2.5.2圓與圓的位置關系教學設計教學目標掌握圓與圓的位置關系及判定方法，培養數學抽象的核心素養能根據圓的方程判斷圓與圓的位置關系，培養數學運算的核心素養能綜合應用圓與圓的位置關系解決問題，培養邏輯推理的核心素養教學重難點重點：能根據圓的方程判斷圓與圓的位置關系，培養數學運算的核心素養．難點：能綜合應用圓與圓的位置關系解決問題，培養邏輯推理的核心素養學情分析與教材分析學情分析：本節課之前學生也已經學習了點與圓、直線與圓的位置關系的判斷，掌握了根據圖像特征得出判斷點與圓、直線與圓位置關系的方法，因此本課的內容對于學生來說，有比較厚實的基礎，從這個角度說，新課的引入會比較容易和順暢。教材分析：本節課選自《2019人教A版高中數學選擇性必修第一冊》第二章《直線和圓的方程》，本節課主要學習圓與圓的位置關系。本節課是《人教A版必修二》的第四章第二節，這是一堂關于圓與圓位置關系判斷的新授課。在本節課之前，學生已經學習了圓的方程、直線與圓位置關系的判斷及簡單應用。課本及教參的處理仍停留在學生初中已經學習了圓與圓位置關系的幾何判斷，所以并沒有給出圓與圓位置關系的分類及運用圓心距與兩圓半徑和或差的大小來判斷兩圓位置關系，而事實上，現在的學生初中已經不再學習圓與圓的位置關系了，這就給本節課增大了些容量。隨著直線方程、圓的方程的學習，本節課也相應地要將圓與圓的位置關系聯系到圓的方程。用代數方法來解決幾何問題是解析幾何的精髓，是平面幾何問題的深化，它將是以后處理圓錐曲線的常用方法，因此，增加了用代數方法來分析圓與圓的位置關系，這樣有利于培養學生數形結合、經歷幾何問題代數化等解析幾何思想方法及辯證思維能力，其基本思想方法和解決問題的技巧對今后整個圓錐曲線的學習有著非常重要的意義。本節課的重點是研究兩圓位置關系的判斷方法，并應用這些方法解決有關的實際問題。根據學生的基礎，學習的自覺性和主動性，自主學習和探究學習能力，從而本節課從學生學習的角度來看不會存在太多的障礙。教學過程創設情境，引入新知教師：日食是一種天文現象，在民間稱此現象為天狗食日。日食只在月球與太陽呈現合的狀態時發生。日食分為日偏食、日全食、日環食、全環食。我們將月亮與太陽抽象為圓，觀察到的這些圓在變化的過程中位置關系是怎樣的?前面我們運用直線的方程，圓的方程研究了直線與圓的位置關系，現在我們類比上述研究方法，運用圓的方程，通過定量計算研究圓與圓的位置關系。新課探究思考：類比直線與圓的位置關系，請同學們思考：圓與圓有哪幾種位置關系？學生：學生回顧已學，得到兩圓位置關系，相離，外切，相交，內切，內含.預設：兩個圓之間存在以下三種位置關系：(1)兩圓相交，有兩個公共點；(2)兩圓相切，包括外切與內切，只有一個公共點；(3)兩圓相離，包括外離與內含，沒有公共點．設計意圖：通過具體的情景，幫助學生回顧初中幾何中已學的圓與圓的位置關系.探究：如何利用兩圓的半徑和圓心距的關系判定圓與圓的位置關系？師生：共同分析：可以類比運用直線和圓的方程，研究直線與圓的位置關系的方法，探究圓與圓的位置關系師生活動：（1）學生回顧初中所學圓與圓的位置關系的判定方法，類比直線與圓的位置關系的判定方法，自主歸納圓與圓的位置關系的判定方法.（2）教師巡視全班并展示部分學生的做法：預設：圓,圓,兩圓的圓心距,則有位置關系外離外切相交內切內含圖示d與r1，r2的關系探究：類比直線與圓的位置關系的判斷，是否可以用代數法判斷呢？又如何利用代數法判斷兩圓的位置關系呢？預設：代數法:圓,圓,兩圓的方程聯立得方程組,則有方程組解的情況2組1組0組兩圓的公共點2個1個0個兩圓的位置關系相交外切或內切外離或內含設計意圖：類比直線與圓的位置關系的研究圓與圓的位置關系.應用新知例5已知圓，圓，試判斷圓與圓的位置關系．學生：思考并與同桌交流，共同得出答案，做好分享準備.師生：共同分析：思路1：圓與圓的位置關系由它們有幾個公共點確定，而它們有幾個公共點又由它們的方程所組成的方程組有幾組實數解確定；思路2：借助圖形，可以依據連心線的長與兩半徑的和或兩半徑的差的絕對值的大小關系，判斷兩圓的位置關系．預設：解法1：將圓與圓的方程聯立，得到方程組，得③由③，得．把上式代入①，并整理，得④方程④的根的判別式，所以，方程④有兩個不相等的實數根，．把，分別代入方程③，得到，．因此圓與圓有兩個公共點，，這兩個圓相交．解法2：把圓的方程化成標準方程，得，圓的圓心是，半徑．把圓的方程化成標準方程，得，圓的圓心是，半徑，圓與圓的連心線的長為．圓與圓的兩半徑之和，兩半徑長之差．因為，即，所以圓與圓相交（圖2.56），它們有兩個公共點，．思考：畫出圓與圓以及方程③表示的直線，你發現了什么？你能說明為什么嗎？QUOTE學生：回顧解題過程，并總結答案預設：當兩圓相交時，兩圓方程相減，所得二元一次方程是兩圓公共弦所在直線的方程。師生總結：求兩相交圓的公共弦所在直線方程方法：將兩圓的方程相減，消去x2與y思考：為什么不需要把圓與圓的兩個公共點，的具體坐標求出來？學生：思考、交流、討論，體會設而不求的重要數學思想；預設：本題只要判斷圓與圓是否有公共點，并不需要求出公共點的坐標，因此不必解方程④，具體求出兩個實數根．思考：在解法1中，如果兩圓方程聯立消元后得到的方程的，它說明什么?你能據此確定兩圓是內切還是外切嗎?如何判斷兩圓是內切還是外切呢?當時，兩圓是什么位置關系?學生：與同桌討論和思考，嘗試著得出答案.預設：當時，它說明兩個圓只有一個公共點，兩圓相切但無法確定是內切，還是外切；當時，它說明兩個圓沒有公共點，兩個圓相離，但無法確定是外離，還是內含.追問：如何判斷兩圓是內切還是外切（是外離還是內含）？學生：幾何法跟蹤練習：（1）代數法判斷圓與圓的位置關系，若有公共點，求出公共點的坐標．師生：學生自主完成練習，教師巡視學生做題情況，并選擇典型解答，分享答案；預設：依題意，聯立方程組，將兩方程相減并化簡得，把代入第一個方程得到，解得，，從而，．所以圓與相交于兩點與．（2）幾何法判斷圓與圓的位置關系，若相交，求出公共弦所在直線的方程．師生：學生自主完成練習，教師巡視學生做題情況，并選擇典型解答，分享答案；預設：圓，即，所以，圓，即，所以，則，所以，即圓與圓相交.兩圓的方程相減得：，即所以公共弦所在直線的方程為例6已知圓的直徑，動點與點的距離是它與點的距離的倍．試探究點的軌跡，并判斷該軌跡與圓的位置關系．師生：共同分析：我們可以通過建立適當的平面直角坐標系，求得滿足條件的動點M的軌跡方程，從而得到點M的軌跡；通過研究它的軌跡方程與圓O方程的關系，判斷這個軌跡與圓O的位置關系．師生：給出題目后，教師通過以下問題引導學生思考：（1）如何建立平面直角坐標系？有哪些幾何對象需要用坐標表示？（2）問題中的幾何對象之間有哪些關系，如何用坐標進行表示？（3）說說你對動點M的軌跡及軌跡方程的理解？預設：如圖2.57，以線段的中點為原點，所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系．由，得，．設點的坐標為，由，得，化簡，得，即．所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的一個圓（圖2.57)．因為兩圓的圓心距為，兩圓的半徑分別為，，又QUOTE??1???2<????<??1+思考：如果把本例中的“倍”改為“倍”，你能分析并解決這個問題嗎？學生：思考、討論、交流，分析出答案；預設：由例6同理可得，點M的軌跡方程可化為：當時，方程化為：其軌跡為以為圓心，為半徑的圓，與圓相交；能力提升題型一：求兩圓相交時的公共弦長例題1（1）求圓與圓的公共弦長．預設：依題意，聯立方程組，將兩方程相減并化簡得，把代入第一個方程得到，解得，，從而，．所以圓與相交于兩點與,所以圓與的公共弦長為.方法總結：代數法求公共弦長聯立兩圓方程，解方程組，得出兩交點的坐標，然后利用兩點間的距離公式即可求得公共弦長.（2）求圓與圓的公共弦長.預設：變形為，圓心為，半徑為，與相減得到公共弦所在直線方程，即，整理得：，圓心到直線的距離為，故公共弦長為.方法總結：幾何法求公共弦長先利用兩圓方程作差求出公共弦所在直線的方程，然后轉化為求直線被圓截的弦長，經典直角三角形法.跟蹤練習：求圓：及圓：的公共弦長.方法一：依題意，聯立方程組，將兩方程相減并化簡得，把代入第一個方程得到，解得，，從而，，．所以圓與相交于兩點與,所以圓與的公共弦長為.方法二：由題意圓：，即圓：，它的圓心、半徑分別為，圓：及圓：的方程相減得，公共弦所在直線方程為：.而圓心到直線的距離為，且，所以兩圓的公共弦長為.題型二：公切線條數問題例題2（1）已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，則4a2＋b2＝．預設：因為兩圓只有一條公切線，所以兩圓位置關系為內切，圓C1：(x＋2a)2＋y2＝4，圓C2：x2＋(y－b)2＝1，|C1C2|＝.所以|C1C2|＝2－1＝1，所以4a2＋b2＝1.（2）已知圓C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圓C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，則兩圓的公切線條數是．預設：圓的圓心坐標為，半徑為2，圓的圓心坐標為，半徑為3，則兩圓的圓心距為，兩圓外切兩圓公切線的條數為3條．方法總結:兩圓的公切線包括外公切線和內公切線兩種．(1)兩圓外離時，有2條外公切線和2條內公切線，共4條；(2)兩圓外切時，有2條外公切線和1條內公切線，共3條；(3)兩圓相交時，只有2條外公切線；(4)兩圓內切時，只有1條外公切線；(5)兩圓內含時，無公切線．由圓與圓的位置關系，可以確定公切線的條數，由公切線的條數，可以判斷圓與圓的位置關系。題型三：根據圓與圓的位置關系求參數范圍例題3已知圓，圓．試求為何值時，兩圓：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內含．預設：（1）由圓方程知：圓心，半徑；由圓方程知：圓心，半徑；若兩圓內切，則，即，又，；若兩圓外切，則，即，又，；若兩圓相切，則或.（2）若兩圓相交，則，即，又，，即當時，兩圓相交.（3）若兩圓外離，則，即

，又，，即當時，兩圓外離.（4）若兩圓內含，則，即，又，，即當時，兩圓內含.方法總結：根據兩圓方程可確定圓心和半徑，根據兩圓位置關系可得圓心距和兩圓半徑之間的關系（幾何法），由此可構造方程或不等式求得結果.課堂小結隨堂限時小練1．圓與圓的交點坐標為（

）A．和B．和C．和 D．和【詳解】由,可得，即，代入，解得或，故得或,所以兩圓的交點坐標為和,故選:C2．判斷下列兩個圓的位置關系：(1)；(2)．【詳解】（1）由方程可知圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，因此兩圓的圓心距，又因為，所以，故兩個圓相交．（2）將兩圓的方程化為標準方程，分別為，，由此可知圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，因此兩圓的圓心距，又因為，所以，所以兩圓內切．3．已知圓與圓.(1)求證：圓與圓相交；(2)求兩圓公共弦所在直線的方程.【詳解】（1）將圓：化為標準方程為，，，圓的圓心坐標為，半徑為，，，兩圓相交；（2）由圓與圓，將兩圓方程相減，可得，即兩圓公共弦所在直線的方程為.4．已知圓：與圓：，若兩圓相交于A，B兩點，則【詳解】圓的方程為，即①，又圓：②，②－①可得兩圓公共弦所在的直線方程為圓的圓心到直線的距離，所以．故答案為:.5．已知圓，圓，兩圓公切線的條數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【詳解】圓，圓心，半徑，圓，圓心，半徑，圓心距，，所以兩圓相外切，公切線條數是3條.故選：C6．已知圓，圓，若圓與圓有公共點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【詳解】圓的方程可化為，則圓心為，半徑；圓的方程可化為，則圓心為，半徑.圓與圓有公共點，，，解得.故選：C課后作業布置作業1：完成教材：第98頁練習1,2,3作業2：配套輔導資料對應的《圓與圓的位置關系》課后作業答案教科書習題2.5第98頁第7，8，10題.練習（第98頁）1．已知圓，圓，判斷圓與圓的位置關系．1．解：圓的圓心坐標為，半徑；圓的標準方程為，圓心坐標為，半徑．因為，，所以，所以圓與圓外切．2．已知圓，圓，證明圓與圓相交，并求圓與圓的公共弦所在直線的方程．2．證明：聯立兩圓的方程QUOTE，得，，即．把代入，得．因為根的判別式，所以方程有兩個實數根．因此圓與圓相交．由前面的解法可知，圓與圓的公共弦所在直線的方程為．習題2.5（第98頁）1．判斷直線與圓的位置關系．如果有公共點，求出公共點的坐標．1．解：（方法1）因為圓心到直線的距離，圓的半徑長是10，所以直線與圓相切．圓心與切點連線所在直線的方程為．解方程組，得，因此，切點坐標是．（方法2）聯立得方程組，消去，得，解得，所以，所以直線與圓有且只有一個公共點，所以直線與圓相切．2．求下列條件確定的圓的方程，并畫出它們的圖形：（1）圓心為，且與直線相切；（2）圓心在直線上，半徑為2，且與直線相切；（3）半徑為，且與直線相切于點．2．解（1）因為圓與直線QUOTE相切，所以圓心QUOTE到直線的距離即為圓的半徑，即QUOTE，所以圓心為，且與直線QUOTE相切的圓的方程是．（2）因為圓心在直線上，所以可設圓心坐標為．因為圓的半徑為2，且與直線相切，所以，解得或．所以圓心坐標為或．所以圓的方程為或．（3）設圓心坐標為，則圓心與點的連線垂直于直線，且圓心到直線QUOTE的距離等于半徑，所以QUOTE，即QUOTE，解得，，或，．所以圓的方程為或．3．求直線被圓截得的弦的長．3．解（方法1）設直線與圓相交于，．把直線的方程與圓的方程聯立，消去，得．根據一元二次方程根與系數的關系，有，．直線被圓截得弦長的長為（方法2）把圓的方程配方化成標準形式，得．圓心的坐標是，半徑．圓心到直線的距離QUOTE，所以QUOTE．4．求圓心在直線上，與x軸相切，且被直線截得的弦長為的圓的方程．4．解題提示：（1）圓心在直線上，其坐標滿足方程；（2）圓與x軸相切，其半徑為圓心縱坐標的絕對值；（3）給定弦長，利用公式．解：設所求圓的方程為，圓心到直線的距離，依題意，有，解此方程組，得，，或，，QUOTE．所以，所求圓的方程有兩個，它們分別是或QUOTE．5．求與圓關于直線對稱的圓的方程．5．解題提示：求解圓關于已知直線對稱的圓的方程時要注意：（1）圓的半徑不變；（2）兩圓心關于已知直線對稱．解：把圓C的方程化成標準形式，得，圓心坐標是．設與圓心關于直線對稱的點的坐標是，則有，解此方程組，得，．所以與圓關于直線對稱的圓的方程是．6．正方形的邊長為，在邊上取線段，在邊的延長線上取．試證明：直線與的交點位于正方形的外接圓上．6．解：以正方形的中心為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則由題意知，，，．所以，．所以直線的方程為，即．直線的方程為QUOTE，即．由QUOTE，解得，，即點的坐標為．（方法1）因為正方形的外接圓圓心為原點，半徑為，且，所以點在正方形的外接圓上．（方法2）因為正方形的外接圓方程為，且，即點的坐標滿足圓的方程，所以點在正方形的外接圓上．（方法3）易知點的坐標為，所以，所以QUOTE，所以，點在以為直徑的圓上，即點在正方形的外接圓上．7．求經過點以及圓與交點的圓的方程．7．解：（方法1）如圖．聯立方程組QUOTE，解此方程組得，或，．即兩圓交點為QUOTE或QUOTE．故線段的中點坐標是，直線的斜率．所以線段的垂直平分線的方程是．又線段的垂直平分線的方程是（x軸）．設兩垂直平分線的交點為．把代入，得，所以圓心的坐標是，半徑．所以所求圓的方程為，即QUOTE．（方法2）設經過圓與交點的圓的方程為QUOTE①．把點的坐標代入①式，得，解方程，得．把QUOTE代入方程①并化簡得．所以經過點以及圓QUOTE與圓QUOTE的交點的圓的方程為QUOTE．8．求圓心在直線上，并且經過圓與圓的交點的圓的方程．8．解：（方法1）如圖，設圓和圓相交于點，．解方程組QUOTE，得，或．所以，．因此弦的垂直平分線的方程是．將與聯立，解得，QUOTE．設所求圓圓心為，則其坐標是．點與點的距離QUOTE．故所求圓的方程為，即．（方法2）設經過圓QUOTE和圓交點的圓的方程為QUOTE，即．其圓心坐標是．因為圓心在直線上，所以有，解得．所以所求圓的方程為QUOTE，即．9．求圓與圓QUOTE??2+??2?4??+4???12=0的公共弦的長．9．解：（方法1）由方程與，消去二次項，得．把代入，得QUOTE，解得，．于是有，．所以兩圓交點坐標是，，公共弦長為．（方法2）由方程與消去二次項，得QUOTE．圓心到直線的距離．如圖．過點作弦的垂線，垂足是．因為圓心為的圓的半徑是2，所以．在中，QUOTE，所以兩圓公共弦長為．10．求經過點，且與圓相切于點的圓的方程．10．解：如圖，把圓的方程化成標準形式，得，圓心坐標為，半徑為，直線的方程為，弦的中點坐標是，直線的斜率是．所以線段的垂直平分線的方程是，即．設該垂直平分線與直線交于點，聯立與，解得，．這就是所求圓的圓心的坐標，又因為，所以經過點，且與圓相切的于點的圓的方程是．11．如圖，某臺機器的三個齒輪，與嚙合，與也嚙合．若輪的直徑為200cm，輪的直徑為120cm，輪的直徑為250cm，且．試建立適當的坐標系，用坐標法求出，兩齒輪的中心距離（精確到1cm)．11．解：以為原點，直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系．由已知，得，．點在以點為圓心，以圓與圓的半徑和為半徑的圓上，方程為①．又點在直線上，①式與聯立，解得．所以點的坐標為，，兩齒輪中心距離QUOTE．12．已知，，三點，點在圓QUOTE??2+??2=4上運動，求QUOTE????2+????2+????2的最大值和最小值．12．解：如，設點的坐標是，則．注意到，上式化簡為，由可得，所以的最大值是88，最小值是72．13．已知圓，直線，為何值時，圓上恰有三個點到直線的距離都等于l?13．解：由已知，圓的半徑長是2．設在圓QUOTE上運動，圓心到直線的距離為，令，則．當時，與直線平行且距離等于1的直線是，．直線與圓QUOTE相切，切點到直線的距離是1；直線與圓相交，兩個交點與直線的距離是1．因此，當時，圓QUOTE上有3個點到直線的距離都是1．同理，當時，圓QUOTE上也有3個點到直線的距離都是1．綜上所述，當時，圓上恰好有3個點到直線的距離都等于1．14．如圖，圓內有一點，為過點且傾斜角為的弦．（1）當時，求的長。 （2）是否存在弦被點QUOTE??0平分？若存在，寫出直線的方程；若不存在，請說明理由。14．解：（1）當時，直線的斜率，直線的方程為，即．把代入，得，即，解此方程得．所以QUOTE．（2）存在弦被點平分，當弦被點平分時，．直線的斜率為．所以直線的斜率為．根據直線的點斜式方程，得直線的方程為，即．15．已知點和以點為圓心的圓．(1)畫出以為直徑，點為圓心的圓，再求出圓的方程；(2)設圓與圓QUOTE??'相交于，兩點，直線，是圓的切線嗎？為什么？(3)求直線的方程．15．解：如圖．（1）因為，是以為圓心的圓的直徑的兩個端點，所以以為圓心的圓的方程是，即．（2），是圓的切線．因為點，在圓上，且是直徑，所以，．所以，是圓的切線．（2）兩方程，相減，得，這就是直線的方程．復習參考題2（第102頁）1．選擇題（1）直線的一個方向向量是（）A．B．C．D．（2）設直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（）A．B．C．D．（3）與直線關于軸對稱的直線的方程為（）A．B．C．D．1．答案：（1）A（2）C（3）B解析：（1）因為直線方程為，所以該直線的一個方向向量為，故選A．（2）已知直線的方程為0，設直線的傾斜角為，當時，直線的傾斜角為，當時，，所以，所以直線的傾斜角的范圍為，故選C．（3）因為點關于軸的對稱點為，所以直線關于軸的對稱直線為．故選B．2．已知下列各組中的兩個方程表示的直線平行，求的值：(1)，；(2)，；(3)，．2．解析：(1)，即為，當時，與直線平行．(2)當時，兩直線的方程分別為和，平行；當時，的斜率，的斜率，令，得，解得．綜上可得，或．(3)當時，兩直線方程分別為和，兩直線不平行，所以；當時，的斜率，的斜率，令，解得或，經檢驗，當時，兩直線重合不符合題意，當時，兩直線方程分別為和，平行．綜上，的值為1．3．已知下列各組中的兩個方程表示的直線垂直，求的值：(1)，；(2)，；(3)，．3．解析：（1）直線的斜率，直線的斜率，由得，解得．（2）當時，兩直線的方程分別為和，互相垂直；當時，直線的斜率，直線的斜率，由知，時，兩直線不垂直．綜上可知，．（3）若兩直線垂直，則，解得或．4．求平行于直線,且與它的距離為的直線的方程．4．解析：設所求直線的方程為，則直線與直線間的距離，由題意得，解得或．因此，與直線平行，且與它的距離為的直線方程是或．5．已知平行四邊形的兩條邊所在直線的方程分別是，,且它的對角線的交點是，求這個平行四邊形其他兩邊所在直線的方程．5．解析：由，解得，∴平行四邊形的一個頂點坐標為．設對角線的另一個端點為，由中點坐標公式得，解得，∴頂點．由平行四邊形的對邊平行知，其他兩邊所在直線的斜率，，∴這個平行四邊形其他兩邊所在直線的方程分別為，．整理得，．6．求下列各圓的方程：（1）圓心為，且過點；（2）過，，三點；（3）圓心在直線上，且經過原點和點．6．解析：（1）因為圓心為，且過點，所以半徑，所以所求圓的標準方程為．（2）設圓的方程為，因為圓過點，，，所以，解得．所以所求圓的一般方程為（3）因為圓心在直線上，所以設圓心坐標為，半徑為，故圓的標準方程為因為圓經過坐標原點和點，所以，解得，所以圓的標準方程為．7．為何值時，方程表示圓?并求半徑最大時圓的方程．7．解析：當，即時，方程表示圓．此時圓的半徑，所以當時，取得最大值2，所以當圓的半徑最大時，圓的方程為．8．判斷圓與圓是否相切．8．解析：由，得，即圓心，半徑，由，得，即圓心，半徑，因為|，，所以，所以圓與圓相內切．9．若函數在及之間的一段圖象可以近似地看作線段，且，求證：．9．證明：如圖，依題意可得點，的坐標分別為，，所以直線的方程是，其中．因為，所以當時，有．因為函數在及之間的一段圖象可以近似地看作線段，所以有．10．求點到直線（為任意實數）的距離的最大值．10．解析：將化為，因為為任意實數，所以，解得．即直線恒過定點，所以點到直線的距離的最大值為．11．過點有一條直線，它夾在兩條直線與之間的線段恰被點平分，求直線的方程．11．解析：設直線夾在直線，之間的線段是，點、的坐標分別是，，且線段被點平分，則，，所以，．不妨設點在直線上，在直線上，所以，解得，即點的坐標是，所以直線的方程為，即直線的方程為．12．已知直線和，兩點，若直線上存在點使得最小，求點的坐標．12．解析：如圖，設關于直線的對稱點為，則，解得，即，因為，所以的方