6.3.1二項式定理教學設計授課教師姓名劉占江微課名稱6.3.1二項式定理知識點來源□學科：高中數學□年級：高二□教材版本：人教A版□所屬章節：選擇性必修第三冊第六章計數原理錄制工具和方法PowerPoint+Camtasia2019+剪映設計思路問題是有效開展課堂教學，發展學生核心素養的抓手。本節課以十個問題為驅動，采用“問題鏈+任務單”的形式層層遞進，以“情境—問題—活動—結果”為主線，誘發學生去主動探究學習。從而增強學生的觀察、分析、歸納、概括等能力，在分析和解決問題的過程中發展數學核心素養。教學設計內容教學目的1、通過發現多項式乘法的本質特征，建立多項式乘法與計數原理之間的聯系，運用計數原理推導二項式系數的方法。發展邏輯推理、數學抽象等素養。2、通過對二項式定理及其結構特點研究過程，體會“從特殊到一般”、“類比歸納”等數學思想。發展邏輯推理、數學建模等素養。3、能用二項式定理解決一些簡單的數學問題，發展數學運算等素養。教學重點難點重點：利用多項式運算法則和計數原理推導出二項式定理，并會用它解決有關的簡單問題。難點：使用組合數表達二項展開式中各項的系數教學過程一、創設情境，引入新課情境1：給出勵志標語上的數字特征，，，積跬步以致千里，積怠墮以致深淵。只比你努力一點的人，其實已經甩你太遠。情境2：把自己的起始優秀值看成1，假設每天的努力能讓自己變得比前一天優秀1%，對優秀值進行復利計算：第1天努力后優秀值為________________;第2天努力后優秀值為________________;......第30天努力后優秀值為________________;估算的近似值(精確到)情境3：艾薩克·牛頓（1643—1727,英國）被譽為人類歷史上最偉大的科學家之一，不僅是偉大的物理學家、天文學家,而且還是偉大的數學家。1664年，年僅22歲的牛頓。在數學方面就有了第一項創造性成果，就是發現了二項式定理，又稱牛頓二項式定理。引出的計算【設計意圖】通過勵志性的標語上的數字特征，具體需要計算問題的近似值和牛頓發現二項式定理的歷史三個情境問題，激發學生們的學習興趣，啟迪思維，感受數學文化之美，感受數學的價值及魅力。二、合作探究，探索新知（一）探究項數問題1：你能嘗試寫出的展開式嗎？問題2：請同學們觀察上面的四個展開式，有什么共同特點？提示：可以從項數、次數、每一項的結構特點及其系數等角度來觀察思考這四個二項式展開式的特點：（1）項數：共有冪指數項；（2）次數：各項的次數都等于的次數；（3）各項：字母按降冪排列，次數從遞減到0；字母按升冪排列，次數從0遞增到……問題3：一般情形下，當時，猜想并證明。【設計意圖】由特殊到一般，進行歸納猜想。讓學生從已經學過的的情況開始，問題層層遞進，將分析運算中的規律，運用到的情形，進一步猜想，推廣到一般情況。用乘法法則分析乘積項的結構特征，先得到二項式定理的項數、次數和各項的結構特點。（二）探究系數摸球實驗1將2個比作2個燒杯，用紅球表示字母，用藍球表示字母，請用剛學過的組合數作為工具，對已有的展開式進行重新的改寫問題4：請問摸球可能出現的組合以及每種組合的種數？提示：以的個數為分類標準三、直觀感受，提出猜想摸球實驗2將3個比作3個燒杯，用紅球表示字母，用藍球表示字母，請用剛學過的組合數作為工具，對已有的展開式進行重新的改寫問題5：請問摸球可能出現的組合以及每種組合的種數？提示：以的個數為分類標準摸球實驗3將4個比作4個燒杯，用紅球表示字母，用藍球表示字母，請用剛學過的組合數作為工具，對已有的展開式進行重新的改寫問題6：請問摸球可能出現的組合以及每種組合的種數？提示：以的個數為分類標準問題7：(1)展開后各項形式分別是什么？(2)你能分析說明各項前的系數嗎？問題8：請大家猜想的展開式時怎樣的呢？【設計意圖】通過摸球實驗，類比展開式的分析過程，對進行深入分析，發現規律，由特殊到一般來分析，結合多項式乘法和計數原理得到項數和系數的特點。從而得到二項式定理的展開式形式。（三）概念形成上述公式叫做二項式定理，右邊的多項式叫做的二項展開式，它一共有項，其中各項的系數叫做二項式系數.二項展開式中的叫做二項展開式的通項，用來表示，即通項為展開式第項，即—此公式叫做通項公式.四、鞏固新知，深化理解問題9：明晰二項式定理中的項、系數和展開式問題10：展開式中各項有什么特征？有什么規律？請歸納。①各項有什么共同特征？由多項式乘法法則可知，每項都為的形式；②展開共有多少項？根據分步乘法計數原理，展開式中共有項；③各個單項的系數分別是多少？結合組合數計算求得，各個單項式的系數為【總結歸納】1、定理的特征：1.系數規律：2.指數規律：(1)各項的次數均為n；(2)各項里a的指數由n降到0，b的指數由0升到n.3.項數規律：兩項和的n次冪的展開式共有n+1個項.4.通項公式:2、二項式定理對任意的數a,b都成立，若設a＝1,b＝x，則有【實際應用】求的近似值（精確到）結論：我們每天努力1%，30天后，比現在優秀30%【設計意圖】與問題情境前后呼應，強調二項式定理的數學價值，讓學生熟悉二項式展開式。【例題講解】例1、求的展開式。例2、（1）求的展開式的第4項的系數。例2、（2）求的展開式中的系數。【設計意圖】通過例題分析，解決與二項式定理有關問題，理解公式中字母的可變性和結構的不變性，從而發展數學運算、數學建模等核心素養。【教師總結】1、二項式系數與項的系數是兩個概念（1）二項式系數：（2）項的系數：二項式系數與數字系數的積【設計意圖】讓學生區分二項式系數和項的系數是兩個不同的概念，鞏固公式的應用。五、課堂小結，作業布置請同學們回顧整個過程，你在知識上和思想方法上都有哪些收獲，在學習數學上有哪些啟發？1、知識通項公式：（可以用來求特定項）2、方法乘法法則分析乘積項的結構，結合計數原理分析項數和系數。3、思想【設計意圖】梳理本節課所學知識，回歸研究數學問題的一般方法，提升概括總結能力。作業1：課本P31，15作業2：課本P39，楊輝三角的性質與應用（小組合作完成，撰寫研究報告）【設計意圖】鞏固新知，學生對本節課的重點知識進行強化訓練，夯