全等與幾何變換全等與幾何變換內容基本要求略高要求較高要求軸對稱了解圖形的軸對稱，理解對應點所連的線段被對稱軸垂直平分性質；了解物體的鏡面對稱能按要求作出簡單平面圖形經過一次或兩次軸對稱后的圖形；掌握簡單圖形之間的軸對稱關系，并能指出對稱軸；掌握基本圖形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓）的軸對稱性及相關性質。能運用軸對稱進行圖案設計旋轉了解圖形的旋轉，理解對應點到旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心連線所成的角彼此相等的性質；會識別中心對稱圖形能按要求作出簡單平面圖形旋轉后的圖形，能依據旋轉前、后的圖形，指出旋轉中心和旋轉角能運用旋轉的知識解決簡單問題；平移了解圖形平移，理解平移中對應點連線平行（或在同一條直線上）且相等的性質能按要求作出簡單平面圖形平移后的圖形；能依據平移前后的圖形，指出平移的方向和距離能運用平移的知識解決簡單的計算問題；模塊一全等三角形與軸對稱?角平分線類“角”是軸對稱圖形，對稱軸為角平分線所在的直線。因此在遇見與角平分線有關問題的時候，可以有下面幾個基本解題思路：①平分角；②角平分線上點到角兩邊的距離相等；③沿角平分線進行翻折。如圖，在中，，為的平分線．求證：．【難度】3星【解析】輔助線：有兩個基本思路，一是將沿進行翻折，點落在點，主要目的：構造,因此可將問題順利轉化為證明：“”二是將沿進行翻折，基本思路同“思路一”【答案】思路一、如圖，在上截取，連接，可證，因此可得，，，∵∴∴∴∴∴思路二、略【鞏固】如圖，中，平分，，則．【難度】2星【解析】根據角平分線的對稱性，將翻折，如圖，則，,結合已知條件“”，可得，∴為等腰三角形思路二，可將進行翻折，分析略【答案】在中，，是的平分線．是上任意一點．求證：．【難度】星【解析】為角平分線，將沿翻折，點落在點，連接，則，，∴可以將問題“”轉化為“”，則用三邊關系很容易能夠解決【答案】略【鞏固】如圖，是的外角的平分線上的點（不與重合）求證：【難度】星【解析】為角平分線，將沿翻折，點落在點，連接，則，，∴可以將問題“”轉化為“”，則用三邊關系很容易能夠解決【答案】在上截取一點使得，其他略如圖，在中，，，是上一點，交的延長線于，且．求證：是的角平分線．【難度】3星【解析】結論要證明：“是的角平分線”，而且已知條件中有“”，即“”因此可以通過沿翻折“”構造“”，但是，問題在于“是的角平分線”是我們所需要證明的結論，而并非已知條件，所以輔助線的描述方式為：“延長、交于點”【答案】延長、交于點，先證明，得，則，再證．?垂直平分線類垂直平分線：“垂直平分線上點到線段兩個端點的距離相等”，主要是轉化線段之間的關系，尤其是在軸對稱有關作圖中，應用更為廣泛如圖，的兩邊、的垂直平分線分別交于、，若,則的度數是【難度】星【解析】由垂直平分線的性質可得，、均為等腰三角形，設，，則，，因此解得，∴【答案】【鞏固】如圖中，平分，且平分，于，于.⑴說明的理由；⑵如果，，求，的長.【難度】星【解析】⑴要證明，根據垂直平分線的性質，可連接、證明即可⑵求、的長，可設，，根據題意得，解得【答案】略?構造等腰三角形類構造等腰三角形類的主要方法有兩種：①是將直角三角形沿著某一直角邊翻折；②是截取等長線段如圖，在中，，于，且，那么的度數是_______【難度】星【解析】已知條件“”，為了構造與之相關的條件，將沿翻折，點落在點，因此在上截取一點，使得，連接，易證，因此設，則，∵，∴，∴【答案】【鞏固】如圖，在中，于，．求證：．【難度】3星【解析】根據已知條件，可考慮將沿折疊，點落在的延長線上的點，因此將求證的結論轉化為，因此只需證明即可，輔助線描述如下：延長到點使得，連接，易證為線段的垂直平分線，∴，∴，∵∴∴∴也可以，延長至，使，連接．易證，所以，進而是等腰三角形，根據等腰三角形的三線合一性質可知【答案】略?構造等邊三角形類構造等邊三角形類的方式主要有兩種：①直接以某一線段長為邊，直接構造等邊三角形；②作等腰三角形，然后利用題目給出的特殊角，如，證明此等腰三角形為等邊三角形如圖，在中，，是外的一點，且，．求證：．【難度】4星【解析】本題輔助線的思路隱含在結論“”以及中，很容易讓人聯想到等邊三角形，因此也只需將這個等邊三角形補全即可【答案】延長至，使，連接．∵，∴為等邊三角形．∴．∴，∴，∴，∴，故原題得證．【鞏固】如圖，已知，且．求證：是等腰三角形．【難度】3星【解析】本題的結論：“是等腰三角形．”那么我們知道應該有兩種方法：①通過三角形全等證明，②證明，但是通過對已知條件的分析發現，此兩種方法都沒有辦法解決，因此必須通過輔助線對結論進行轉化，利用“”，構造出等邊，因此只需要證明，即證明,這里有一個難點就是“”的應用。【答案】延長到，使得，連結．∵，∴是等邊三角形，∴∵，∴則，即∵，∴，∴∴，∴∴是等腰三角形．模塊二全等三角形與旋轉?全等三角形與旋轉的性質一般涉及到旋轉有關問題時，都會用到:旋轉前后，圖形對應全等，由此轉化線段與角的對應關系如圖，將繞點按逆時針方向旋轉至，使點恰好落在邊上，已知，，則的長是________【難度】星【解析】旋轉前后圖形對應全等：對應邊相等【答案】【鞏固】如圖，將繞著點按順時針方向旋轉，點落在點位置，點落在點位置，若，則【難度】星【解析】旋轉前后圖形對應全等：對應邊相等，對應角相等【答案】如圖，在上，在上，且，，則的長等于（）A.B.C.D.【難度】星【解析】旋轉前后圖形對應全等：對應邊相等【答案】C（提示：可證明）?倍長中線類倍長中線是我們耳熟能詳的一種輔助線的作法，其實此作法最主要是通過旋轉的方式，構造出一對“8”字型全等三角形，從而轉化線段與角的數量關系如圖，已知為邊的中點，，則（）A．大于B．小于C．等于D．與的大小關系無法確定【難度】3星【解析】延長到，使得，連接易證，∴又∵，∴，即是等腰三角形在中，，∴，故選A．【答案】A【鞏固】在后面的學習中，我們會學習到與直角三角形斜邊上有關的性質：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，用數學語言改編如下：已知：在中，，為斜邊的中點，證明:【難度】星【解析】涉及到三角形中線的問題，一般可以考慮“倍長中線”，而從幾何變換的角度來講，“倍長中線”就是將某一個三角形旋轉，然后進行邊與角關系的轉化【答案】延長到點，連接易證則，，則易證，所以，則，∴在《四邊形》這一章中，我們會學習到中位線的概念以及性質中位線的概念：三角形兩邊中點的連線，我們稱之為三角形的中位線中位線的性質：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半用數學語言改編如下：如圖，在中，為的中點，為的中點證明：，【難度】星【解析】類似于倍長中線的作法，構造“”型全等，轉化線段與角的關系【答案】延長到點，使得，連接，易證,則，，易證則,，所以，【鞏固】兩個全等的含、角的三角板和三角板，如圖所示放置，、、三點在一條直線上，連結，取的中點，連結、，試判斷的形狀，并說明理由．【難度】3星【解析】類似于“倍長中線”的做法構造“”字型全等，同時還有“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”【答案】延長，交于點，易證，則，易證為等腰直角三角形，則，∴為等腰直角三角形?一般等腰三角形旋轉一般等腰三角形旋轉的問題主要有：①通過對等腰三角形旋轉，構造全等三角形；②通過對一般三角形旋轉構造等腰三角形如圖，中，，,將繞點逆時針旋轉到如圖所示位置求證：，【難度】星【解析】旋轉等腰三角形構造全等三角形【答案】提示：【鞏固】如圖，是邊長為1的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點作一個的，點分別在上，則的周長是．【難度】4星【解析】將繞點逆時針旋轉,將繞點順時針旋轉【答案】如圖，由已知可得分別是的平分線．又∵，∴≌．同理得≌，．又，∴≌，∴=1．?等腰直角三角形旋轉等腰直角三角形旋轉有關問題要充分考慮到：“邊相等”“角相等”，還有斜邊上的中線，這條特殊的線段，尤其是涉及到斜邊中點的時候，基本上都會連接這條中線已知：三角形中，，，為的中點．（1）如圖，分別是上的點，且，求證：為等腰直角三角形．（2）若分別為延長線上的點，仍有，其他條件不變，那么，是否仍為等腰直角三角形？證明你的結論．【難度】3星【解析】要想證明“為等腰直角三角形”，首先得證明：“”，因此可以考慮構造全等三角形，而且四邊形這類圖形，在以后的學習過程還經常會遇見【答案】⑴連結，∵，，為的中點，∴，，．∵，∴≌．∴．∴，∴為等腰直角三角形．(2)若分別是延長線上的點，如圖所示．連結．∵為的中點，∴．∴．∴．又∵，∴≌．∴．∴．∴仍為等腰直角三角形．【鞏固】如圖，在中，＝，＝，為上任意一點，且⊥于，⊥于，為的中點，試判斷是什么形狀的三角形，并證明你的結論．【難度】3星【解析】利用等腰直角三角形的性質：“斜邊上的中線垂直平分斜邊，且等于斜邊的一半”構造全等三角形【答案】連接∵＝，＝，⊥，⊥，為的中點∴＝，＝，＝＝．又∵＝∴≌∴＝，＝又∵+＝∴＝∴是等腰直角三角形．?等邊三角形旋轉復習“全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業題：“如圖①，已知中，，是內任意一點，將繞點順時針旋轉至，使，連接、，則。”小亮是個愛動腦筋的同學，他通過對圖①的分析，證明了，從而得，之后，他將點移到等腰三角形之外，原題中其他條件不變，發現“”仍然成立，請你就圖②給出證明。【難度】星【解析】典型的旋轉全等題，兩個圖形的證明思路完全一樣，只不過在證明時略有區別【答案】略【鞏固】如圖，已知四邊形中，，，證明：．【難度】3星【解析】典型的等邊三角形等點重合【答案】延長至，使．連接．∵，∴是等邊三角形，∴．又∵，∴，∴為等邊三角形．∴．∴，∴≌．∴．?三垂直全等及三垂直的變形在中，，，直線經過點，且于，于．⑴當直線繞點旋轉到圖①的位置時，求證：；⑵當直線繞點旋轉到圖②的位置時，求證：；⑶當直線繞點旋轉到圖③的位置時，試問：、、有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．【難度】級【解析】本題的關鍵是充分利用等腰直角三角形的性質，轉化邊與角的關系，證明【答案】（1）略；（2）略；（3）．【鞏固】如圖，在等腰中，，為上一點，，，那么等于（）A．B．C．D．【難度】星【解析】本題主要是證明，利用全等三角形的性質，轉化【答案】A【鞏固】如圖，是經過頂點的一條直線，，、分別是直線上兩點，且．（1）若直線經過的內部，且、在直線上，請解決下面兩個問題：①如圖①，若，，則；（填“”、“”、“”）；②如圖②，若，請添加一個關于與關系的條件，使①中的兩個結論仍然成立，并證明這兩個結論．（2）如圖③，若直線經過的外部，，請提出、、三條線段數量關系的合理猜想（不要求證明）．【難度】3級【解析】三垂直的變形，“”是本題的關鍵。【答案】（1）①=；=；②；（2）．模塊三全等三角形與平移平移的基本思路是通過平移，將有關系但又不在一起的量集中起來，且對應邊平行且相等如圖所示，兩條長度為的線段和相交于點，且，求證：．【難度】3星【解析】考慮將、和集中到同一個三角形中，以便運用三角形的不等關系．【答案】作且，則四邊形是平行四邊形，從而．(教師可告訴學生：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)，在中可得，即．由于，，所以是等邊三角形，故，所以．【鞏固】如圖所示，在的邊上取兩點、，且．求證：．【難度】3星【解析】本題所要證的四條線段分布于不同的三角形中，要比較它們的大小，就要將這四條線段相對集中．為此，可設想將平移到的位置，這樣，相當于將平移到，將平移到．于是，要證，就相當于證明——這個關系是顯然的．【答案】如圖所示，過作，過作，交于點．由于，，．故≌，則，．設與的交點為．由于，，所以．故．課堂檢測課堂檢測點是四邊形的邊的中點，，證明：【難度】星【解析】本題是典型軸對稱變換，條件非常少，不過結論“”非常有特點，即為什么會出現，同時還是證明不等關系，只有我們在接觸最短路程，已經三角形三邊關系的時候做過類似的問題【答案】作點關于的對稱點，連接、，作點關于的對稱點，連接、、∴，，，易證，∴,∴∴是等邊三角形∴，∵∴如圖，在中，，是外的一點，且，．求證：．【難度】4星【解析】本題輔助線的思路隱含在結論“”以及中，很容易讓人聯想到等邊三角形，因此也只需將這個等邊三角形補全即可【答案】延長至，使，連接．∵，∴為等邊三角形．∴．∴，∴，∴，∴，故原題得證．總結復習總結復習1．通過本堂課你學會了．2．掌握的不太好的部分．3．老師點評：①