第十五章分式（題型突破）【題型一分式有意義的條件】例題：（2023·河南南陽·統考三模）若代數式有意義，則實數x的取值范圍是______．【變式訓練】1．（2023·云南昆明·昆明八中校考三模）要使分式有意義，則的取值范圍為______．2．（2023·云南楚雄·統考二模）要使分式有意義，則的取值范圍為____．3．（2023秋·湖北咸寧·八年級統考期末）當滿足條件___________時，分式沒有意義．4．（2023·山東臨沂·統考一模）要使分式無意義，則x的取值范圍是_________．【題型二分式值為零的條件】例題：（2023·廣東佛山·佛山市南海區南海執信中學校考三模）若分式的值為0，則x的值為()A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023春·廣東佛山·八年級校考期中）若分式的值為零，則x的值為（）A． B．0 C．3 D．2．（2023春·河北保定·八年級保定十三中校考階段練習）若分式的值為0，則的取值是（）A． B． C． D．3．（2023春·安徽蚌埠·七年級校聯考階段練習）已知分式的值為，則______．4．（2023春·廣東佛山·八年級校考階段練習）若分式的值為0，則________【題型三判斷分式變形是否正確】例題：（2023·廣東茂名·統考一模）下列等式中正確的是（）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023春·北京西城·八年級北京市第一六一中學校考開學考試）下列變形正確的是（）A． B． C． D．2．（2023春·安徽六安·七年級六安市第九中學校考階段練習）下列變形中，錯誤的是（）A． B．C． D．【題型四利用分式的基本性質判斷分式值的變化】例題：（2023春·廣東佛山·八年級校考階段練習）如果把中x，y的值都擴大2倍，那么這個分式的值（）A．不變 B．縮小到原來的 C．擴大4倍 D．擴大2倍【變式訓練】1．（2023春·河北保定·八年級保定十三中校考階段練習）當，時，若、都擴大為原來的10倍，則分式的值（）A．縮小到原來的 B．擴大到原來的10倍C．縮小到原來的 D．擴大到原來的100倍2．（2023春·江蘇宿遷·八年級統考期中）若把分式中的和都擴大2倍，那么分式的值（）A．不變 B．擴大2倍 C．縮小為原來值 D．縮小為原來值的3．（2023春·廣東佛山·八年級校考階段練習）如果把中的與都擴大3倍，那么這個代數式的值（）A．縮小到原來的 B．不變 C．擴大3倍 D．擴大9倍【題型五最簡分式】例題：（2023春·山東濟南·八年級統考期中）下列分式是最簡分式的是（）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023春·浙江·七年級專題練習）下列等式成立的是（）A． B． C． D．2．（2023春·全國·八年級專題練習）下列各分式中，是最簡分式的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·湖北武漢·八年級統考開學考試）下列分式是最簡分式的個數為(

)①；②；③；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【題型六最簡公分母】例題：（2023春·廣東佛山·八年級佛山市惠景中學校考期中）分式與的最簡公分母是______．【變式訓練】1．（2023春·浙江·七年級專題練習）分式，，的最簡公分母是_______．2．（2023春·江蘇·八年級校考周測）的最簡公分母是_________3．（2023春·全國·八年級專題練習），，的最簡公分母是_____．【題型七含乘方的分式乘除混合運算】例題：（2023春·全國·八年級專題練習）計算：【變式訓練】1．（2023春·全國·八年級專題練習）計算：（1）；（2）；（3）?÷；（4）．【題型八零指數冪、負整數指數冪】例題：（2023·廣東梅州·統考一模）計算：___________．【變式訓練】1．（2023春·浙江杭州·七年級期中）計算：________，________．2．（2023·廣東佛山·佛山市華英學校校考三模）計算：____________．3．（2023春·浙江杭州·七年級期中）已知，那么a，b，c之間的大小關系是__________（請用“<”表示）．【題型九用科學計數法表示絕對值小于1的數】例題：（2023春·陜西西安·七年級校考階段練習）2023年1月8日起，國家對新冠病毒感染實施“乙類乙管”，已經知新冠病毒的直徑是，這個數據用科學記數法可表示為____________m．【變式訓練】1．（2023·河南駐馬店·統考三模）維生素A是人體內不可缺少的微量元素，成年女性每天維生素A的攝入量約為．質量單位是微克的符號，單位轉換，，數據“”用科學記數法可表示為（）A． B． C． D．2．（2023·江蘇泰州·統考三模）近年來，我國研發的北斗芯片實現了22納米制程的突破，22納米等于0.000000022米．用科學記數法表示0.000000022是_________．3．（2023春·廣東清遠·七年級校聯考期中）某顆粒物的直徑是，把用科學記數法表示為______．【題型十整數指數冪的運算】例題：（2023春·七年級課時練習）計算：(1)(2)【變式訓練】1．（2023春·全國·七年級專題練習）計算：（1）；（2）.2．（2023春·山東泰安·六年級東平縣實驗中學校考階段練習）計算：(1)； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)；(7)； (8)．【題型十一分式加減乘除混合運算】例題：（2023·河南漯河·統考二模）化簡：．【變式訓練】1．（2023·湖北襄陽·統考二模）化簡：2．（2023·四川瀘州·統考中考真題）化簡：．3．（2023春·河北保定·八年級保定十三中校考階段練習）計算：(1)；(2)．【題型十二分式化簡求值】例題：（2023·湖南益陽·統考二模）先化簡，再求值：，其中．【變式訓練】1．（2023·山東菏澤·統考三模）先化簡，再求值：其中滿足方程．2．（2023·遼寧錦州·統考一模）先化簡，再求值：，其中：3．（2023春·陜西西安·八年級統考階段練習）先化簡：，若，請選取一個合適的整數作為x的值代入求值．4．（2023·四川廣安·統考中考真題）先化簡，再從不等式中選擇一個適當的整數，代入求值．5．（2023·湖南懷化·統考中考真題）先化簡，再從，0，1，2中選擇一個適當的數作為a的值代入求值．6．（2023春·湖南長沙·九年級校聯考期中）先化簡，再求值：，其中a滿足．【題型十三解分式方程】例題：（2023春·廣東清遠·八年級校考期中）解方程：(1)；(2)．【變式訓練】1．（2023春·河北保定·八年級保定十三中校考階段練習）解方程(1)；(2)．2．（2023·四川攀枝花·校考一模）解方程：(1);(2)．3．（2023春·浙江·七年級專題練習）解分式方程：(1)(2)4．（2023春·浙江·七年級專題練習）解方程(1)；(2)．5．（2023春·全國·八年級專題練習）解下列分式方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【題型十四分式方程的實際應用】例題：（2023·吉林白山·校聯考三模）第5代移動通信技術簡稱5G，某地已開通5G業務，經測試5G下載速度是4G下載速度的16倍，小明和小強分別用5G與4G下載一部960兆的公益片，小明比小強所用的時間快150秒，求該地4G與5G的下載速度分別是每秒多少兆？【變式訓練】1．（2023·湖南岳陽·統考中考真題）水碧萬物生，岳陽龍蝦好．小龍蝦產業已經成為岳陽鄉村振興的“閃亮名片”．已知翠翠家去年龍蝦的總產量是，今年龍蝦的總產量是，且去年與今年的養殖面積相同，平均畝產量去年比今年少，求今年龍蝦的平均畝產量．2．（2023春·廣東佛山·八年級校考階段練習）2023年5月，江西省突發港澇災?，為響應政府救援號召，甲、乙兩公司組織全體員工參與“眾志成城，人間大愛”捐款活動，甲公司共?款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙兩公司員工的一段對話：

(1)甲、乙兩公司各有多少人？(2)現甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購買、兩種防疫物資，種防疫物資每箱15000元，種防疫物資每箱12000元．若購買種防疫物資不少于10箱，并恰好將捐款用完，有幾種購買方案？（注：、兩種防疫物資均需購買，并按整箱配送）．3．（2023春·浙江·七年級專題練習）某商店3月份購進一批T恤衫，進價合計12萬元，因暢銷，商店又于4月份購進一批同品牌T恤衫，進價合計萬元，數量是3月份的1.5倍，但每件進價漲了5元．這兩批T恤衫開始都以每件180元出售，到5月初，商店把剩下的100件打八折出售，很快售完，問：3，4月份一共購進多少件T恤衫？商店售完后可獲利潤(銷售收入減去進價總計)多少元？4．（2023·山西陽泉·校聯考模擬預測）據山西省住房和城鄉建設廳消息，年，山西省將開工改造城鎮老舊小區個，優先將養老托幼、日間照料、社區食堂等公共服務設施配套建設作為提升改造內容．某社區改造社區食堂需要租用垃圾專用車清理建筑垃圾，調研發現：若租用甲、乙兩車運送，兩車各運趟可完成，已知甲、乙兩車單獨運完這些垃圾，乙車所運趟數是甲車的2倍，求甲、乙兩車單獨運完這些垃圾各需運多少趟？

5．（2023·重慶·三模）為了加快推進環境建設，構建生態宜居城市，實現“河暢、水清、岸綠、景美”的目標，九龍坡區計劃安排甲、乙兩個施工隊對一條全長為4100米的河道進行清淤施工．經調查知：甲隊每天清淤的河道長度是乙隊每天清淤的河道長度的倍，甲隊清淤1200米的河道比乙隊清淤同樣長的河道少用2天．(1)甲、乙兩隊每天清淤的河道長度分別是多少米？(2)若該條河道先由甲隊單獨清淤2天，余下的河道由甲乙兩隊合作清淤．已知甲隊施工一天的費用為萬元，乙隊施工一天的費用為萬元，求完成該條河道清淤施工的總費用．

第十五章分式（題型突破）答案全解全析【題型一分式有意義的條件】例題：（2023·河南南陽·統考三模）若代數式有意義，則實數x的取值范圍是______．【答案】【分析】根據分式有意義的條件求出x的取值范圍即可．【詳解】解：依題意得：．故答案是：．【點睛】本題考查的是分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不等于零是解答此題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·云南昆明·昆明八中校考三模）要使分式有意義，則的取值范圍為______．【答案】【分析】根據分式有意義的條件：分母不為零，即可完成求解．【詳解】∵分式有意義，∴，解得．故答案是：．【點睛】本題考查了分式有意義的條件，掌握這一條件是解題的關鍵．2．（2023·云南楚雄·統考二模）要使分式有意義，則的取值范圍為____．【答案】【分析】根據分式有意義，分母不等于0列不等式求解即可．【詳解】解：由題意得，，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義?分母為零；（2）分式有意義?分母不為零；（3）分式值為零?分子為零且分母不為零．3．（2023秋·湖北咸寧·八年級統考期末）當滿足條件___________時，分式沒有意義．【答案】【分析】根據分式無意義的條件可直接進行求解．【詳解】解：由分式沒有意義，可得，解得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查分式無意義的條件，熟練掌握分式不成立的條件是解題的關鍵．4．（2023·山東臨沂·統考一模）要使分式無意義，則x的取值范圍是_________．【答案】【分析】根據分式無意義的條件是分母為0進行求解即可．【詳解】解：∵分式無意義，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了分式無意義的條件，熟知分式無意義的條件是分母不為0是解題的關鍵．【題型二分式值為零的條件】例題：（2023·廣東佛山·佛山市南海區南海執信中學校考三模）若分式的值為0，則x的值為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零，據此求出x的值即可．【詳解】解：∵分式的值為0，∴且，解得：．故選：D．【點睛】此題主要考查了分式值為零的條件，解答此題的關鍵是要明確：分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不為零”這個條件不能少．【變式訓練】1．（2023春·廣東佛山·八年級校考期中）若分式的值為零，則x的值為（）A． B．0 C．3 D．【答案】D【分析】根據分式的值為零的條件即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：解得：，故選：D．【點睛】本題考查分式的值，解題的關鍵是熟練運用分式的值為零的條件．2．（2023春·河北保定·八年級保定十三中校考階段練習）若分式的值為0，則的取值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分式的值為零，分子等于零且分母不等于零，據此解答．【詳解】解：依題意得：且，解得：，故選B．【點睛】本題考查了分式的值為零的條件．若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．3．（2023春·安徽蚌埠·七年級校聯考階段練習）已知分式的值為，則______．【答案】【分析】根據分式的值為零的條件：分子且分母，即可求出結論．【詳解】解：分式的值為零，，解得：．故答案為：7．【點睛】此題考查的是分式的值為零的條件，掌握分式的值為零的條件：分子且分母是解決此題的關鍵．4．（2023春·廣東佛山·八年級校考階段練習）若分式的值為0，則________【答案】【分析】由題意直接根據分式的值為零的條件即分子等于零且分母不等于零進行分析即可．【詳解】解：∵分式的值為0，∴且，∴或，且，∴，解得，故答案為：．【點睛】本題考查分式值為零的條件，若分式的值為零，需同時具備兩個條件即分子為0和分母不為0．這兩個條件缺一不可．【題型三判斷分式變形是否正確】例題：（2023·廣東茂名·統考一模）下列等式中正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據分式的基本性質，分式的分子與分母同乘或除以一個不為零的數，分式的值不變，逐個判斷即可解答．【詳解】解：，故A正確；與不一定相等，故B錯誤；與不一定相等，故C錯誤；當時，，故D錯誤，故選：A．【點睛】本題考查了分式的基本性質，熟知該性質是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·北京西城·八年級北京市第一六一中學校考開學考試）下列變形正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據分式的基本性質對各選項進行約分判斷即可.【詳解】解：A、，故本選項變形錯誤；B、，故本選項變形正確；C、，故本選項變形錯誤；D、，故本選項變形錯誤；故選：B.【點睛】本題考查了分式的約分，熟練掌握分式的基本性質是解題的關鍵.2．（2023春·安徽六安·七年級六安市第九中學校考階段練習）下列變形中，錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據分式的性質，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A.，故該選項正確，符合題意；B.，故該選項正確，符合題意；C.，故該選項正確，符合題意；D.，故該選項不正確，不符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了分式的性質，熟練掌握分式的性質是解題的關鍵．【題型四利用分式的基本性質判斷分式值的變化】例題：（2023春·廣東佛山·八年級校考階段練習）如果把中x，y的值都擴大2倍，那么這個分式的值（）A．不變 B．縮小到原來的 C．擴大4倍 D．擴大2倍【答案】D【分析】先用代替分式中的x、y進行計算，再比較大小即可．【詳解】解：用代替分式中的x、y得．那么這個分式的值擴大2倍．故選：D．【點睛】本題考查了分式的基本性質，解題的關鍵是注意分式的基本性質的使用，以及整體代入．【變式訓練】1．（2023春·河北保定·八年級保定十三中校考階段練習）當，時，若、都擴大為原來的10倍，則分式的值（）A．縮小到原來的 B．擴大到原來的10倍C．縮小到原來的 D．擴大到原來的100倍【答案】A【分析】根據分式的基本性質（無論是把分式的分子和分母擴大還是縮小相同的倍數，分式的值不變）解答．【詳解】解：根據題意，得：，即分式的值縮小到原來的，故選：A．【點睛】本題考查了分式的基本性質．解題的關鍵是抓住分子、分母變化的倍數，解此類題首先把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結論．2．（2023春·江蘇宿遷·八年級統考期中）若把分式中的和都擴大2倍，那么分式的值（）A．不變 B．擴大2倍 C．縮小為原來值 D．縮小為原來值的【答案】A【分析】根據題意，分式中的x和y都擴大2倍，則，即可解答．【詳解】解：由題意，分式中的x和y都擴大2倍，∴，∴分式的值不變，故選：A．【點睛】本題考查了分式的基本性質，分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．3．（2023春·廣東佛山·八年級校考階段練習）如果把中的與都擴大3倍，那么這個代數式的值（）A．縮小到原來的 B．不變 C．擴大3倍 D．擴大9倍【答案】B【分析】根據分式的性質即可求解．【詳解】解：把中的與都擴大3倍，得故選：B．【點睛】本題考查了分式的性質，熟練掌握分式的性質是解題的關鍵．【題型五最簡分式】例題：（2023春·山東濟南·八年級統考期中）下列分式是最簡分式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據最簡分式的概念：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式，逐一判斷即可．【詳解】解：A、，不是最簡分式，不符合題意；B、，是最簡分式，符合題意；C、，不是最簡分式，不符合題意；D、，不是最簡分式，不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查最簡分式的概念，理解最簡分式的概念是解題關鍵．【變式訓練】1．（2023春·浙江·七年級專題練習）下列等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將各選項進行化簡判斷即可．【詳解】解：A、，故不符合題意；B、，故不符合題意；C、，故符合題意；D、，故不符合題意，故選：C．【點睛】題目主要考查分式的化簡，熟練掌握運算法則是解題關鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習）下列各分式中，是最簡分式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】最簡分式的標準是分子，分母中不含有公因式，不能再約分．判斷的方法是把分子、分母分解因式，先觀察有無相同因式，并且觀察有無互為相反數的因式，這樣的因式可以通過符號變化化為相同的因式從而進行約分．【詳解】解：．是最簡分式；B.，不符合題意；C.，不符合題意；D.，不符合題意；故選：．【點睛】本題考查了分式的基本性質和最簡分式，能熟記分式的化簡過程是解此題的關鍵．3．（2023春·湖北武漢·八年級統考開學考試）下列分式是最簡分式的個數為(

)①；②；③；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據最簡分式的定義進行判斷即可．【詳解】解：①是最簡分式；②是最簡分式；③，不是最簡分式；④，不是最簡分式；綜上分析可知，最簡分式有2個，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了最簡分式的定義，解題的關鍵是熟練掌握最簡分式定義，分子、分母中沒有公因式的分式是最簡分式．【題型六最簡公分母】例題：（2023春·廣東佛山·八年級佛山市惠景中學校考期中）分式與的最簡公分母是______．【答案】【分析】先將分式的分母進行因式分解，然后根據最簡公分母的定義即可得出結論．【詳解】∵，∴分式與的最簡公分母是．故答案是．【點睛】本題主要考查了最簡公分母的定義，熟練掌握最簡公分母的定義是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·浙江·七年級專題練習）分式，，的最簡公分母是_______．【答案】【分析】根據最簡公分母的定義即可解答．【詳解】解：分式、、的最簡公分母是．故答案為：．【點睛】本題考查了最簡公分母，最簡公分母的找法為：數字取最小公倍數，相同字母取最高次冪，只在一個分母中出現的字母，連同它的指數作為最簡公分母的一個因式．2．（2023春·江蘇·八年級校考周測）的最簡公分母是_________【答案】【分析】三個分式的分母均為多項式，故先將各個分母因式分解，然后再結合最簡公分母的知識進行求解即可．【詳解】解：的最簡公分母是．故答案為：．【點睛】本題考查的是最簡公分母的概念，取各分母系數的最小公倍數與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．3．（2023春·全國·八年級專題練習），，的最簡公分母是_____．【答案】【分析】根據最簡公分母的定義求出所求即可．【詳解】的分母為，的分母為，的分母為，∴，，的最簡公分母是．故答案為：．【點睛】此題考查了最簡公分母，最簡公分母的找法為：數字取最小公倍數，相同字母取最高次冪，只在一個分母中出現的字母，連同它的指數作為最簡公分母的一個因式．【題型七含乘方的分式乘除混合運算】例題：（2023春·全國·八年級專題練習）計算：【答案】【分析】先計算乘方運算，再把除法運算轉化為乘法運算，然后約分即可．【詳解】解：【點睛】本題考查了含乘方的分式乘除法，解本題的關鍵在熟練掌握其運算法則．【變式訓練】1．（2023春·全國·八年級專題練習）計算：（1）；（2）；（3）?÷；（4）．【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）【分析】（1）先計算乘方，同時將除法化為乘法，再計算乘法；（2）先計算乘方，將除法化為乘法，再計算乘法；（3）先將除法化為乘法，將分子與分母分解因式，再計算乘法；（4）將分子與分母分解因式，除法化為乘法，計算乘法即可．【詳解】解：（1）原式=）=；（2）原式==1；（3）原式==；（4）原式==．【點睛】此題考查分式的計算，掌握分式的乘方計算法則，乘除法計算法則，因式分解的方法是解題的關鍵．【題型八零指數冪、負整數指數冪】例題：（2023·廣東梅州·統考一模）計算：___________．【答案】【分析】根據負整數指數冪的運算法則及零指數冪的運算法則分別計算后，根據有理數加法運算法則求解即可得到答案．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查有理數的運算，涉及負整數指數冪的運算及零指數冪，熟記相關運算法則是解決問題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·浙江杭州·七年級期中）計算：________，________．【答案】【分析】根據零指數冪與負整數指數冪進行計算即可求解．【詳解】解：，，故答案為：，．【點睛】本題考查了零指數冪與負整數指數冪，熟練掌握零指數冪與負整數指數冪的運算法則是解題的關鍵．2．（2023·廣東佛山·佛山市華英學校校考三模）計算：____________．【答案】【分析】根據負整指數冪和零指數冪求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了負整指數冪和零指數冪，正確的計算是解決本題的關鍵．3．（2023春·浙江杭州·七年級期中）已知，那么a，b，c之間的大小關系是__________（請用“<”表示）．【答案】【分析】根據有理數的乘方，負整數指數冪，零次冪分別計算求得的值，進而比較大小即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了負整數指數冪，零指數冪，正確的計算是解題的關鍵．【題型九用科學計數法表示絕對值小于1的數】例題：（2023春·陜西西安·七年級校考階段練習）2023年1月8日起，國家對新冠病毒感染實施“乙類乙管”，已經知新冠病毒的直徑是，這個數據用科學記數法可表示為____________m．【答案】【分析】用科學記數法表示絕對值小于1的數，將原數化為的形式，其中，n為整數，n的值等于把原數變為a時小數點移動的位數．【詳解】解：用科學記數法表示為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了用科學記數法表示絕對值小于1的數，解題的關鍵是掌握用科學記數法表示絕對值小于1的數的方法：將原數化為的形式，其中，n為整數，n的值等于把原數變為a時小數點移動的位數．【變式訓練】1．（2023·河南駐馬店·統考三模）維生素A是人體內不可缺少的微量元素，成年女性每天維生素A的攝入量約為．質量單位是微克的符號，單位轉換，，數據“”用科學記數法可表示為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據，，可得，據此把數據“”化成以為單位的量，并用科學記數法表示即可．【詳解】解：，，，，．故選：C．【點睛】此題主要考查了用科學記數法表示較大的數，一般形式為，其中，確定與的值是解題的關鍵．2．（2023·江蘇泰州·統考三模）近年來，我國研發的北斗芯片實現了22納米制程的突破，22納米等于0.000000022米．用科學記數法表示0.000000022是_________．【答案】【分析】用科學記數法表示較小的數，一般形式為，其中，為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了用科學記數法表示較小的數，掌握形式為，其中是關鍵．3．（2023春·廣東清遠·七年級校聯考期中）某顆粒物的直徑是，把用科學記數法表示為______．【答案】【分析】根據科學記數法的記數方法，寫成其中，故得到答案．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了科學記數法知識，其中注意整數位數不要數錯是本題的解題關鍵．【題型十整數指數冪的運算】例題：（2023春·七年級課時練習）計算：(1)(2)【答案】(1)12(2)【分析】（1）根據乘方運算法則，零指數冪和負整數指數冪運算法則進行計算即可；（2）根據整式混合運算法則進行計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了實數的混合運算，整式的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握乘方運算法則，零指數冪和負整數指數冪運算法則，整式混合運算法則，準確計算．【變式訓練】1．（2023春·全國·七年級專題練習）計算：（1）；（2）.【答案】（1）-1；（2）2x6【分析】（1）原式利用零指數冪、負整數指數冪法則，絕對值的代數意義，以及乘方的意義計算即可求出值；（2）原式利用冪的乘方與積的乘方運算法則，同底數冪的乘除法則計算，合并即可得到結果．【詳解】解：（1）原式=2+1-3-1=-1；（2）原式=x6+4x6-3x6=2x6．【點睛】此題考查了整式的除法，以及有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．2．（2023春·山東泰安·六年級東平縣實驗中學校考階段練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】（1）根據同底數冪的乘法，積的乘方進行計算，然后合并同類項即可求解；（2）根據冪的乘方，積的乘方進行計算，然后根據同底數冪的除法進行計算即可求解；（3）根據冪的乘方，積的乘方進行計算即可求解；（4）根據負整數指數冪，零次冪進行計算即可求解；（5）根據同底數冪的乘法進行計算即可求解；（6）根據積的乘方，單項式乘以單項式，同底數冪的除法進行計算即可求解；（7）根據負整數指數冪，零次冪，有理數的乘方進行計算即可求解；（8）根據零次冪，負整數指數冪，逆用積的乘方進行計算即可求解．【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【點睛】本題考查了冪的混合運算，負整數指數冪，零次冪，掌握冪的運算法則是解題的關鍵．【題型十一分式加減乘除混合運算】例題：（2023·河南漯河·統考二模）化簡：．【答案】【分析】先通分括號內的式子，然后計算括號外的除法，然后約分即可．【詳解】解：【點睛】本題考查分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·湖北襄陽·統考二模）化簡：【答案】【分析】根據分式混合運算法則及運算順序直接求解即可得到答案．【詳解】解：．【點睛】本題考查分式混合運算，涉及到因式分解、通分、約分及運算順序，熟記相關運算法則及運算順序是解決問題的關鍵．2．（2023·四川瀘州·統考中考真題）化簡：．【答案】【分析】先計算括號內的，通分后利用同分母的分式運算法則求解，然后將除法變成乘法，約分即可得到結果．【詳解】解：．【點睛】本題考查分式的化簡求值，掌握相關運算法則和運算順序是解決問題的關鍵．3．（2023春·河北保定·八年級保定十三中校考階段練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先計算括號內的部分，將除法轉化為乘法，再約分計算；（2）先計算括號內的部分，將除法轉化為乘法，再約分計算．【詳解】（1）解：；（2）．【點睛】本題主要考查分式的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．【題型十二分式化簡求值】例題：（2023·湖南益陽·統考二模）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】根據分式混合運算法則進行化簡，然后再代入數據求值即可．【詳解】解：原式，當時，原式．【點睛】本題主要考查了分式化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握分式混合運算法則，準確計算．【變式訓練】1．（2023·山東菏澤·統考三模）先化簡，再求值：其中滿足方程．【答案】，【分析】運用乘法公式，分式的性質對分式進行化簡，再變形得，，代入計算即可求解．【詳解】解：，∵，∴，∴原式．【點睛】本題主要考查分式的混合運算，掌握乘法公式與分式混合運算的綜合，方程的變形，代入求值等知識是解題的關鍵．2．（2023·遼寧錦州·統考一模）先化簡，再求值：，其中：【答案】；【分析】運用因式分解，約分等化簡，后代入求值即可．【詳解】解：；當時，．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握因式分解，約分等化簡技能是解題的關鍵．3．（2023春·陜西西安·八年級統考階段練習）先化簡：，若，請選取一個合適的整數作為x的值代入求值．【答案】，取，則原式．【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，將合適的的值代入計算即可求出值．【詳解】解：原式，，，，0，2，若取，則原式．【點睛】此題考查了分式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握運算法則．4．（2023·四川廣安·統考中考真題）先化簡，再從不等式中選擇一個適當的整數，代入求值．【答案】，選擇，式子的值為（或選擇，式子的值為1）【分析】先計算括號內的分式減法，再計算分式的除法，然后根據分式有意義的條件選擇適當的的值，代入計算即可得．【詳解】解：原式，，，，，，且為整數，選擇代入得：原式，選擇代入得：原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的運算法則是解題關鍵．5．（2023·湖南懷化·統考中考真題）先化簡，再從，0，1，2中選擇一個適當的數作為a的值代入求值．【答案】，當時，原式為；當時，原式為．【分析】本題先對要求的式子進行化簡，再選取一個適當的數代入即可求出結果．【詳解】解：，當a取，1，2時分式沒有意義，所以或0，當時，原式；當時，原式．【點睛】本題考查分式的化簡求值，解題時要注意先對括號里邊進行通分，再約分化簡．6．（2023春·湖南長沙·九年級校聯考期中）先化簡，再求值：，其中a滿足．【答案】，0【分析】根據分式的四則混合運算法則化簡可得，然后將整體代入即可求解．【詳解】解：，，，，；∵，∴．【點睛】本題主要考查了分式的混合運算、代數式求值等知識點，掌握整體的方法是解答本題的關鍵．【題型十三解分式方程】例題：（2023春·廣東清遠·八年級校考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)無解【分析】（1）方程兩邊同乘以化為整式方程求解；（2）方程兩邊同乘以化為整式方程求解．【詳解】（1）去分母得：，解得：，經檢驗是分式方程的解；（2）去分母得：，解得：，經檢驗是增根，分式方程無解．【點睛】本題主要考查分式方程的解法，解題的關鍵是找準最簡公分母，將原分式方程化為整式方程，并且注意要檢驗方程的解．【變式訓練】1．（2023春·河北保定·八年級保定十三中校考階段練習）解方程(1)；(2)．【答案】(1)無解(2)【分析】（1）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經檢驗即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】（1）解：，去分母得：，解得：，檢驗：把代入得：，是增根，分式方程無解；（2），去分母得：，解得：，檢驗：把代入得：，分式方程的解為．【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．2．（2023·四川攀枝花·校考一模）解方程：(1);(2)．【答案】(1)是原分式方程的解(2)原分式方程無解【分析】（1）根據解分式方程的方法解方程即可，注意要檢驗；（2）根據解分式方程的方法解方程即可，注意要檢驗．【詳解】（1）解：方式方程兩邊同時乘以，得，解得，當時，，所以原分式方程的解是；（2）解：原分式方程可化為，，兩邊同時乘以，得，解得，當時，，所以原分式方程無解．【點睛】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟正確計算是解題的關鍵．3．（2023春·浙江·七年級專題練習）解分式方程：(1)(2)【答案】(1)(2)方程無解【分析】（1）先變形，再去分母化成一元一次方程，解方程即可求解；（2）先變形，再去分母化成一元一次方程，解方程即可求解．【詳解】（1）原方程變形為，方程兩邊同乘以，得，解得，經檢驗：是原方程的解，∴原方程的解是；（2）原方程變形為，方程兩邊同乘以最簡公分母，得，解得．經檢驗：是原方程的增根，∴不是原方程的解，應舍去，∴原方程無解．【點睛】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法，并注意要檢驗是解題的關鍵．4．（2023春·浙江·七年級專題練習）解方程(1)；(2)．【答案】(1)(2)方程無解【分析】（1）方程兩邊同乘去分母，再按照整式方程的解法進行求解即可；（2）方程兩邊同乘，去分母，再按照整式方程的解法進行求解即可．【詳解】（1）解：方程兩邊同乘，得：，解得．檢驗：把代入，故原方程的解為：；（2）解：方程兩邊同乘，得：，解得．檢驗：把代入，所以是原方程的增根，故原方程無解．【點睛】本題主要考查了解分式方程，解題的關鍵是熟練掌握解分式方程的方法和步驟，正確找出最簡公分母．5．（2023春·全國·八年級專題練習）解下列分式方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)無解(2)(3)(4)【分析】各分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】（1）方程兩邊同乘，得，解得，經檢驗，是原方程的增根，原方程無解；（2）方程兩邊同乘，得，解得，經檢驗，當時，，所以原方程的解為；（3）原方程可化為，去分母，得，解得，經檢驗，是原方程的解；（4）原方程可化為，去分母，得，解得，經檢驗，是原方程的解．【點睛】本題主要考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．【題型十四分式方程的實際應用】例題：（2023·吉林白山·校聯考三模）第5代移動通信技術簡稱5G，某地已開通5G業務，經測試5G下載速度是4G下載速度的16倍，小明和小強分別用5G與4G下載一部960兆的公益片，小明比小強所用的時間快150秒，求該地4G與5G的下載速度分別是每秒多少兆？【答案】該地4G的下載速度是每秒6兆，則該地5G的下載速度是每秒96兆【分析】首先設該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒兆，根據題意可得等量關系：4G下載960兆所用時間-5G下載960兆所用時間秒．然后根據等量關系，列出分式方程，再解即可．【詳解】解：設該地4G的下載速度是每秒x兆，則該地5G的下載速度是每秒兆，由題意得：，解得：，經檢驗：是原分式方程的解，且符合題意，則，答：該地4G的下載速度是每秒6兆，則該地5G的下載速度是每秒96兆．【點睛】本題主要考查的是分式方程的應用；解答此題，首先確定5G與4G下載的速度關系，再根據題意找出下載960兆的公益片所用時間的等量關系．【變式訓練】1．（2023·湖南岳陽·統考中考真題）水碧萬物生，岳陽龍蝦好．小龍蝦產業已經成為岳陽鄉村振興的“閃亮名片”．已知翠翠家去年龍蝦的總產量是，今年龍蝦的總產量是，且去年與今年的養殖面積相同，平均畝產量去年比今年少，求今年龍蝦的平均畝產量．【答案】今年龍蝦的平均畝產量．【分析】設今年龍蝦的平均畝產量是x，則去年龍蝦的平均畝產量是，根據去年與今年的養殖面積相同列出分式方程，解方程并檢驗即可．【詳解】解：設今年龍蝦的平均畝產量是x，則去年龍蝦的平均畝產量是，由題意得，，解得，經檢驗，是分式方程的解且符合題意，答：今年龍蝦的平均畝產量．【點睛】此題考查了分式方程的實際應用，讀懂題意，正確列出方程是解題的關鍵．2．（2023春·廣東佛山·八年級校考階段練習）2023年5月，江西省突發港澇災?，為響應政府救援號召，甲、乙兩公司組織全體員工參與“眾志成城，人間大愛”捐款活動，甲公司共?款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙兩公司員工的一段對話：

(1)甲、乙兩公司各有多少人？(2)現甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購買、兩種防疫物資，種防疫物資每箱15000元，種防疫物資每箱12000元．若購買種防疫物資不少于10箱，并恰好將捐款用完，有幾種購買方案？（注：、兩種防疫物資均需購買，并按整箱配送）．【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有180人(2)有2種購買方案：購買8箱種防疫物資、10箱種防疫物資，或購買4箱種防疫物資、15箱種防疫物資【分析】（1）設乙公司有x人，則甲公司有人，根據對話，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；（2）（2）設購買種防疫物資箱，購買種防疫物資箱，根據甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元．列出方程，求解出，根據整數解，約束出m、n的值，即可得出方案．【詳解】（1）解：設乙公司有人，則甲公司有人，由題意得，解得．經檢驗，是原方程的解．∴．答：甲公司有150人，乙公司有180人．（2）解：設購買種防疫物資箱，購買種防疫物資箱，由題意得，整理得．又因為，且、為正整數，所以，．答：有2種購買方案：購買8箱種防疫物資、10箱種防疫物資，或購買4箱種防疫物資、15箱種防疫物資．【點睛】本題考