教學設計《利用函數性質判定方程解的存在》郭斌一、教學內容分析此節內容為北師大版本必修1的第四章《函數應用》第一課時4.1.1利用函數性質判定方程解的存在。函數是高中的起始課程，函數的重要性有兩方面，一是函數的思想價值，二是函數應用的價值。本節內容就是函數應用價值的體現，利用函數和其他數學知識的有機聯系，從函數特征判定方程解的存在性。二、學生情況分析學生已學習了函數的圖像和性質，因此本節內容從學生熟悉的二次函數入手，研究學習判定方程解存在的方法。這樣，從特殊到一般的學習方法，學生容易掌握理解。三、設計思想讓學生感識常見的數學思想中體現出的數學樂趣，學會從特殊到一般的歸納、總結的過程。四、教學方法啟發誘導五、教具多媒體課件六、教學目標讓學生明確“方程的解”與“函數的零點”之間的密切關系，掌握利用函數圖像性質判斷方程解的存在性。通過本節學習讓學生感識“數形結合”，“特殊到一般”的數學思想。本節內容的學習，進一步拓展了學生的視野，使他們體會到數學當中不同內容之間的內在聯系。七、教學重點難點重點：零點的理解；利用函數性質判定方程解的存在性。難點：數形結合思想的合理應用。八、教學過程設計導入：觀察函數的圖像（利用多媒體展示下圖）師：引導學生觀察分析此時，f(-2)>0,f(1)<0,f(4)>0.則f(-2)f(1)<0,那么方程在（-2,1)內有解。同理,f(1)f(4)<0,方程在（1,4）內有解。分析：2.講授新知識：師：引導學生歸納零點定義一般的，對于函數y=f(x)，我們把使f(x)=0的實數x叫作方程的零點。注：零點是一個實數。師（提問）：怎樣判斷函數有零點？歸納總結：若函數y=f(x)滿足以下條件：2.講授新知識：師：引導學生歸納零點定義一般的，對于函數y=f(x)，我們把使f(x)=0的實數x叫作方程的零點。注：零點是一個實數。師（提問）：怎樣判斷函數有零點？歸納總結：若函數y=f(x)滿足以下條件：（1）f(x1)f(x2)<0;（2）函數y=f(x)的圖像在[x1,x2]上連續;則方程f(x)=0在(x1,x2)上有解.注：①滿足以上兩個條件則函數就有零點，兩條件必須同時滿足。例如：，f(-1)f(2)<0，可方程無解，因為函數圖象不連續。②函數有零點則方程一定有解。學：判斷函數是否有零點，方程是否有解。（討論結果，代表發言）③此方法只能判定有解，而不能判定解的個數。④以上條件若不成立，不能說明方程無解。⑤函數圖像若在此區間內單調且有零點，則方程在此區間內只有一解。（以上五個結論利用多媒體展示完成）小結：函數圖像從x軸上方到下方或從x軸下方到上方都會穿過x軸，即圖像連續且有使函數值為零的點的橫坐標，那么對應方程一定有解。可利用函數值判定方程根的存在。③以上條件若不成立，不能判定方程無解。例如：x2=0有解，可f(-1)f(1)=(-1)2×12=1+1=2>0④只能判定有解而不能判定解的個數。⑤若函數圖象在此區間內單調且有零點，則方程在此區間內有且只有一個解。（以上結論用多媒體展示推導過程）3.例題講解：例1判定方程x3+2x+1=0在[-2,3]上是否有解。學：獨立完成此題。師：板書解題過程。分析：利用上述結論。解：因為f(-2)=(-2)3+2×(-2)+1=-11<0f(3)=33+2×3+1=34>0則f(-2)f(3)<0又因為函數f(x)=x3+2x+1的圖像在[-2,3]上連續，所以，方程x3+2x+1=0在[-2,3]上有解。小結：①滿足兩個條件則可判定有解。②一般地，若給定區間為函數定義域的子區間，則函數圖像在此區間上連續。例2判斷方程是否有解。學：完成方法一。師：引導學生完成方法二及方法三。方法一：經試算f(0.1)=1-<0,f(100)=2->0,且函數f(x)=的圖像在[0.1,100]上連續，所以方程在（0.1,100）上有解。y方法二：畫出函數f(x)=的圖像如下：（畫圖過程利用多媒體展示）yxx從圖可得：方程有兩個解，即為圖中交點的橫坐標。方法三：題中方程可變形為則可得到兩個函數y=及y=可畫出兩個函數圖象如下：Y=Y=xyY=Y=xy01從圖可得：方程在(0,1)和(1,+∞)上各有一解。小結：①函數圖象與x軸交點的橫坐標叫做函數的零點，即函數的零點為對應方程的解。②利用函數圖像判斷方程的解更加直觀。③數形結合思想的應用④發散思維一題多解。4.課堂練習：（多媒體展示）①斷方程x3-x=0在[-2，2]上是否有解。學：課堂內獨立完成。師：講解評價，鼓勵學生一題多解，代數法，幾何法。②斷方程x3+x=0在（-∞，0）上是否有解。師：引導啟發，類比例二。學：思考交流后完成。③用函數增長的快慢判斷方程x3=2x是否有解。師：思考題，引導學生一起完成。學：回顧冪函數，指數函數增長快慢的性質。設計以上練習題的意圖：繼續鞏固例題中講解的判定方程解存在性的方法；一題多解，開闊思路；從函數值，函數圖象兩大方面方法進行練習，使學生體會數形結合的優勢；代數法、何法的合理應用；感受數學知識的內在聯系。5.課堂小結：（師生共同完成，并用多媒體展示）①理解零點與方程解的關系。②利用函數性質判定方程解的存在，例如，利用函數值、像等。③要求熟練掌握利用函數值判定解存在的方法。④理解數形結合思想在判定方程解存在中的應用。6.布置作業：判定下列方程在給定區間上是否有解：⑴x5+3x+1=0,x∈[-1,1];⑵,x∈[-1,1];⑶,x∈[-,].九、課堂反思本節課的內容容量偏大，雖