魯教版八年級上第四章圖形的平移與旋轉專題5旋轉在幾何中的應用應用1證明線段相等

1.

如圖，在等邊三角形

ABC

中，點

D

為△

ABC

內的一點，

∠

ADB

＝120°，∠

ADC

＝90°，將△

ABD

繞點

A

逆時

針旋轉60°得到△

ACE

，連接

DE

.

(1)求證：

AD

＝

DE

；12345678【證明】∵將△

ABD

繞點

A

逆時針旋轉60°得△

ACE

，∴

AD

＝

AE

，∠

AE

＝60°，∴△

ADE

是等邊三角形，∴

AD

＝

DE

.

(2)求∠

DCE

的度數.【解】由旋轉的性質知∠

AEC

＝∠

ADB

＝120°，又∵∠

ADC

＝90°，∴∠

DCE

＝360°－∠

ADC

－∠

DAE

－∠

AEC

＝360°－90°－60°－120°＝90°.12345678應用2證明線段垂直

2.

[2024·濟南濟陽區(qū)期中]如圖，△

ABC

和△

AMN

均為等邊

三角形，將△

AMN

繞點

A

旋轉(△

AMN

在直線

AC

的右側).(1)求證：△

BAM

≌△

CAN

.

【證明】∵△

ABC

和△

AMN

是等邊三

角形，∴

AB

＝

AC

，

AM

＝

AN

，∠

BAC

＝∠

MAN

＝60°，12345678

12345678(2)若點

C

，

M

，

N

在同一條直線上.①求∠

BMC

的度數；②點

M

是

CN

的中點，求證：

BM

⊥

AC

.

①【解】∵△

AMN

為等邊三角形，∴∠

AMN

＝∠

N

＝60°.∵△

BAM

≌△

CAN

，∴∠

AMB

＝∠

N

＝60°，

∴∠

BMC

＝180°－∠

AMN

－∠

AMB

＝60°.12345678②【證明】∵點

M

是

CN

的中點，

∴

MN

＝

CM

.

∵△

AMN

是等邊三角形，∴

AM

＝

MN

＝

CM

.

∵△

ABC

為等邊三角形，∴

AB

＝

CB

，∴

MB

所在直

線是

AC

的垂直平分線，∴

BM

⊥

AC

.

12345678應用3證明線段平行

3.

如圖，在△

ABC

中，∠

CAB

＝67°，將△

ABC

繞點

A

逆

時針旋轉46°得到△

AB

'

C

'，連接

CC

'.求證：

CC

'∥

AB

.

12345678應用4證明線段和差關系

4.

如圖，已知△

ABC

是等邊三角形，點

E

在線段

AB

上，點

D

在射線

CB

上，且

ED

＝

EC

，將△

BCE

繞點

C

順時針

旋轉60°得到△

ACF

，連接

EF

.

求證：

AB

＝

AF

＋

BD

.

12345678【證明】如圖，過點

E

作

EG

∥

BC

交

AC

于點

G

.

∵△

ABC

是等邊三角形，∴

AB

＝

AC

，∠

BAC

＝∠

ABC

＝∠

ACB

＝60°.∵

EG

∥

BC

，∴∠

AEG

＝∠

ABC

＝60°，∠

AGE

＝∠

ACB

＝60°，∴∠

AEG

＝∠

AGE

＝∠

BAC

＝60°.∴△

AEG

為等邊三角形，∴

AE

＝

AG

＝

GE

，∴

AB

－

AE

＝

AC

－

AG

，∴

BE

＝

CG

.

12345678∵

DE

＝

CE

，∴∠

CDE

＝∠

ECD

.

∵∠

CDE

＋∠

BED

＝∠

ECD

＋∠

GCE

＝60°，∴∠

BED

＝∠

GCE

.

又∵

BE

＝

CG

，

DE

＝

CE

，∴△

BDE

≌△

GEC

(SAS).∴

BD

＝

GE

＝

AE

.

由旋轉的性質可知

AF

＝

BE

，∴

AB

＝

BE

＋

AE

＝

AF

＋

BD

.

12345678應用5求角的度數

5.

如圖，在△

ABC

中，∠

ABC

＝50°.將△

ABC

繞點

A

按

逆時針方向旋轉后得△

ADE

(其中∠

CAE

＜180°)，連接

DB

.

當

AD

∥

BC

時，求∠

BDE

的度數.12345678

123456786.

[2023·青島市南區(qū)期中]如圖，點

O

是等邊三角形

ABC

內

一點，

D

是△

ABC

外的一點，∠

AOB

＝100°，∠

BOC

＝α，將△

BOC

繞點

C

順時針旋轉60°得△

ADC

，連接

OD

.

(1)當α＝150°，∠

ODA

＝

?.90°

12345678(2)當α為多少度時，△

AOD

是等腰三角形？【解】∵∠

AOB

＝100°，∠

BOC

＝α，∴∠

AOC

＝260°－α.由旋轉得∠

OCD

＝60°，

CO

＝

CD

，∠

ADC

＝∠

BOC

＝α，∴△

ODC

為等邊三角形，∴∠

DOC

＝∠

ODC

＝60°，∴∠

ADO

＝α－60°，∠

AOD

＝200°－α.12345678①當∠

DAO

＝∠

AOD

時，2(200°－α)＋α－60°＝180°，解得α＝160°；②當∠

AOD

＝∠

ADO

時，200°－α＝α－60°，解得α＝130°；③當∠

OAD

＝∠

ADO

時，200°－α＋2(α－60°)＝180°，解得α＝100°.∴當α為100°，130°或160°時，△

AOD

是等腰三角形.12345678應用6求線段的長

7.

[2024·濟寧任城區(qū)期末]如圖，在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，將△

ABC

繞著點

B

順時針旋轉得到△

FBE

，點

C

，

A

的對應點分別為

E

，

F

，點

E

落在

BA

上，連接

AF

.

(1)若∠

BAC

＝20°，求∠

BAF

的度數；12345678

12345678(2)若

AC

＝12，

BC

＝5，求

AF

的長.

123456788.

[2023·青島萊西市期中]如圖，在四邊形

ABCD

中，∠

ABC

＝∠

ADC

＝45°，將△

BCD

繞點

C

順時針旋轉一定角度后，點

B

的對應點恰好與點

A

重合，得到△

ACE

.

(1)求證：

AE

⊥

BD

；12345678【證明】由題意可得

AC

＝

BC

，∠

ABC

＝45°，∴∠

BCA

＝90°.設

BD

與

AC

，

AE

分別交于點

M