出結論；（2）延長到，使，連接，根據證明可得，再證明，可得，即可得出結論．【詳解】證明：如圖，延長到，使，連接，則，又，∴，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，；（2）結論仍然成立，理由如下：如圖，延長到，使，連接，∵，∴，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，．6．問題1：；問題2：問題1中結論仍然成立，理由見解析；問題3：結論：．【分析】問題1，先證明，得到，，再證明，得到，即可得到；問題2，延長到點G．使．連接，先判斷出，進而判斷出，再證明，最后用線段的和差即可得出結論；問題3，在上取一點G．使．連接，然后同問題2的方法即可得出結論．【詳解】解：問題1，如圖1，延長到點G．使．連接，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，即，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；故他得到的正確結論是：；問題2，問題1中結論仍然成立，如圖2，理由：延長到點G．使．連接，

∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，即，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；即；問題3．結論：，理由如下：如圖3，在上取一點G．使．連接，

∵，，∴，即，在和中，，∴，∴，，∴，即，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．即．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定，解題的關鍵在于能夠正確作出輔助線構造全等三角形．7．（）；（）結論仍然成立，；（）．【分析】（）延長到點，使，連結，由“”可證，可得，，再由“”可證，可得，即可解題；（）延長到，使，連接，即可證明，可得，再證明，可得，即可解題；（）延長到，使，連接，由“”可證，可得，，由“”可證，可得，可得，即可求解．【詳解】（1）延長到點，使，連結，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）結論仍然成立，理由如下：如圖，延長到，使，連接，

∵，∴，同（）理：，∴，，∵，∴，∴，又，∴，∴，∵，∴；（3）如圖，延長到，使，連接，

∵四邊形是正方形，∴，，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴的周長．【點睛】此題主要考查了三角形全等的判定和性質，靈活運用全等三角形的性質和判定是解答本題的關鍵．8．(1)；(2)；(3)圖象見詳解；；【分析】（1）先證明（），則可得，根據，可知；（2）已知，則，則，根據則．（3）連接，作使得，，連接、：根