一、協方差二、相關系數§4.3協方差及相關系數上頁下頁鈴結束返回首頁一、協方差定義1：稱數值E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}為X,Y的協方差，記為Cov(X,Y)(Covariance)或σxy，即：σxy＝Cov(X,Y)＝E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

(1)

說明：

1)由定義1，若(X,Y)是離散型的，則

若(X,Y)是連續型的，則2)由方差的定義知D(X)=σxx，D(Y)=σyy

3)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)

=σxx+σyy+2σxy

(4)

4)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)(5)且由方差的性質3知：當X,Y相互獨立時，σxy＝0，但反之不一定。反例：設(X,Y)的聯合密度是f(x,y)=，x2+y2≤10

，其它求：σXX，σXY，σYYσxy＝Cov(X,Y)＝E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

(1)

反例：

設(X,Y)的聯合密度是解：

E(X)=E(Y)=0σXX=σYY=1/4

，σXY＝0

故X與Y不相互獨立可見σXY＝0是隨機變量X與Y獨立的必要條件而非充分條件.f(x,y)=，x2+y2≤10

，其它σxy＝Cov(X,Y)＝E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

(1)

注:對二維正態向量而言，σXY＝0是X,Y相互獨立的充要條件。§3.4例2曾證明X,Y獨立的充要條件是ρ＝0，以下例題將證明ρ＝0與σXY＝0等價。

例1設(X,Y)～N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)，求σXY。解：

E(X)=μ1，E(Y)=μ2，σXX=σ12，σYY=σ22

例1設(X,Y)～N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)，求σXY。二、協方差的性質1.Cov(X,Y)=Cov(Y,X)2.Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)，a,b是常數

3.Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)4.,等號成立當且僅當存在常數a和b，使成立．三、相關系數定義2

為隨機變量X,Y的相關系數(分母不為零)，有時簡記ρ

顯然，對二維正態分布N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)而言，其相關系數為ρ.ρxy的含義：以X的線性函數a+bX來近似表示Y，以均方誤差來衡量以a+bX近似表達Y的好壞程度，e越小表示a+bX與Y的近似程度越好，因此，我們取a,b使e取到最小定義2

解得由(8)易得定理

1)|ρxy|≤12)|ρxy|=1的充要條件是：存在常數a,b使P{Y=a+bX}=1

相關系數ρxy的含義：

ρxy是一個可以用來衡量X,Y之間線性關系緊密程度的量，當|ρxy

|較大時，X,Y就線性關系而言聯系較緊密，我們稱X,Y線性相關的程度較好，當|ρxy|=1時，X,Y

之間以概率1存在著線性關系，當ρxy

＝0時，稱X和Y不相關。說明：

1)當X,Y相互獨立時，ρ＝0，但反之卻不一定，只有在二維正態向量中X,Y相互獨立<=>X,Y不相關(ρ＝0)2)ρ是表征X,Y的線性關系的，ρ很小并不說明X,Y之間沒有關系，如若X～N(0,1)，Y=X2，則ρxy＝0，但Y是X的二次曲線

例1中設(X,Y)～N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)，則有

這說明二維正態隨機變量(X,Y)的概率密度的參數就是X和Y的相關系數，因而二維正態隨機變量的分布完全由X和Y的數學期望、方差以及它們的相關系數所確定．

對于二維正態隨機變量(X,Y)，X和Y不相關與X和Y相互獨立是等價的．例2

將一枚均勻的硬幣擲n次，以X和Y分別表示正面朝上和反面朝上的次數，試求X和Y的協方差和相關系數．解

由題意可知，

X和Y的相關系數

相關系數等于－1，這是因為總是成立．

例3對于(X,Y)，已知D(X)=D(Y)=1，ρxy＝1/2

，求D(X－2Y)解：

四、矩

定義3設X是隨機變量，若E(Xk)，k=1,2,…存在，稱它為X的k階原點矩，簡稱k階矩

若E[X-E(X)]k,k=1,2,…存在，稱它為X的k階中心矩

若E(XkYl),k,l=1,2,…存在，稱它為X和Y的k+l階混合矩。

若E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l}存在，稱它為X和Y的k+l階混合中心矩

由以上定義知E(X)是X的一階原點矩，D(X)是X的二階中心矩，Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩。

定義3設X是隨機變量，若E(Xk)，k=1,2,…存在，稱它為X的k階原點矩，簡稱k階矩*性質：

1）n維隨機變量（X1，X2，…，Xn）服從n維正態分布的充要條件是X1，X2，…，Xn的任意的線性組合l1X1+l2X2+…+lnXn都服從一維正態分布。2）若（X1，X2，…，Xn）服從n維正態分布，設Y1,Y2,…,Yk,(k=1,2,…,n)是X