2022年中考數學一輪復習知識點課標要求專題訓練21：三角形(含答案)

一、知識要點：

1、三角形的基本概念

(1)三角形的概念

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

(2)三角形的分類

①按邊之間的關系分：

三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形；

有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形；

三邊都相等的三角形叫做等邊三角形。

②按角分類：

三個角都是銳角的三角形叫做銳角三角形；

有一個角是直角的三角形叫做直角三角形；

有一個角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形。

(3)三角形的三邊之間的關系

三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊。

(4)三角形的高、中線、角平分線

(5)三角形的穩定性

(6)三角形的角

①三角形的內角和等于180°。

推論：直角三角形的兩個銳角互余。有兩個角互余的三角形是直角三角形。

②三角形的外角

定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。

內外角的關系：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。

三角形的外角和等于360°。

2、特殊三角形

(1)等腰三角形

①等腰三角形的性質

等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角)；

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(三線合一)。

②等腰三角形的判定

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)。

(2)等邊三角形

①等邊三角形的性質

等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個內角都等于60°。

②等邊三角形的判定

三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

(3)直角三角形

①在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

②勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,那么才+方2"20

③勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c滿足才+所=邕那么這個三角形是

直角三角形。

二、課標要求：

1、理解三角形及其內角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩定性。

2、探索并證明三角形的內角和定理。掌握它的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的

兩個內角的和。證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊。

3、了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質定理：等腰三角形的兩底角

相等；底邊上的高線、中線及頂角平分線重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有兩個

角相等的三角形是等腰三角形。

4、探索等邊三角形的性質定理：等邊三角形的各角都等于60。，及等邊三角形的判定

定理：三個角都相等的三角形(或有一個角是60°的等腰三角形)是等邊三角形。

5、了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質定理：直角三角形的兩個銳

角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。掌握有兩個角互余的三角形是直角三角

形。6、探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題。

三、常見考點：

1、三角形的概念、三邊關系、內角和、外角與內角的關系、穩定性。

2、三角形的高、中線、角平分線及對應的性質。

3、等腰三角形的性質及判定，等邊三角形的性質及判定。

4、直角三角形的概念、性質，勾股定理及其逆定理。

5、三角形相關性質的綜合應用。

四、專題訓練：

1.如圖，在a1中，已知點〃，E,b分別是8GAD,四的中點，且△4%的面積為16,

A.2B.4C.6D.8

2.如圖，在△48C中,AC=3,BC=4,AD.ABE,若49：勿=2：1,BOt0E=2：1,那么4?

的長為（）

A.5/5B.5C.V?D.V6

3.長度分別為2,3,3,4的四根細木棒首尾相連，圍成一個三角形（木棒允許連接，但不

允許折斷），得到的三角形的最長邊長為（）

A.4B.5C.6D.7

4.將一副三角板如圖放置，使點4在原上，BC//DE,則N45的度數為（）

5.將一副三角尺按如圖擺放，點后在“1上，點〃在比1的延長線上，EF//BC,￡B=￡EDF

=90°,N/=45°,ZF=60°,則/6E9的度數是（）

6.如圖，曲交"'于點物交此'于點〃，四交元于點兒NQN尸9=0°,ZB=NC,AE

=AF,給出下列結論：其中正確的結論有（）

①N1=N2；②BE=CF；③倒/；④CADN；⑤△4%%

A.2個B.3個C.4個D.5個

7.如圖，ABLCD,且46=繆，E,尸是49上兩點，CELAD,BFLAD.若位=4,BF=3,EF

A.3B.5C.6D.7

8.如圖，在四邊形4?（力中，/4=90°,444,連接BD,BDLCD,NADANC.若P是

8C邊上一動點，則加長的最小值為（）

B.3C.2D.1

9.在△48C中，點弘/V分別是邊4c和及7的中點，△（：,郵的面積等于1,則四邊形網砌的

面積是.

10.如圖，已知點尸是△49C的重心，連接跖并延長，交4C于點后連接⑦并延長，交

AB于點、過點尸作收7〃8G交力C于點G.設三角形儲G四邊形儆K的面積分別為

11.在中，48=4,Z（^=60°,ZA>ZB,則a'的長的取值范圍是

12.在中，Z/f=50°，Z5=30°，點〃在46邊上，連接劈，若△4切為直角三角

形，則/及笫的度數為度.

13.如圖，在a中，/6=30°,AB=AC,。是兩條對角線的交點，過點。作4c的垂線

分別交邊/〃，比1于點￡,A點"是邊的一個三等分點，則必1與監■的面積比

為.

14.中，/8=/。=12厘米，/B=/C,a-9厘米，點〃為的中點.如果點〃在

線段8c上以-厘米/秒的速度由6點向。點運動，同時，點0在線段CA上由C點向A點

運動.若點0的運動速度為3厘米/秒，則當△初9與△加全等時，/的值為.

15.如圖，正方形網格中，點4B,C,〃均在格點上，則/力辦/眩C=

16.如圖，在△/8C中，/〃是應'邊上的高，應是“1邊上的高，且/〃，應1交于點尸，若跖

17.在△/%中，AB.BC、〃1三邊的長分別為JI5、遙、后，求這個三角形的面積.小

華同學在解答這道題時，先畫一個正方形網格(每個小正方形的邊長為1),再在網格中

畫出格點△4K(即△/式1三個頂點都在小正方形的頂點處)，如圖①所示.這樣不需要求

△力弘的高，而借用網格就能計算出它的面積，這種方法叫做構圖法.

(1)△力肥的面積為：

(2)若△麻三邊的長分別為后、2代、729,請在圖①的正方形網格中畫出相應的4

DEF,并利用構圖法求出它的面積.

(3)利用第(2)小題解題方法完成下題：如圖②，一個六邊形綠化區4?以印被分割成7

個部分，其中正方形/I用火，CDRQ,分叼?的面積分別為13,20,29,且△/W、XBCQ、△頌、

△加方的面積相等，求六邊形綠化區"成泥尸的面積.

18.教材呈現：如圖是華師版九年級上冊數學教材第78頁的部分內容.

例2如圖，在△■中，D,6分別是邊陽4?的中點，AD,"相交于點G,求證：毀=毀

CEAD

=工

~3

證明：連結被

請根據教材提示，結合圖①，寫出完整的證明過程.

結論應用：在口被力中，對角線4G劭交于點。，K為邊a'的中點，AE、加交于點五

(1)如圖②，若口力及力為正方形，且/Q6,則/1的長為.

(2)如圖③，連結DE交檢于點G,若四邊形在次;的面積為工，則口/驅的面積為.

圖①圖②圖③

19.(1)如圖，在中，28=32°,N占68°,則N4=

(2)方程2x-1=7的根是.

20.如圖，在RtZ\M?C中，N4⑦=90°,ZJ=40°,△力&'的外角NG切的平分線原交

的延長線于點E.

(1)求/頌的度數；

(2)過點〃作加〃/，交〃'的延長線于點R求/廠的度數.

21.如圖(1),AB=4cm,ACLAB,BDLAB,"^切=3a?.點P在線段47上以1c必/s的速

度由點4向點8運動，同時，點0在線段切上由點6向點〃運動.它們運動的時間為力

(s).

(1)若點。的運動速度與點尸的運動速度相等，當t=l時，與△藥鋁是否全等，請

說明理由，并判斷此時線段和線段倒的位置關系;

(2)如圖(2),將圖(1)中的uACLAB,BDLAff,為改“NCAB=NDBA=6Q°”,其他條

件不變.設點0的運動速度為XCR/S,是否存在實數x,使得夕與△曬全等？若存在,

求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由.

3?B

今P

圖(1)圖(2)

參考答案

1.解：如圖，點尸是。■的中點,

△啊■的底是牙；△火的底是員7,BPEF=^EC,高相等;

2

S^B￡F=—S^BEC>

2

同理得，S4KB=LSAMB,

22

5k?r=_

2

:,S&BEF=LS4MC,且5k械=16,

4

?'?S&BEF=4,

即陰影部分的面積為4.

故選：B.

根據三角形的重心可知：

點〃是的重心，

點以E是BC、4C的中點,

：.AE=^AC=1.

22

BD=LBC=2

2

設OD=x,則A0^2x,

設gy,則加=2y,

'：ADLBE,

...在雙△/!必和RtZ\8即中，根據勾股定理，得

AG+OB=AE,加+切=加

即“+/=%)

4「+9=4②

①+②得*+/=$

4

在Rt△｛如中，

JWA02+B02=V4x2+4y2=%2+了2=遙

答：48的長為收.

故選：A.

3.解：①長度分別為5、3、4,能構成三角形，且最長邊為5；

②長度分別為2、6、4,不能構成三角形；

③長度分別為2、7、3,不能構成三角形；

④長度分別為6、3、3,不能構成三角形；

綜上所述，得到三角形的最長邊長為5.

故選：B.

4.解：,:DE"BC,

???/￡=/笈券=30°,

TN月%=45°,

：.ZACE=ZACB-ZECB=15°,

■:/ECD=90°,

：.ZACD=90°-15°=75°,

故選：D.

5.解：VZ^=90°,ZJ=45°,

：.ZACB=45°.

VZ^ZF=90°,ZF=60°,

：.ZDEF=30°.

,:EF〃BC,

:./EDC=/DEF=3N,

:"CED=/ACB-/EDC=45°-30°=15°.

故選：A.

6.解：???/￡=NQ90°,NB=/C,AE=AF,

:?/\AB=/XACF(AAS),

:.BE=CF,AF=AE,故②正確，

/BAE=/CAF,

/BAE-4BAC=2CAF-NBAC,

AZ1=Z2,故①正確,

Y△ABEaIXACF,

：.AB=AC,

又/BAC=/CAB,/B=/C

△AC但△ABMQASA),故③正確，

不能證明成立，故④錯誤

VZ1=Z2,ZF=ZEfAF=AE,

???△"?，必△力￡￥3%)，故⑤正確，

故選：C.

7.解：YAB1CD,CE1AD,BFVAD,

：.ZAFB=ZCED=90°,ZJ+ZZ?=90°,NGNZ?=90°,

：.ZA=ZCf?:AB=CD,

:./\AB=XCDE(A4S),

：.AF=CE=^,BF=DE=3,

,:EF=2,

：.AD=AFrDF=^(3-2)=5,

故選：B.

8.解：當〃2LBC時，ZF的長最小，

VBDLCD,

：?/BDC=9G,

VZ^=90°,4ADB=4C,ZA+ZAD^-ZASD=180°,ZBJ)C+ZOZCBD=180°,

：.ZABD=ZCBDf

VZJ=90°,

???當加LSC時，DP=AD,

9：AD=4,

???如的最小值是4,

故選：A.

9.解：:帆川分別為4G8c的中點,

...腑為△然C的中位線，

J.MN//AB,且AB=2MN,

:.△CM^XCAB,

...也晅=必』，

^ACMN瞄

?*?S2CR產4區加=4,

?*?S四邊形.■m=S^CAB-5kcwv=4-1=3?

故答案為：3.

10.解：.??點尸是的重心，

:.BF=2EF,

:?BE=3EF,

YFG〃BC,

：.i\EFG^l\EBC.

S

.EF=11_z1x2=1

??西3"SAEBC59"

S：S=~^"；

8

故答案為：1.

8

11.解：作的外接圓，如圖所示:

'：ABAOAABC,A5=4,

當/為C=90°時，6c是直徑最長，

：/C=60°,

：.ZABC=30°,

：.BC=2AC,AB=y/3AC=4,

：.AC=^^,

3

3

當/為C=/4a'時，△胸是等邊三角形，BC=AC=AB=4,

'：ZBAOZABC,

，比長的取值范圍是4<6底色巨；

3

故答案為：4<8最色&.

3

①如圖1,當N4T=90°時,

AZ509=90°-30°=60°；

②如圖2,當折90°時，

.*.N4"=180°-30°-50°=100°,

.,.ZJ?G9=100°-90°=10°,

綜上，則/靦的度數為60°或10°；

故答案為：60或10；

13.解：①當打伊=工力夕時，設AB=AC=則笈/=工〃/,

33

??,。是兩條對角線的交點，

OA=OC=—AC=—/n,

22

???NQ30°,AB=AC,

:"ACB=4B=M,

?：EF工AC,

1_

cosZACB=^-tBPcos30°=——,

FCFC

FC=^^-m,

3

?：AE//FC9

:./EAC=/FCA,

又Y/A0E=/C0F,AO=CO,

J△力詠△OF,

:.AE=FC=^-m,

3

26_

S^OE——OA*0E—-X—n.X,

222624

作加工比于N,

?：AB=AC,

:.BN=CN=LBC,

2

\,氏4返｛8=返必，

22

:.BF=BC-FC=Mm-返后組，

33

作MHLBC于II,

；/Q30°,

:.MH=LBM=Ln,

26

5Aw=—BF*MH=AX-^A/z/Xl-in=^-m,

223618

M2

.SAAOE24m

S2

ABMF^-M4

18

②當81/=2四時，同法可得S4AOE=3

32ABMF8

故答案為3或3.

48

14.解：中，/IQ/1C=12厘米，點〃為49的中點，

**-BL^6厘米，

若△從四△。鋁，則需劭=。=6厘米，步=。上工況、=工X9=4.5（厘米）,

22

???點0的運動速度為3厘米/秒，

...點0的運動時間為：6+3=2（s）,

-4.5+2=2.25（厘米/秒）；

若△陰屋△"?,則需g加=6厘米，BP=CQ,

.（9-vt=6

[vt=3t

解得：K=3；

???」的值為:2.25或3,

故答案為：2.25或3

15.解：在Rt△力EC和RtZ\ZM夕中

fAE=AD

lAC=BD

ARtAJ￡6^RtAZZ45（應），

???/ACE=/ABD,

???/9力//力=90°,

：.ZEA&ZASD=90°,

：.ZAFB=90°,即NCK9=90°,

:?/ACA/BDC=9G,

故答案為90.

16.解：是比邊上的高，龐1是然邊上的高,

:.NADC=NBDF=NAE4M。,

：.ZDAC+ZC=9Q°，N隆NDBF=90°,

：.4DAC=ADBF,

在和△應產中，

，ZADC=ZBDF

<ZDAC=ZDBF-

AC=BF

XADC烏XBDFqAAS),

：.CD=FD=S,AD=BD=8,

,:CD=3,BD=8,

：.A/)=8,DF=3,

:"F=AD-Fg8-3=5,

故答案為：5.

17.解：(1)區械=3X3-工X3X1-LX2X1-LX3X2=3.5；

222

(2)8的=4X5-LX2X3-LX2X4-LX2X5=8；

222

(3)由(2)可知義沖=8,

...六邊形花壇力戈婀的面積為：

S正方形正方脛附雙+S正方彩emf"13+20+29+8X4=94.

18.教材呈現：

證明：如圖①，連結

?.?在△/!比'中，D,匯分別是邊a的中點，

：.DE//AC,DE=La

2

:、MDEGSMACG,

?CG=AG=AC=9

…蕊一麗一正一‘

?CG+GE-AG+GD-Q

GEGD

.空=毀=工

"CEAD~3'

結論應用：

(1)解：如圖②.

?.?四邊形兒?c?為正方形，《為邊正的中點，對角線4G被交于點

J.AD//BC,BE=%C=LAD,BO=』D,

222

:.△BEFSXDAF,

.BF=BE=1

"DFADT

:.BF=LDF,

2

:.BF=LBD,

3

,:BO=LBD,

2

0F=OB-BF=LBD-LBD=^BD,

236

?.,正方形/灰/中，AB=6,

:必=啦,

OF=y[2-

故答案為加；

(2)解：如圖③，連接OE.

由(1)知，BF=LBD,OF=LBD,

3