4.3利用導數求極值最值(精練)

【題組一無參函數的極值(點)】

1.(2021?陜西漢中市)設％是函數/(x)=3cosx+sinx的一個極值點，則tan<9=()

A.-3B.—C.-D.3

33

【答案】C

【解析】?.?由已知可得_f(e)=-3sin6+cose=0,Atan6>=1.故選：C.

2.(2021?浙江)函數y=(x2-l)'+l在x=—1處()

A.有極大值B.無極值C.有極小值D.無法確定極值情況

【答案】B

【解析】y=(x2-l)3+l,則"3儼—l?2x,

令y'>0,解得x>0，令y'<0,解得x<0,令y'=O,%=0或%=土1,

所以函數在(0,+8)單調遞增；在(9,0)單調遞減，

所以在x=-1處無極值.故選：B

x-1

3.(2021?全國專題練習)已知函數/(%)='e一，則()

A.“X)在(0,+8)上為增函數B./(X)在(0,+8)上為減函數

C.“X)在(0,+8)上有極大值D./(X)在(0,+8)上有極小值

【答案】A

【解析】=(XH0),令g(x)=xe*—e*+l,則g(x)=xe\

X

因此在(一8,0)上，g'(x)<0,g(x)單減；在(0,+8)上，g'(x)>0,g(x)單增；

又g(0)=0,因此g(x)>g(O)=O,即八x)>0,

故在(—8,0)及(0,+8)上，單增，/(X)無極值，故選：A

4.(2021?全國高三專題練習)函數/(x)=x2(e川—1)(e為自然對數的底數)，則下列說法正確的是()

A./(x)在上只有一個極值點B.f(x)在/?上沒有極值點

C./(幻在％=0處取得極值點I).“X)在X=-l處取得極值點

【答案】C

【解析】由題意，/'(X)=2x(，+i-1)+x2er+,=x(xex+i+2e旬一2),

.?.若/'(x)=0,即x=0或『+2*-2=()，

令g(x)=1+2ex+'-2,則gf(x)=ex+I+xex+l+2ex+I=ev+l(x+3),

，當x>—3時，g'(x)>0；當x<-3時，g'(x)<0；

Ag(x)在(-8,-3)上遞減，在(-3,+8)上遞增；又g(-l)=-l<0,而g(0)=2e—2〉0,故g(x)在(一1,0)

上存在一個零點.

.??/(X)在〃上至少存在兩個極值點，分別為x=0、x=xoe(-l,O).

故選：C

5.(2021?安徽池州市)若函數/(x)=x3池x,則()

A.既有極大值，也有極小值B.有極小值，無極大值

C.有極大值，無極小值D.既無極大值，也無極小值

【答案】B

/_i\

【解析】依題意，f(x)=3x21nx+x2=x2(3]nx+l)；令/'(x)=O,解得方，故當xe0,/5時,

A-c

(1A

/'(x)<0,當xe”,+8時，f\x)>0,故當.〃《時，函數/*)有極小值，且函數無極大值，

\7

故選：B.

Y2

6.(2021?江蘇)若函數/裊)=二的極大值點與極大值分別為a,b,則()

e'

A.a<h<abB.a<ah<b

C.b<ah<aD.ab<b<a

【答案】C

2,x?￡x—x~?c'x,(2—x)

【解析】VJ(x)=-7-^2----=-二—，

'1?/'(x)=O=x=O或x=2,

/，U)>0=>0<x<2,/'(x)<0nx<0或x>2,

/(x)在(0,2)單調遞增，在(-8,0),(2,+o。)單調遞減，

4

...x=2為極大值點，且/(2)=七，

e'

c,4°,4,8

a=2,o=—,/.a=2,b=—,ab=—,

ee-e"

h<ab<a,故選：C.

7.(2021?江西上饒市)函數/(x)=2sinx-x(x>0)的所有極大值點從小到大排成數列｛凡｝,設S”是

數列｛見｝的前"項和，則COS$2021=()

11

A.1B.—C.--D.0

22

【答案】B

【解析】在/(x)=2sinx-x,先在xeR時討論時極值點.

\71

由己知/r(x)=2cosx-l,由2cosx-l=0得cosx=—,x=2左乃+一或工=2%)——,keZ,

233

JTTTTTJT

易知當2A萬<x<2k7r+—(k^Z)時、/z(x)>0,當2k)+—<工<2(%+1)萬---(k^Z)時、

3333

rr

f'(x)<0,所以/(X)的極大值點是=2k7T+-,k&Z,

X3

TTTT

所以4=2(〃—1)?｛a,J是等差數列，公差d=2?,首項為

S7,?,=2021、工+必心、2萬=673乃+二+“(〃—1)萬，是偶數，

323

t1c/2"、.-71711

所以COSd2021=COS(7+—)=COS(2%-y)=COSy=—.

故選：B.

8.(2021?安徽省太和中學高三)設函數〃力=卜2-3)/,則()

A.“X)有極大值，且有最大值

B./(力有極小值，但無最小值

C.若方程/(x)=a恰有一個實根，則a＞與

D.若方程/(x)=a恰有三個實根，則0<。<?

e

【答案】D

【解析】由題意f\x)=(x2+2x-3)ex=(x-l)(x+3)ex,

...當x<-3或x>l時，f'(x)>0,當—3<x<l時，f(x0<0,

〃x)在(7,-3)和(1,”)上遞增,在(-3,1)上遞減.

/(X)圾大1fl=f(—3)=—,/(x)極小m=/⑴=-2e,

e

》<-6或；1>6時，f(x)>0,時，/(x)fO,x.?+<?時，/(X)f+8,

???/(I)也是最小值.f(x)無最大值.

作出y=/(x)的圖象，和直線》=。，如圖，

當a=l或a>烏時，/(無)=。有一個根，當0<a<g時，/(x)=a有三個根.

ee

故選：D.

1

9.(2021?安徽師范大學附屬中學)函數f(x)=5x29-21nx+x的極值點是.

【答案】1

i21

【解析】/(x)=—/—21nx+x的定義域為(0,+oo),f'(x)=x——+l=-(x+2)(x-l),

2xx

所以令f'(x)>0,解得x>l,令f'(x)<0,解得x<I,

1,

所以x=1為/(x)=-x2-2\nx+x的極值點.

故答案為：1.

10.(2021?湖北武漢市?華中師大一附中)寫出一個定義在R上且使得命題“若/'(1)=0,則1為函數

“X)的極值點”為假命題的函數/("=.

【答案】(x—1)3(答案不唯一)

【解析】由題意，/。)=0且1f(%)在x=l處不存在變號零點，例如/。)=(%—1)3,則/1)=3(>-1)2,

所以/'(1)=0,且r(x)=3(x—l)22O,符合題意.故答案為：(x—1)3(答案不唯一)

11.(2021?陜西寶雞市)設x是函數/(x)=cosx+3sinx的一?個極值點，則cos29+sin?6=

【答案】—

【解析】因為/'(x)=-sinx+3cosx,x=8是函數/(x)=cosx+3sinx的一個極值點

所以/"(。)=-sin6+3cos6=0,所以sine=3cos0

cos26+sin26cos26_cos20_1

所以cos26+sin，0=

cos'6+sin20cos2+sin20cos?6+9cos*10

故答案為：—

【題組二圖像與極值(點)】

1.(2021?全國課時練習)已知函數/(x)的導函數為尸(X),函數g(x)=(x-l)/'(x)的圖象如圖所示,

則下列結論正確的是()

A./(X)在(-8,-2),(1,2)上為減函數

B./(X)在(一2,1),(2,心)上為增函數

C./(x)的極小值為/(一2),極大值為/(2)

D./(X)的極大值為/(一2),極小值為了(2)

【答案】D

【解析】根據函數g(x)=(x-l)/'(x)的圖象可知：

當尤>2時.，g(x)>0,即(x—l)/'(x)>0n,f'(x)>0,因此當x>2時，函數/(》)單調遞增；

當l<x<2時.，g(x)<0,即(x—l).f'(x)<0n/'(x)<0,因此當l<x<2B寸，函數F(x)單調遞減，顯

然當x=2,函數有極小值，極小值為了(2)；

當一2<x<l時，g(x)>0,BP(x-1)/'(x)>0=>/'(x)<0,因此當一2<x<l時，函數f(x)單調遞減;

當x<—2時，g(x)<0,即(x—l)/(x)<0n/'(x)>0,因此當刀<—2時，函數，(x)單調遞增，顯然

當x=—2,函數有極大值，極大值為了(—2),

由上可以判斷D是正確的.

故選：D

2.(2021?甘肅蘭州市?蘭州一中)設三次函數/(x)的導函數為/彳X),函數y=V'(x)的部分圖象如

下圖所示，則()

A.〃x)的極大值為〃3),極小值為/(一3)

B.的極大值為〃一3),極小值為“3)

C./(x)的極大值為6)，極小值為/卜6)

D.“X)的極大值為/(一6),極小值為/(G)

【答案】A

【解析】觀察圖像知，當x<—3H寸，y=4'(x)>0，，/'(力<0，單調遞減；

當一3cx<0時，，y=xf'(x)<0,.,./,(x)>0,/(%)單調遞增；

故當》=一3時，函數取得極小值為了(—3)；

當0<x<3時，y=xf'(x)>0,f'(x)>0,7(九)單調遞增;

當x>3時，y=?'(x)<0,；./'(x)<0,/(x)單調遞減：

故當x=3時，函數取得極大值為/(3)；

故選：A

3.(2021?全國課時練習)若函數y=/(x)可導，則"7'@)=0有實根”是“/(X)有極值”的().

A.必要不充分條件

B.充分不必要條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】/'(x)=O,但/'(無)在零點左側和右側都同時大于零或者小于零時/(%)在零點處無極值，

但/(力有極值則/'(x)在極值處一定等于0.所以“廣。)=0有實根”是“人幻有極值”的必要不充分條

件.故選：A

4.(2021?浙江高二課時練習)設/(力=；/+COSX,則函數/(x)()

A.有且僅有一個極小值B.有且僅有一個極大值

C.有無數個極值D.沒有極值

【答案】A

【解析】.f'(x)=x-sinx,7"(x)=l-cosxNO/'(x)單調遞增且/'(0)=0,

...當x<0時，/'(x)<0，函數.f(x)單調遞減，

當龍>()時，/'(x)>0,函數、(九)單調遞增,

故“X)有唯一的極小值點.故選：A.

5.(2021?全國課時練習)如圖是f(x)的導函數/(x)的圖象，則f(x)的極小值點的個數為()

【答案】A

【解析】由導函數f、(x)的圖象知

在、=一2處F(-2)=0,且其兩側導數符號為左正右負，*=-2是極大值;

在x=-l處f(-1)=0,且其兩側導數符號為左負右正，了=-1是極小值;

在了=一3處F(2)=0,且其兩側導數符號為左正右負，x=2是極大值；

所以Ax)的極小值點的個數為1,

故選：A

10.(2021?全國課時練習)下列說法正確的是()

A.當/(玉))=0時，則/(玉))為f(x)的極大值

B.當/(%)=0時，則/(玉,)為/(x)的極小值

C.當/(%)=0時，則/(玉,)為“X)的極值

D.當/(%)為了(幻的極值且尸(不)存在時，則有/''(Xo)=O

【答案】D

【解析】不妨設函數Ax)：/則可排除ABC

由導數求極值的方法知當/(%)為f(x)的極值且尸(飛)存在時，則有/(%)=0故選：D

11.(2021?陜西西安市)設函數f(x)在R上可導，其導函數為了'(X),且函數y=(l-x)/'(x)的圖像如

題(8)圖所示，則下列結論中一定成立的是

A.函數/(%)有極大值/(2)和極小值/(I)

B.函數/(x)有極大值/(-2)和極小值/⑴

C.函數/(%)有極大值/(2)和極小值/(-2)

D.函數Ax)有極大值/(一2)和極小值/(2)

【答案】D

【解析】耳一2,1-耳0,(1-力,/(大)>0則7(力>0函數/(丹增；

一-—x)/'(x)<0則/'(x)<0函數/(x)減；

1<%<2,1-%(0,(1-1)/'(》))0則/'(%)<0函數/(%)減；

%>2,1—兀<0,(1—1)/'(》)<0則/'(x)>0函數/(%)增；選D.

【題組三已知極值(點)求參數】

1.(2021?江蘇蘇州市)已知函數/(力=%3-2〃謂+加2%在產1處取得極大值，則加的值為()

A.1B.3C.1或3D.2或一2

【答案】B

22

【解析】由題意得：f'(x)=3x-4mx+m,因為在尸1處取得極大值,

所以/'(I)=3-4m+irr-0,解得m=1或加=3,

當加=1時，f(x)=3x2-4^+1=(%-1)(3%-1),

令/'(x)=0,解得x或x=l,

當xe(-8,g),(l,+oo)時，f'(x)>0,/(x)為增函數，

當時，f'(x)<0,/(幻為減函數，

所以在x=l處取得極小值，不符合題意，故舍去，

當機=3時，f'(x)=3X2-12X+9=3(X-1)(X-3),

令/'(x)=0,解得x=l或x=3,

當XW(YO,1),(3,+8)時，f\x)>0,/(X)為增函數，

當x?l,3)時，r(x)<0,f(x)為減函數,

所以在x=l處取得極大值，故機=3滿足題意

綜上加=3.

故選：B

2.(2021?四川涼山彝族自治州)若/是函數/(x)=e、一也一’的極值點，則％()

XX

A.—+lnxo=OB.xo-lnxo=O

xo

1,八

C.x0+Inx0=0D.--Inx0=0

xo

【答案】C

【解析】因為函數〃x)=ex—平―J,

所以r(x)=，+竽，

因為不是函數/(x)=e*-叱一，的極值點，

XX

所以/'(Xo)=e"+鬟=0,即々(e'。=-lnx0,

兩邊取以e為底的對數得：x0+21nx0=ln(-lnx0),

即x0+Inx0=-ln%)+111(-1117))，

令g(%)=%+ln%,即g(x°)=g(—Mx。)，

因為g'(Xo)=l+，>O,

所以g(x。)在(O,+8)上遞增，

所以Xo=Tnx(),即Xo+lnXo=O,

故選：c

3.(2021?浙江)已函/(力=，-以+4)/-三/+ax2+i,若“X)在尤=2處取得極小值，貝山的

取值范圍是()

A.B.(0,e2)C.(一8,1]D.(一oo,/)

【答案】D

【解析】0^)/(x)=(x2-4x+4)ex--x3+ar2+l,所以/"(x)=(/-2x)(e*-a),

當aVO時，/—a>0,所以/(%)在(0,2)上單調遞減，在(2,+8)上單調遞增，滿足題意；

當0<a〈l時，在x?0,+8)上e*—a>0,所以/(%)在(0,2)上單調遞減，在(2,+8)上單調遞增，滿

足題意；

當1<。</時，/(%)在(111。,2)上單調遞減，在(2,一)上單調遞增，滿足題意；

當a=e2時，/(力在(0,+向上單調遞增，不滿足題意；

當a>e2時.，”X)在(0,2)上單調遞增，在(2,Ina)上單調遞減，不滿足題意.故a的取值范圍為(―]),

故選:D.

4.(2021?湖南師大附中)己知函數/(x)=J?+3/n/+zu+/在x=_i處取得極值0,則加+〃=()

A.4B.11C.4或11D.3或9

【答案】B

即I3—=0m—\

【解析】因為/'（工）=3/+6m氏+〃，山題有〃-1)=?！痯l2八，解得V〃=3或

-14-37H-n+m=0

m=2m=lc/、2

C,檢驗：當<“一3時/'(x)=3x+6x+3=3(x+l)20,不合題意,舍掉;

n=9

—2

當《一:時，/'（x）=3d+12x+9=3（x+3）（x+l）,令尸（x）＞0,得％＜_3或犬＞一1；令/（x）＜0

n=y

得—3＜x＜—1.

所以/（X）在（—8,-3）,（―L+O））上單調遞增，在（—3,—1）上單調遞減，符合題意，則〃z+〃=2+9=ll.

故選：B.

5.（2021?四川成都市）在AABC中，a,b,。分別為NA，DB,NC所對的邊，若函數

/(x)=+"2+(/+c?-ac)x+l有極值點，則COS2JB+COS3的取值范圍是()

【答案】B

【解析】由/'(%)=》2+次+(“2+02一")，根據/(x)有極值點，

貝ijf\x)^x12+2bx+(a2+c?-ac)=0有兩個不同的實數根.

222

所以D=4b-4(a+c-ac)>0,g|J/+c2—及<ac

〃2+2_序]1

由余弦定理可得cos8=巴士~由0<3<〃，所以一1<COSB<-,

lac22

cosIB+cosB-2cos2B+cosB-1=2|cosB+—9

I4J8

1(]vQToA

由一1<COSB<-,貝ij2cosB+---6--,0

2I4j8L8)

所以cos2B+cosB的范圍是一，°)

故選：B

6.（2021?安徽宣城市）若函數/。）=/_3/+12%+1（。＞0）存在兩個極值點玉，%，則2a）+/（X2）

的取值范圍是()

A.(-oo,18)B.(9,18]C.(-oo,16]D.(-oo,16)

【答案】A

【解析】函數，。)=/-3內：2+12元+1(a>0),

/'(%)=3》2一66+12=3，-2奴+4),

由函數/(X)存在兩個極值點尤1,

(尤)=0有兩個不等實數根，

.,.A=4tz2-16>0>a>Q,

解得a>2.

且芯+工2=2。，芯工2=4.

/.X；+x；=(玉+/J—2玉%2=4a2-8

則

f(X])+/(x,)=X；-3dX|~+12X|+1+x：—+12x,+1

=(X[+工2)(x：—X|X2+)—3a(x；+x￡)+]2(x+x2)+2

=2a(4。--8—4)—3a(4a~—8)+24a+2

=-4a+24a+2>

令g(a)=-4t?+24a+2,ae(2,+a)).

.?"'(。)=-12/+24<0,

??.g(a)在ae(2,+oo)上單調遞減.

g(a)<^(2)=-4x8+24x2+2=18.

/U,)+/(x2)的取值范圍是(一8,18).

故選：A.

7.(2021?浙江高三月考)已知a力eR,若％=a不是函數/(x)=(x—a)2(x-?(e*T—1)的極小值點,則

下列選項符合的是（）

A.\<b<aB.b<a<\C.a<\<bD.a<h<\

【答案】B

【解析】令〃x)=(x-a)2(x-b)(ei-1)=0,得玉=b,X3=1.

卜面利用數軸標根法畫出/(x)的草圖，借助圖象對選項4B,C,〃逐一分析.

對選項屈^\<b<a,由圖弋尹*Z?x可知x=。是/(x)的極小值點，不合題意；

對選項尺^b<a<\,山圖、可知x=一不是"幻的極小值點,符合題意;

對選項a^a<\<b,由圖可知尤=a是/Xx)的極小值點，不合題意；

對選項〃：若a<匕W1，由圖一》可知是〃x)的極小值點，不合題意；

故選：B.

8(2021?全國高三其他模擬)已知函數/(x)=*-1：+lnx),若函數/(x)有三個極值點，則實數Z的

取值范圍為()

A.[4e,2/)U(2e2,M)B.[0,4e]

C.(4e,2e2)U(2e2,-H?)D.[0,4e)

【答案】C

【解析】/(x)=/一[g+ln龍)(x>0?H0),求導，得/(尤)=(1'*),

令/'(x)=0，得x=l,或2e2x-Ax=0.

要使fix)有三個極值點，則/'(%)=0有三個變號實根，

即方程Ze?'-京=0有兩個不等于1的變號實根.

2“2r2e2x

2e2x-far=0<=>k=——,令g(x)=——,(x>0),

xx

則g，(x)=QI"l,令g'(x)=0,得x=；.

易知g(x)min=g(g)=4e，且x->0*，g(x)f+oo；Xf+co,g(x)->+OO.

所以，當火>4e時，方程g(x)=o即2e2*一日=0有兩個變號實根,

又所以左4g⑴，即人工2e2.

綜上，Z的取值范圍是（4e,2/）U（2e2,+8）.

故選：C.

【題組四無參函數的最值】

1.（多選）（2021?江蘇泰州市）函數尸的導函數/（X）的圖象如圖所示，以下命題錯誤的是（）

C.y=f（x）在區間（-3,1）上單調遞增

D.尸f（*）在x=0處切線的斜率小于零.

【答案】BD

【解析】根據導函數圖象可知當（-8,-3）時，/（%）＜0,在xe（-3,+8）時，f\x）＞0,

.??函數了=/（了）在（-8,一3）上單調遞減，在（-3,+s）上單調遞增，故C正確；

則-3是函數尸/"（X）的極小值點，故A正確；

?.?在（-3,+s）上單調遞增，-1不是函數尸f（x）的最小值點，故B不正確；

?.?函數y=f（外在x=0處的導數大于0,.?.切線的斜率大于零，故D不正確；

故選:BD

2.（多選）（2021?廣東潮州市?高三二模）己知函數y=/（x）的導函數y=/'（x）的圖象如圖所示，則

下列結論正確的是（）

B./(e)</p)</(c)

c.X=c時，/(x)取得最大值D.x=d時，/(x)取得最小值

【答案】AB

【解析】由/'(x)圖象可知：當XG(-oo,c)U(e,+°°)時，/'(力>0；當xw(c,e)時,/(%)<0;

.??/(%)在(一8?,(%+<?)上單調遞增，在(c,e)匕單調遞減；

對于A,-：a<b<c,/./(a)</(/?)</(c),A正確；

對于B,'：c<d<e，.?./(e)</(J)</(c),B正確；

對于C,由單調性知/(c)為極大值，當龍〉e時，可能存在/(七)>/(c),C錯誤；

對于D,由單調性知/(e)</(d),D錯誤.

故選：AB.

3.(多選)(2021?山東濰坊市?高三三模)已知函數/(x)=2sinx-sin2x,則下列結論正確的是()

A.“X)的周期為2兀B.的圖象關于對稱

C.“X)的最大值為乎D.“X)在區間在(5,上單調遞減

【答案】ACD

【解析】由于/(%4-2^-)=2sin(%+2^?)-sin2(x+2TT)=2sinx-sin2x=/(x),故A正確;

由于/(乃-x)=2sin(乃一x)—sin2(7r-x)=2sinx+sin2xw/(x),

即y=/(%)的圖象不關于尤=5對稱，故B錯誤；

/z(x)=2cosx-2cos2x=2cosx-2(2cos2x-1)=Tcos2x+2cosx+2

=-4(cosx-l)(cosx+g)

2f2,

當XE一1"+2攵乃■1+2Z1,/sZ時,/(x)>0,函數單調遞增;

22%

當工￡一萬+2左肛一1"+2左乃或xwq-+2左肛乃+2左4，&wZ時，/r(x)<0,函數〃x)單調遞減;

由C項分析可知，/(尢)在[了,行")上單調遞減，故1)正確；

故選：ACD.

4.(2021?全國高考真題)函數〃x)=|2x-l|-21nx的最小值為.

【答案】1

【解析】由題設知：/(x)=|2x—1|—21nx定義域為(0,+8),

...當0cx時，/(x)=l-2x-21nx,此時/(x)單調遞減；

1?

當一時，/(x)=2x-l-21nx,有/'(x)=2--<0,此時單調遞減;

2x

2

當X>1時，/(x)=2x—l-21nx,有尸(x)=2——>0,此時/(x)單調遞增；

x

又/(%)在各分段的界點處連續，

...綜上有：O<xW10寸，f(x)單調遞減，x>l時，單調遞增；

/(x)>/(l)=l

故答案為：1.

5.(2021?江西高三二模)已知函數/(x)=x2—21nx,則/(%)在口句上的最大值是—

【答案】"2

【解析】由題意可知，XG[l,e],

er,、2、22x2—22(x—l)(x+l)

Q/(x)=x-2mx,f(JC)=2x——=--------=-----------------.

XXX

當xe[l,e]時,f'(%)>0,

12

函數/(X)在區間［l,e］上單調遞增，則/(x)max=f(e)=e-2.

故答案為：e2-2

6.(2021?湖南)函數/(x)=xsinx+cosx(0^k2］)的最小值為.

■一,?3)

【答案】——

2

【解析】/(x)=sinx+xcosx-sinA：=xcosx,.?.當XEO,g時，/(x)>OJ(x)單調遞增，當

“￡惇』時，f(x)<°，/(x)單調遞減，當工€仁，2萬)時，f(x)>O"(x)單調遞增，

/(O)=1,/佟)=T，???/(X)的最小值為一學

\2y22

【題組五已知最值求參數】

1.(2021?湖南)已知x=2是〃x)=21nx+以2—3尤的極值點，則/(x)在1,3上的最大值是()

9517

A.21n3—B.---C.-2In3---D.2In2—4

2218

【答案】A

2

【解析】由題意，/'(%)=一+2依一3且/'(2)=0,

x

1印，，/、21,%2-3x+2(x-l)(x-2)

??。二彳，貝ij/(x)=—+x—3=---------=-----------,

2xxx

???當lvxv2時，/\x)<0,/(x)單調遞減；當％<1或x>2時，/Xx)>0,/(x)單調遞增;

.?.在1),(2,3］上，“X)單調遞增；xe(l,2),/(x)單調遞減；

95

V/(3)=2In3-->/(l)=--,

19

f(x)在［一,3］上最大值是2In3一一.

32

故選：A.

2.(多選)(2021?云南)已知函數/(力=%3+3%2-9》+1,若/(力在區間(左,2］上的最大值為28,

則實數"的值可以是()

A.-5B.-4C.-3D.-2

【答案】AB

【解析】因為/(力=/+3%2-9%+1,所以/(%)=3f+6=-9,

令/(x)=3%2+6x—9=°，解得％=—3,x2=1,

所以/(九)在(-8,-3)和(1,轉)時,/(x)>0,f(x)在(―3,1)時，/(x)<0,

所以函數/(x)在(-8,-3)和(l,4w)上單調遞增，函數“X)在(—3,1)上單調遞減，

則“X)在［，2］內單調遞增，所以在［1,2］內，“2)最大；

/(X)在(—3,1)時單調遞減，所以在［—3』內，〃一3)最大；

“X)在(—,—3)時單調遞增，所以在(，》,—3)內，/(—3)最大；

因為"2)=3,/(—3)=28,且/(X)在區間化2］上的最大值為28,

所以a<—3,即4的取值范圍是(—,一3),

故選：AB.

3(2021?江西)已知函數/(幻=(/+。),有最小值，則函數丁=/'(6的零點個數為()

A.0B.1C.2D.不確定

【答案】C

【解析】由題意,f'(x)=(x2+2x+a)e',

因為函數/(x)有最小值，且爐>0,

所以函數存在單調遞減區間，即/'(x)<0有解，

所以/+2x+a=0有兩個不等實根，

所以函數〉=/'(月的零點個數為2.

故選：C.

【點睛】

本題考查了利用導數研究函數的最值，考查了運算求解能力，屬于基礎題.

4.(2021?四川眉山市)若曲線/(x)=lnx+gx在點毛))處的切線方程為丫="+。,

則R+b的

最小值為。

11

A.-1B.---C.一D.1

22

【答案】C

【解析】由/(x)=lnx+」x,則切點為

2\2

11.11

求導/0)=—+大，則切線斜率攵=一+不，

x2%，

I11]1

切線方程為丁=---(X—x0)+lnx0+—x0,即y=—I—x4~inXQ—1

【X。2J2

貝ijZ+Z?=--FInXQ—(XQ>0)

/2

令"(x)=』+lnx-L(x>0),則/(x)=L—二=,令〃，(x)=0,得x=l

x2XXXT

當Ovxvl時，u(x)<0,"(x)單調遞減；當JV>1時，uf(x)>0,〃(x)單調遞增；

故當x=l時，函數”(X)取得最小值M(1)=L,即攵+。的最小值為!

故選：C

5.(2021?西藏拉薩市?高三二模(理))設函數/(x)=e、一2%,直線丁=辦+人是曲線y/(x)的

切線，則2a+h的最大值是()

A.e-1B.-1C.2e-4D.e2-4

【答案】D

[解析】由題得f(x)=ex-2.設切點(z,/(0)，

則/(r)=e'_2r,/'(r)=e'_2；

則切線方程為y-(e'-2t)^(e'-2)(x-t)

即y=(d-2)x+d(l-r)

又因為y=改+6是曲線y=F(x)的切線

所以a=d—=f),

則2a+力=-4+3e'-fe'.

令g(')=Y+3d-te1.

則g'⑺=(2T)e'.

則有，>2時，g'⑺<0,g（。在（2,+<x>）上遞減;

f<2時，8'?）<0,8（。在（2,+00）上遞增,

所以r=2時，g⑺取最大值g（2）=T+3e2-2/=T+e2

即2。+力的最大值為《2-4.

故選：D.

2

XI7T1

6.（2021?全國高三專題練習（理））已知函數〃x）=sin2x+:---3在0,—上單調遞減，則

l266

實數加的最小值是（）

A.-V3V?---------D.6

2

【答案】D

2

sin12x+?X7t

【解析】由/（x）=-------nvc在0,-匕單調遞減,

26

得f'(x)-2cos|2x+看

-x-m<0XG0,—

6

即2cos[2x+?-x<m,

令g(x)=2cos12x+2J-xXG0,a5，則g'(x)=-4sin12x+V)—l,

71

當IE0,-時,-<2x+-<~,則244sin2x+^44,

6662I6J6

所以—5K4sin12x-i—)—14—3,即g'(x)<0,

4r~

所以g(x)在xe0,-是單調遞減函數，g(x)<g(0)lllax

得〃后，〃7的最小值為JL

故選：D.

7.(2021?上海)函數/(?=3彳-丁在[0,〃”上最大值為2,最小值為0,則實數優取值范圍為()

A.[1,V3]B.[1,+8)C.(1,6]D.(l,4w)

【答案】A

【解析】.?.?/(x)=3x-x3,.,./'(x)=3-3X2=3(1+X)(1-X),

令/'(x)=。，則x=l或一1(舍負)，

當O,,x<l時，f\x)>0.單調遞增；當％>1時，/'")<0,『(X)單調遞減.

?函數/(X)在[0,河上最大值為2,最小值為0,且/(())=/(百)=0,f(1)=2，

l<m<>/3■故選：A.

8.(2021?青海)函數y=(x—2)/+加在[0,2]上的最小值是2-e,則最大值是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】y'=ex+(x-2)ex=(x-l)ex.

因為xw[0,2],

所以