3.2基本不等式課程標準學習目標1、理解基本不等式的內容及證明.2、熟練掌握基本不等式及變形的應用.3、會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.4、能夠運用基本不等式解決生活中的應用問題.1、數學建模：能夠運用基本不等式解決生活中的應用問題.2、邏輯推理：熟練掌握基本不等式及變形的應用.3、數學運算：會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.4、直觀想象：運用圖像解釋基本不等式.知識點01基本不等式1、對公式及的理解．（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實數，而后者要求都是正數；（2）取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當且僅當時取等號”．2、由公式和可以引申出常用的常用結論①（同號）；②（異號）；③或知識點詮釋：可以變形為：，可以變形為：．【即學即練1】（2023·全國·高一專題練習）不等式中，等號成立的條件是（

）A． B． C． D．知識點02基本不等式的證明方法一：幾何面積法如圖，在正方形中有四個全等的直角三角形．設直角三角形的兩條直角邊長為、，那么正方形的邊長為．這樣，4個直角三角形的面積的和是，正方形的面積為．由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：．當直角三角形變為等腰直角三角形，即時，正方形縮為一個點，這時有．得到結論：如果，那么（當且僅當時取等號“=”）特別的，如果，，我們用、分別代替、，可得：如果，，則，（當且僅當時取等號“=”）．通常我們把上式寫作：如果，，，（當且僅當時取等號“=”）方法二：代數法∵，當時，；當時，．所以，（當且僅當時取等號“=”）．知識點詮釋：特別的，如果，，我們用、分別代替、，可得：如果，，則，（當且僅當時取等號“=”）．通常我們把上式寫作：如果，，，（當且僅當時取等號“=”）．【即學即練2】（2023·全國·高一專題練習）已知，，，求證：.知識點03基本不等式的幾何意義如圖，是圓的直徑，點是上的一點，，，過點作交圓于點D，連接、．易證，那么，即．這個圓的半徑為，它大于或等于，即，其中當且僅當點與圓心重合，即時，等號成立．知識點詮釋：1、在數學中，我們稱為的算術平均數，稱為的幾何平均數．因此基本不等式可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．2、如果把看作是正數的等差中項，看作是正數的等比中項，那么基本不等式可以敘述為：兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項．【即學即練3】（2023·全國·高一專題練習）數學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．知識點04用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函數的最值時，應具備三個條件：一正二定三取等．①一正：函數的解析式中，各項均為正數；②二定：函數的解析式中，含變數的各項的和或積必須有一個為定值；③三取等：函數的解析式中，含變數的各項均相等，取得最值．知識點詮釋：1、兩個不等式：與成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實數，后者要求a，b都是正數．2、兩個不等式：與都是帶有等號的不等式，對于“當且僅當……時，取“=”號這句話的含義要有正確的理解．3、基本不等式的功能在于“和積互化”．若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮使用平均不等式；若對于所給的“和式”中的各項的“積”為定值，則“和”有最小值，對于給出的“積式”中的各項的“和”為定值，則“積”有最大值．4、利用兩個數的基本不等式求函數的最值必須具備三個條件：①各項都是正數；②和（或積）為定值；③各項能取得相等的值．5、基本不等式在解決實際問題中有廣泛的應用，在應用時一般按以下步驟進行：①先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數；②建立相應的函數關系式，把實際問題抽象為函數的最大值或最小值問題；③在定義域內，求出函數的最大或最小值；④寫出正確答案．【即學即練4】（2023·陜西西安·高一校考期中）已知，且滿足，求的最小值是.題型一：對基本不等式的理解及簡單應用【典例11】（2024·高一·河南·階段練習）不等式中，等號成立的條件是（

）A． B． C． D．【典例12】（2024·高一·福建寧德·階段練習）《幾何原本》卷2的幾何代數法（幾何方法研究代數問題）成了后世西方數學家處理問題的重要依據.通過這一原理，很多的代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明；如圖所示圖形，點、在圓上，點在直徑上，且，，于點，設，，該圖形完成的無字證明.則圖中表示，的調和平均數、平方平均數的線段分別是（

）A．， B．， C．， D．，【方法技巧與總結】應用基本不等式時的三個關注點（1）一正數：指式子中的a，b均為正數．（2）二定值：只有ab為定值時才能應用基本不等式，因此有時需要構造定值．（3）三相等：即“=”必須成立，求出的定值才是要求的最值．【變式11】（多選題）（2024·高三·全國·專題練習）下列推導過程，正確的為（

）A．因為a，b為正實數，所以≥2＝2B．因為x∈R，所以1C．因為a＜0，所以+a≥2＝4D．因為，所以【變式12】（2024·高二·寧夏·期中）下列運用基本不等式求最值，使用正確的個數是（

）已知，求的最小值；解答過程：；求函數的最小值；解答過程：可化得；設，求的最小值；解答過程：，當且僅當即時等號成立，把代入得最小值為4．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式13】（2024·高一·全國·課后作業）下面四個推導過程正確的有（

）A．若a，b為正實數，則B．若，則C．若，則D．若，則【變式14】（2024·高一·江蘇南京·階段練習）《幾何原本》中的幾何代數法是以幾何方法研究代數問題，這種方法是后西方數學家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多的代數公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明．下圖是我國古代數學家趙爽創作的弦圖，弦圖由四個全等的直角三角形與一個小正方形（邊長可以為0）拼成的一個大正方形．若直角三角形的直角邊長分別為和，則該圖形可以完成的無字證明為（

）．A． B．C． D．題型二：利用基本不等式比較大小【典例21】設，為正數，則，，，的大小關系是．【典例22】（2024·高一·上海·課后作業）若、、、、、是正實數，且，，則有．（比較大小）【方法技巧與總結】利用基本不等式比較大小在利用基本不等式比較大小時，應創設應用基本不等式的使用條件，合理地拆項、配湊或變形．在拆項、配湊或變形的過程中，首先要考慮基本不等式使用的條件，其次要明確基本不等式具有將“和式”轉化為“積式”或者將“積式”轉化為“和式”的放縮功能．【變式21】（多選題）（2024·高一·廣東深圳·期中）若，且，則下列不等式中，恒成立的是（

）A． B． C． D．【變式22】（多選題）（2024·高一·湖南長沙·階段練習）小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b（），其全程的平均時速為v，則（

）A． B． C． D．【變式23】（2024·高一·上海·課堂例題）若，，則、、、中最大的一個是．【變式24】（2024·高一·江蘇·專題練習）比較大小：2(填“”“”“”或“”)．【變式25】（2024·高一·全國·課后作業）若，，，則，，2ab，中最大的一個是．題型三：利用基本不等式證明不等式【典例31】已知a、b是正數，求證：．【典例32】（2024·高一·江蘇南京·期中）（1）設a，b，c，d為實數，求證：；（2）已知，求證：．【方法技巧與總結】利用基本不等式證明不等式時應注意的問題（1）注意基本不等式成立的條件；（2）多次使用基本不等式，要注意等號能否成立；（3）對不能直接使用基本不等式證明的可重新組合，形成基本不等式模型，再使用．【變式31】（2024·高一·上海·期中）已知a、b、c、，證明下列不等式，并指出等號成立的條件：(1)；(2)．【變式32】（2024·高一·上海·課后作業）（1）已知、都是正數，求證：；（2）已知，，，求證：．【變式33】（2024·高一·云南曲靖·期末）已知，，且，證明：(1)；(2)．【變式34】（2024·青海·一模）已知正數滿足．求證：(1)；(2)．題型四：利用基本不等式求最值命題方向1：直接法求最值【典例41】（2024·高一·河南鄭州·階段練習）已知，且，則的最大值為．【典例42】已知，，且，則xy的最大值為．【變式41】（2024·高一·云南楚雄·期末）若實數滿足，則的最大值為．【變式42】（2024·高二·浙江寧波·期末）已知正實數x，y滿足，則xy的最大值為．【變式43】（2024·高一·河北保定·開學考試）若正數滿足，則的最大值為．【變式44】（2024·高一·內蒙古巴彥淖爾·期末）已知，的最小值為.命題方向2：常規湊配法求最值【典例51】（2024·高一·上海·課前預習）設、滿足，且、都是正數，則的最大值為．【典例52】（2024·高一·上海·隨堂練習）已知，則的最大值為．【變式51】（2024·高二·安徽六安·期末）已知，則的最大值為．【變式52】（2024·河北秦皇島·三模）設，則的最大值為.【變式53】（2024·高一·福建福州·階段練習）已知實數，則函數的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【變式54】（2024·高一·湖北·階段練習）已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16【變式55】（2024·高二·浙江紹興·期中）若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值命題方向3：消參法求最值【典例61】（2024·新疆·高一校聯考期末）設，則的最小值為（

）A． B．C． D．6【典例62】（2024·全國·高一專題練習）已知實數滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．2【變式61】（2024·全國·高一專題練習）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式62】（2024·高一·全國·課后作業）若正實數滿足，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10命題方向4：換元求最值【典例71】（2024·全國·高一專題練習）設x，y是正實數，且，則的最大值是.【典例72】（2024·全國·高一專題練習）已知正數、滿足，則的最小值為.【變式71】（2024·浙江·高二校聯考階段練習）若實數，滿足，則的最小值為．命題方向5：“1”的代換求最值【典例81】（2024·高一·福建南平·期中）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【典例82】（2024·高一·重慶沙坪壩·期中）已知正實數，滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【變式81】（2024·高二·河北張家口·期末）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式82】（2024·高一·全國·課后作業）已知，且，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【變式83】（2024·高二·安徽·階段練習）若正實數，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式84】（2024·高一·陜西榆林·階段練習）若正數，滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．【變式85】（2024·河南信陽·模擬預測），則的最小值為（

）A． B． C． D．6【變式86】（2024·高一·重慶沙坪壩·階段練習）已知正數滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．命題方向6：△法【典例91】（2024·湖南衡陽·衡陽市八中校考模擬預測）已知實數，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【典例92】（2024·全國·高三專題練習）已知，滿足則的最小值是（

）A． B． C． D．命題方向7：條件等式求最值【典例101】（2024·高一·山東濟寧·階段練習）設正實數x，y，z滿足，則當取得最大值時，的值為．【典例102】（2024·全國·高一專題練習）已知正數x，y滿足，則的最大值為．【變式101】（2024·全國·高一專題練習）已知，，，則的最大值為．【變式102】（2024·全國·高一專題練習）若，且，則的最大值為.【方法技巧與總結】利用基本不等式求代數式的最值（1）利用基本不等式求代數式的最值，要通過恒等變形以及配湊，使“和”或“積”為定值，從而求得代數式的最大值或最小值．（2）若是求和式的最小值，通常化（或利用）積為定值；若是求積的最大值，通常化（或利用）和為定值，解答技巧都是恰當變形、合理拆分項或配湊因式．題型五：利用基本不等式求解恒成立問題【典例111】（2024·高一·江蘇徐州·階段練習）若對任意，恒成立，則a的最小值為（

）．A． B． C． D．【典例112】（2024·高一·山東濟寧·階段練習）設，若恒成立，則k的最大值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【方法技巧與總結】利用基本不等式求解恒成立問題，通常通過分離參數轉化為利用基本不等式求最值【變式111】（2024·高一·重慶·期末）當，且滿足時，有恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式112】（2024·高一·浙江麗水·階段練習）已知不等式對滿足的所有正實數都成立，則正實數的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【變式113】（2024·高二·湖南·期中）已知實數，且滿足，若不等式恒成立，則實數的最大值為（

）A．9 B．12 C．16 D．25【變式114】（2024·高一·湖北武漢·階段練習）若對任意實數，，不等式恒成立，則實數a的最小值為（

）．A． B． C． D．【變式115】（2024·高一·山東泰安·階段練習）設，且不等式恒成立，則正實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型六：基本不等式在實際問題中的應用【典例121】（2024·高一·河北石家莊·階段練習）如圖，公園想建一塊面積為144平方米的矩形草地，一邊靠墻，另外三邊用鐵絲網圍住，現有44米長的鐵絲網可供使用（鐵絲網可以剩余），若利用x米墻，求最少需要多少米鐵絲網．【典例122】（2024·高一·上海徐匯·期中）某工廠建造一個無蓋的長方體貯水池，其容積為4800，深度為3m．如果池底每平方米的造價為100元，池壁每平方米的造價為80元，怎樣設計水池能使總造價最低？最低總造價為多少元？【方法技巧與總結】利用基本不等式解決實際問題的步驟解實際問題時，首先審清題意，然后將實際問題轉化為數學問題，再利用數學知識（函數及不等式性質等）解決問題．用基本不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行：（1）先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數．（2）建立相應的函數關系式，把實際問題抽象為函數的最大值或最小值問題．（3）在定義域內，求出函數的最大值或最小值．（4）正確寫出答案．【變式121】（2024·高一·全國·隨堂練習）某工廠擬造一座平面圖（如圖）為長方形且面積為的三級污水處理池．由于地形限制，該處理池的長、寬都不能超過16m，且高度一定．如果四周池壁的造價為400元/，中間兩道隔墻的造價為248元/，池底造價為80元/，那么如何設計該處理池的長和寬，才能使總造價最低？（池壁的厚度忽略不計）

【變式122】（2024·高一·江蘇揚州·階段練習）已知a、、、為正實數，利用平均不等式證明（1）（2）并指出等號成立條件，然后解（3）中的實際問題．(1)請根據基本不等式，證明：；(2)請利用（1）的結論，證明：；(3)如圖，將邊長為米的正方形硬紙板，在它的四個角各減去一個小正方形后，折成一個無蓋紙盒．如果要使制作的盒子容積最大，那么剪去的小正方形的邊長應為多少米?【變式123】（2024·高一·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出兩款新品蛋糕，分別為薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕單價為x元，朱古力蜂果蛋糕單位為y元，現有兩種購買方案：方案一：薄脆百香果蛋糕購買數量為a個，朱古力蜂果蛋糕購買數量為b個，花費記為;方案二：薄脆百香果蛋糕購買數量為b個，朱古力蜂果蛋糕購買數量為a個，花費記為．（其中）(1)試問哪種購買方案花費更少？請說明理由；(2)若a，b，x，y同時滿足關系，求這兩種購買方案花費的差值S最小值（注：差值花費較大值花費較小值）．【變式124】（2024·高一·貴州·階段練習）某工廠生產某種產品，其生產的總成本（萬元）年產量（噸）之間的函數關系可近似的表示為已知此工廠的年產量最小為噸，最大為噸．(1)年產量為多少噸時，生產每噸產品的平均成本最低？并求出最低平均成本；(2)若每噸產品的平均出廠價為萬元，且產品全部售出，則年產量為多少噸時，可以獲得最大利潤？并求出最大利潤．【變式125】（2024·高一·浙江寧波·自主招生）對于任意正實數，僅當時，等號成立．結論：．若為定值，僅當時，有最小值．根據上述內容，回答下列問題：(1)初步探究：若x>0，僅當___時，有最小值___；(2)變式探究：對于函數，當取何值時，函數的值最小？最小值是多少？(3)拓展應用：疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問題．高速公路榆測站入口處，檢測人員利用檢測站的一面墻(墻的長度不限)，用63米長的鋼絲網圍成了9間相同的長方形隔離房，如圖．設每間離房的面積為(米)．問：每間隔離房的長、寬各為多少時，可使每間隔離房的面積最大？最大面積是多少？1．（2024·高一·河北保定·期末）已知為正實數且，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．2．（2024·高一·全國·課后作業）若，則有（

）A．最小值0 B．最大值2C．最大值 D．不能確定3．（2024·高三·陜西榆林·階段練習）已知，，且，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．84．（2024·高一·山西朔州·階段練習）已知，，滿足，則下列結論正確的是（

）A．有最小值 B．有最大值C．有最小值 D．