杭州聯誼學校2024年5月教學質量檢測高一數學試題一、單選題1.已知，則的虛部為（）A.2 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據復數的有關概念直接得出結果.【詳解】因為，所以則z的虛部為2.故選：A2.設一組樣本數據x1，x2，…，xn方差為0.01，則數據10x1，10x2，…，10xn的方差為（）A.0.01 B.0.1 C.1 D.10【答案】C【解析】【分析】根據新數據與原數據關系確定方差關系，即得結果.【詳解】因為數據的方差是數據的方差的倍，所以所求數據方差為故選：C【點睛】本題考查方差，考查基本分析求解能力，屬基礎題.3.設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據已知條件及借助正方體，結合點線面的位置關系即可求解.【詳解】如圖所示對于A，設平面為平面,平面為平面,為，則，則，故A錯；對于B，設平面為平面,平面為平面,為，則，則，故B錯；對于C，過作平面與平面交于直線，，則，，可得，則，故C正確；對于D，設平面為平面,為，為，則，則，故D錯.故選：C.4.已知向量，滿足，，，則向量在向量方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知：，根據模長關系結合數量積的運算律可得，進而可求投影向量.【詳解】由題意可知：，因為，則，即，可得，所以向量在向量方向上的投影向量為.故選：C.5.函數的最小正周期等于（）A.π B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式和輔助角公式將函數化簡為即可求得最小正周期.【詳解】，故最小最周期.故選：A6.已知關于的不等式的解集為，其中，則的最小值為（）A.－4 B.4 C.5 D.8【答案】C【解析】【分析】根據不等式的解集求出的值和的取值范圍，在代入中利用對勾函數的單調性求出它的最小值.【詳解】由的解集為，則，且，是方程的兩根，由根與系數的關系知，解得，，當且僅當時等號成立，故，設，函數在上單調遞增，所以所以的最小值為5.故選：C7.已知圓錐的軸截面為為該圓錐的頂點，該圓錐內切球的表面積為，若，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意，利用內切圓的性質，求得圓錐的底面半徑和高，結合體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，設內切球與PA相切于點，因為，所以，由內切球的表面積為，可得球的半徑，則圓錐的高為，圓錐的底面半徑為，所以該圓錐的體積.故選：A.8.在中，角所對的邊分別是，若，邊上的高為，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理可求得，再由等面積關系可得，利用余弦定理結合基本不等式得出，即可求得，再結合的范圍即可得出結論.【詳解】，由余弦定理可得，整理可得，又AC邊上的高為，所以，即，，當且僅當取等號，，即，即，，則，，故∠ABC的最大值為.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題考查余弦定理的應用，解題的關鍵是等面積關系得，由基本不等式得.二、多選題9.下列命題為真命題的是（）A.復數對應的點在第二象限B.若為虛數單位，則C.在復數集中，方程的兩個解分別為和D.復平面內滿足條件的復數z所對應的點Z的集合是以點為圓心，2為半徑的圓【答案】BC【解析】【分析】根據復數的定義可判斷A；根據的性質可判斷B；根據復數方程的根可判斷C；根據復數的幾何意義可判斷D.【詳解】對于A，復數對應的點為，在第四象限，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，所以在復數集中，方程有兩個解，分別為和，故C正確；對于D，復平面內滿足條件的復數對應的點的集合是以點為圓心，2為半徑的圓面，故D錯誤.故選：BC10.在中，分別為的對邊，則下列敘述正確的是（）A.若，則是等腰三角形．B.若為銳角三角形且外心為且，則．C.若，則解此三角形的結果有一解．D.“為銳角三角形”是“”的充分不必要條件．【答案】ABD【解析】【分析】根據題意，由正弦定理得，得到，可得判定A正確；化簡得到，得到B，P，D三點共線，可判定B項正確；由正弦定理，求得三角形的結果有兩解，可判定C錯誤；由為銳角三角形，得到，結合正弦函數的單調性和充分、必要條件的判定，可判定D正確．【詳解】對于A中，因為，由正弦定理得，即，因為，可得，所以，由正弦定理得，所以是等腰三角形，所以A項正確；對于B中，由，可得，則，即，如圖所示，設為的中點，則，故，故B，P，D三點共線，因為P是的外心，所以BD垂直平分AC，所以，所以B項正確；對于C中，若，因，所以，因為，所以，而，所以或，所以解此三角形的結果有兩解，所以C項錯誤；對于D中，若為銳角三角形，則，可得，可得，且在內單調遞增，則，即充分性應立；若，例如符合題意，但為直角三角形，即必要性不成立；綜上所述：“為銳角三角形”是“”的充分不必要條件，所以D項正確．故選：ABD．11.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P在線段BC1上運動時，下列命題正確的是（）A.三棱錐A?D1PC的體積不變B.直線CP與直線AD1的所成角的取值范圍為C.直線AP與平面ACD1所成角的大小不變D.二面角P?AD1?C的大小不變【答案】ABD【解析】【分析】對于選項A，由已知可得平面，可得BC1上任意一點到平面AD1C的距離相等，由此可判斷；對于選項B，由，可得直線CP與直線AD1的所成角即為直線CP與直線BC1的所成角，由此可判斷；對于選項C，點P在直線BC1上運動時，直線AB與平面AD1C所成的角和直線AC1與平面AD1C所成的角不相等，可判斷；對于選項D，當點P在直線BC1上運動時，平面BAD1C1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影響，故D正確.【詳解】對于選項A，因為，面，面，所以平面，所以BC1上任意一點到平面AD1C的距離相等，又，所以三棱錐A﹣D1PC的體積不變，故A正確；對于選項B，因為，點P在直線BC1上運動，所以直線CP與直線AD1的所成角即為直線CP與直線BC1的所成角，因為為等腰直角三角形，故B項正確；對于選項C，點P在直線BC1上運動時，直線AB與平面AD1C所成的角和直線AC1與平面AD1C所成的角不相等，故C錯誤；對于選項D，當點P在直線BC1上運動時，平面BAD1C1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影響，故D正確.故選：ABD.三、填空題12.若，則__________.【答案】1【解析】【分析】根據指數與對數的互化可得，結合對數的換底公式和運算性質即可求解.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：1.13.從某果樹上隨機摘下11個水果，其直徑為（單位：，則這組數據的第六十百分位數為__________.【答案】20【解析】【分析】由百分位數的定義求解即可.【詳解】第六十百分位數的位置為，即取第7位數20，故第六十百分位數為20.故答案為：20.14.已知函數()在區間上有且僅有一個零點，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】因為，可得，根據函數在區間上有且僅有一個零點，得到，且，可得，驗證，，即可求解.【詳解】由題意，函數（），可得函數的周期為，因為，可得又由函數()在區間上有且僅有一個零點，且滿足，且，可得，即，且，當時，，解得，所以；當時，，解得，所以；當時，，解得，此時解集為空集，綜上可得，實數的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了三角函數的圖象與性質的綜合應用，其中解答中熟練應用三角函數的圖象與性質，列出相應的不等式組是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.15.在疫情防護知識競賽中，對某校的2000名考生的參賽成績進行統計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區間為，，，，，，60分以下視為不及格.觀察圖形中的信息，回答下列問題：（1）求分數內的頻率，并計算本次競賽中不及格考生的人數；（2）從頻率分布直方圖中，分別估計本次競賽成績的眾數和中位數.【答案】（1）分數內的頻率為，不及格考生的人數為：（人）（2）眾數為75分，中位數為分【解析】【分析】（1）根據頻率和為1，可求分數在內的頻率；用“樣本容量頻率”可得不及格考生的人數；（2）用頻率最大的區間的中間數據估計眾數，根據中位數的概念求中位數.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得：，解得，所以分數內的頻率為.本次競賽中不及格考生的人數為：（人）.【小問2詳解】由題意得：因為成績在的頻率最大，又，所以眾數為75分；設中位數為，則，解得，所以中位數為分.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，且，點為線段的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）借助中位線的性質與線面平行判定定理推導即可得；（2）借助線面垂直的性質定理與線面垂直的判定定理推導即可得；（3）借助點為線段的中點，可得點與點到平面距離相等，即有，結合體積公式計算即可得.【小問1詳解】連接交于點，連接，由底面是正方形，故為中點，又點為線段的中點，故，又平面，平面，故平面；【小問2詳解】由點為線段的中點，，故，由平面，平面，故，又底面是正方形，故，又、平面，，故平面，又平面，故，又、平面，，故平面；【小問3詳解】由點為線段的中點，故點與點到平面距離相等，故.17.已知，如圖，在中，點滿足在線段BC上且，點是AD與MN的交點，.（1）分別用來表示和（2）求最小值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）平面向量基本定理的運用，根據已知條件，結合向量的線性運算即可求解.（2）根據已知條件，結合三點共線性質和基本不等式中“1”的妙用即可求解.【小問1詳解】因為，所以，因為，所以.【小問2詳解】由（1），因為，，所以，因為三點共線，所以，，所以，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.18.在中，對應的邊分別為，已知向量,且為邊上一點，,且.（1）求；（2）求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由得，從而計算；（2）由題意，兩邊平方結合基本不等式可得，利用面積公式即可求.【小問1詳解】因為，且，所以，利用二倍角公式和邊化角可得：，即，所以，因為，所以，又因為，所以，所以，即.【小問2詳解】因為，所以，兩邊平方得：，所以，當且僅當時取等號.由，可得：，所以.所以面積的最大值為.19.如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，側面是正三角形，側面底面是棱的中點，.（1）證明：平面；（2）若二面角為，求異面直線與所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質，線面垂直的性質判定推理即得.（2）作出二面角的平面角，由此求出，再利用異面直線所成角的定