第1講函數(shù)的圖像與性質(zhì)的簡潔應(yīng)用基礎(chǔ)過關(guān)1.設(shè)a=log43,b=log0.42,c=20.4,則a,b,c的大小關(guān)系為 ()A.b<c<a B.c<b<aC.a<b<c D.b<a<c2.已知函數(shù)f(x)=3x-13x,則f(x) ()A.是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù)B.是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù)D.是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù)3.已知a=30.3,b=123,c=log56,則 ()A.a>b>c B.c>b>aC.a>c>b D.b>a>c4.下列函數(shù)中,值域是R且是奇函數(shù)的是 ()A.y=x3+1 B.y=sinxC.y=x-x3 D.y=2x5.已知f(x)是R上的奇函數(shù)且單調(diào)遞增,則下列函數(shù)中是偶函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞增的有 ()①g(x)=|f(x)|;②h(x)=f(x2+x);③m(x)=f(|x|);④n(x)=ef(x)+e-f(x).A.①②③ B.①③④C.②③④ D.①②④6.已知如下六個函數(shù):y=x,y=x2,y=lnx,y=2x,y=sinx,y=cosx,從中選出兩個函數(shù)記為f(x)和g(x),若F(x)=f(x)+g(x)的圖像如圖X1-1所示,則F(x)= ()圖X1-1A.x2+cosx B.x2+sinxC.2x+cosx D.2x+sinx7.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,若f(2)=3,則滿意f(x+1)<3的x的取值范圍是 ()A.(-∞,-2)∪(0,2) B.(-2,2)C.(-∞,-3)∪(0,1) D.(-3,1)8.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿意f(2+x)=f(2-x),當(dāng)x∈[0,2]時,f(x)=2-x.設(shè)函數(shù)g(x)=e-|x-2|(-2≤x≤6),則f(x)和g(x)的圖像全部交點的橫坐標(biāo)之和為 ()A.8 B.6 C.4 D.29.已知函數(shù)f(x)=ex-1ex+1cos(3x+α),α∈[0,π],則f(x)的圖像圖X1-210.對?a,b∈R,若函數(shù)f(x)同時滿意:(1)當(dāng)a+b=0時,有f(a)+f(b)=0;(2)當(dāng)a+b>0時,有f(a)+f(b)>0,則稱f(x)為Ω函數(shù).給出下列函數(shù):①f(x)=x-sinx;②f(x)=ex-e-x;③f(x)=ex+e-x;④f(x)=0,x=0,-1xA.①② B.②③C.③④ D.①④11.已知f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數(shù),且f(-2)=2f(8)+1,則f(2024)的值為.

12.已知定義域為R的函數(shù)f(x)=μ+2λex+λexx213.一種藥在病人血液中的含量保持在1500毫克以上才有療效,當(dāng)含量低于500毫克時,病人就會有危急.現(xiàn)給某病人靜脈注射了這種藥2500毫克,假如藥在血液中以每小時20%的比例衰減,為了充分發(fā)揮藥物的價值,那么從現(xiàn)在起約經(jīng)過小時后再向病人的血液中補充這種藥才能保持療效.(附:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,精確到0.1小時)

14.如圖X1-3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,邊長為2的正方形ABCD沿x軸滾動(無滑動滾動),點D恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點,設(shè)頂點B(x,y)的軌跡方程是y=f(x),則f(19)=.

圖X1-3實力提升15.已知某函數(shù)的圖像如圖X1-4所示,則該函數(shù)的解析式可能是 ()圖X1-4A.y=sin(ex+e-x) B.y=sin(ex-e-x)C.y=cos(ex-e-x) D.y=cos(ex+e-x)16.已知對?x∈R,函數(shù)f(x)滿意f(x+2)=f(-x),f(x+1)=f(x)f(x+2),且f(x)>0,若f(1)=4,則f(2024)+f(2024)= ()A.34 B.C.52 D.17.把方程x|x|16+y|y|9=-1表示的曲線作為函數(shù)①y=f(x)在R上單調(diào)遞減;②y=f(x)的圖像關(guān)于原點對稱;③y=f(x)的圖像上的點到坐標(biāo)原點的距離的最小值為3;④函數(shù)g(x)=4f(x)+3x不存在零點.其中正確的結(jié)論是 ()A.①③ B.①②③C.①③④ D.①②③④18.若函數(shù)f(x)的圖像上存在不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2),其坐標(biāo)滿意條件|x1x2+y1y2|-x12+y12x22+y2①f(x)=x+1x(x>0②f(x)=lnx(0<x<e);③f(x)=cosx;④f(x)=x2-1.其中是“柯西函數(shù)”的為 ()A.①② B.③④ C.①③ D.②④19.若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿意f(2+x)=f(x),且在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),f(1)=1,f(0)=-1,現(xiàn)有下列結(jié)論:①曲線y=f(x)關(guān)于直線x=1對稱;②曲線y=f(x)關(guān)于點32,0對稱;③f(x)在區(qū)間[3,4]上是減函數(shù);④f(x)在區(qū)間(-4,4)內(nèi)有8個零點.其中肯定正確的結(jié)論是 ()A.①③ B.②④C.①③④ D.②③④20.對于函數(shù)f(x)=2sinx-2-sinx,有如下結(jié)論:①f(x)在R上是奇函數(shù);②π是f(x)的一個周期;③π2為f(x)的一個極大值點④f(x)在區(qū)間-π2,π2上單調(diào)遞增.其中全部正確結(jié)論的序號是.

限時集訓(xùn)(一)1.D[解析]∵0=log41<log43=a<log44=1,b=log0.42<log0.41=0,c=20.4>20=1,∴b<a<c.故選D.2.A[解析]函數(shù)f(x)=3x-13x的定義域為R,且f(-x)=3-x-13-x=-3x+13x=-3x-13x=-f(x),故函數(shù)f(x)是奇函數(shù).因為y=3x,y=-13x在R上都是增函數(shù),所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).故選A.3.C[解析]∵30.3>30=1,∴a>1.∵0<123<121=12,∴0<b<12.∵log56>log55=12,且log56<log55=1,∴12<c<1,∴a>c>b.故選4.C[解析]對于A,y=x3+1不是奇函數(shù),不符合題意;對于B,y=sinx為正弦函數(shù),是奇函數(shù),但值域不是R,不符合題意;對于C,y=f(x)=x-x3,則f(-x)=(-x)-(-x)3=-(x-x3)=-f(x),該函數(shù)為奇函數(shù),其值域為R,符合題意;對于D,y=2x是指數(shù)函數(shù),不是奇函數(shù),不符合題意.故選C.5.B[解析]因為f(x)是R上的奇函數(shù)且單調(diào)遞增,所以當(dāng)x>0時,f(x)>f(0)=0.對于①,g(-x)=|f(-x)|=|f(x)|=g(x),且當(dāng)x>0時,g(x)=|f(x)|=f(x)單調(diào)遞增,符合題意;對于②,h(-x)=f(x2-x)≠h(x),不合題意;對于③,m(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=m(x),且當(dāng)x>0時,m(x)=f(x)單調(diào)遞增,符合題意;對于④,n(-x)=ef(-x)+e-f(-x)=e-f(x)+ef(x)=n(x),且當(dāng)x>0時,f(x)>0,ef(x)>1,依據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可知n(x)=ef(x)+e-f(x)單調(diào)遞增,符合題意.故選B.6.D[解析]利用解除法.函數(shù)y=x2+cosx為偶函數(shù),題中所給函數(shù)圖像不關(guān)于y軸對稱,選項A錯誤;當(dāng)x=0時,x2+sinx=0≠1,選項B錯誤;當(dāng)x=0時,2x+cosx=1+1=2≠1,選項C錯誤.故選D.7.D[解析]因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù),所以f(-2)=f(2)=3,所以f(x+1)<3等價于f(|x+1|)<f(2).因為f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以|x+1|<2,即-2<x+1<2,解得-3<x<1,即滿意條件的x的取值范圍是(-3,1).故選D.8.A[解析]由偶函數(shù)f(x)滿意f(2+x)=f(2-x)可得f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱.在f(2+x)=f(2-x)中,以2+x替換x,得f(4+x)=f(-x)=f(x),則函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù).函數(shù)g(x)=e-|x-2|(-2≤x≤6)的圖像也關(guān)于直線x=2對稱.作出函數(shù)f(x)的圖像與函數(shù)g(x)=e-|x-2|(-2≤x≤6)的圖像,如圖所示.由圖可知兩個函數(shù)的圖像有四個交點,且兩兩關(guān)于直線x=2對稱,則f(x)與g(x)的圖像全部交點的橫坐標(biāo)之和為8.故選A.9.B[解析]令g(x)=ex-1ex+1,h(x)=因為g(-x)=e-x-1e-x+1=1-ex當(dāng)α=π2時,h(x)=-sin3x,為奇函數(shù)此時,f(x)為偶函數(shù),f(x)=-ex-1ex+1sin3x,當(dāng)x∈0,π3時,f(x)<0,所以f(當(dāng)α=0或α=π時,h(x)=cos3x或h(x)=-cos3x,h(x)為偶函數(shù),此時,f(x)為奇函數(shù),f(x)=ex-1ex+1cos3x或f(若f(x)=ex-1ex+1cos3x,則當(dāng)x∈0,π6時,f(x)>0,所以f(若f(x)=-ex-1ex+1cos3x,則當(dāng)x∈0,π6時,f(x)<0,所以f(f(x)的圖像不行能為選項B,故選B.10.A[解析]若f(x)為Ω函數(shù),則對?a,b∈R,當(dāng)a+b=0時,有f(a)+f(b)=0,即f(-a)=-f(a),則f(x)為R上的奇函數(shù).當(dāng)a+b>0時,有f(a)+f(b)>0,即當(dāng)a>-b時,f(a)>-f(b)=f(-b),可得f(x)為R上的增函數(shù).對于①,f(x)=x-sinx,定義域為R,f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sinx=-(x-sinx)=-f(x),即f(x)為奇函數(shù).由f'(x)=1-cosx≥0,可得f(x)為R上的增函數(shù),故①是Ω函數(shù).對于②,f(x)=ex-e-x,定義域為R,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),即f(x)為奇函數(shù).由f'(x)=ex+e-x>0,可得f(x)為R上的增函數(shù),故②是Ω函數(shù).對于③,f(x)=ex+e-x,定義域為R,f(-x)=e-x+ex=f(x),可得f(x)為偶函數(shù),故③不是Ω函數(shù).對于④,f(x)=0,x=0,-1x,x≠0,定義域為R,當(dāng)x≠0時,f(-x)=-1-x=1x=-f(x),可得f(x)為奇函數(shù).f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上分別單調(diào)遞增,但在R上不為增函數(shù),比如f(-11.13[解析]因為函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數(shù),所以f(-2)=f(1),f(8)=f(-1)=-f(1),又f(-2)=2f(8)+1,所以f(1)=-2f(1)+1,則f(1)=13,所以f(2024)=f(673×3+1)=f(1)=12.-2[解析]f(x)=μ+2λex+λe若λ<0,則函數(shù)f(x)無最小值,不合題意;若λ>0,則函數(shù)f(x)無最大值,不合題意.所以λ=0,則f(x)=μ+2020sinx則f(x)+f(-x)=μ+2020sinx2+x2+μ+2020sin所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(0,μ)對稱,則f(x)max+f(x)min=4=2μ,則μ=2,故λ-μ=-2.13.2.3[解析]設(shè)經(jīng)過x小時后再向病人的血液中補充這種藥,則經(jīng)過x小時后血液中的含藥量y(毫克)與時間x(小時)之間的關(guān)系式為y=2500(1-20%)x.依題意可得2500(1-20%)x≤1500,整理可得45x≤35,所以log4545x≥log4535,即又log4535=log810610=lg610lg810=lg6-故從現(xiàn)在起約經(jīng)過2.3小時后再向病人的血液中補充這種藥才能保持療效.14.3[解析]由題意,當(dāng)-4≤x<-2時,頂點B(x,y)的軌跡是以點(-2,0)為圓心,以2為半徑的14圓當(dāng)-2≤x<2時,頂點B(x,y)的軌跡是以點(0,0)為圓心,以22為半徑的14圓當(dāng)2≤x<4時,頂點B(x,y)的軌跡是以點(2,0)為圓心,以2為半徑的14圓當(dāng)4≤x<6時,頂點B(x,y)的軌跡是以點(4,0)為圓心,以2為半徑的14圓,與-4≤x<-2時的形態(tài)相同所以函數(shù)f(x)的周期是8,所以f(19)=f(3)=3.15.D[解析]由圖可知,當(dāng)x=0時,y<0.當(dāng)x=0時,y=sin(ex+e-x)=sin2>0,故解除A;當(dāng)x=0時,y=sin(ex-e-x)=sin0=0,故解除B;當(dāng)x=0時,y=cos(ex-e-x)=cos0=1>0,故解除C;當(dāng)x=0時,y=cos(ex+e-x)=cos2<0,滿意題意.故選D.16.A[解析]依據(jù)題意,f(x+1)=f(x)f(x+2),則有f(x+2)=f(x+1)f(x+3),變形可得f(x+2)=f(x)f(x+2)f(x+3),又f(x)>0,所以f(x)f(x+3)=1,變形可得f(x+3)=1f則有f(x+6)=1f(x+3)=f(x),即函數(shù)f(x則f(2024)=f(3+336×6)=f(3),f(2024)=f(4+336×6)=f(4),則f(2024)+f(2024)=f(3)+f(4).對于f(x+3)=1f(x),令x=1,可得f(4)=對于f(x+1)=f(x)f(x+2)和f(x+2)=f(-x),令x=0,可得f(1)=f(0)f(2)=4且f(0)=f(2),又f(x)>0,所以f(0)=f(2)=2,則f(3)=1f(0故f(2024)+f(2024)=f(3)+f(4)=12+14=故選A.17.C[解析]x|x|16+y|y|9=-1,當(dāng)x≥0當(dāng)x≥0,y≤0時,y29-x2當(dāng)x≤0,y≥0時,x216-y2當(dāng)x≤0,y≤0時,x216+y2畫出y=f(x)的圖像,如圖所示.由圖可知y=f(x)在R上單調(diào)遞減,故①正確,②錯誤.由圖可知,當(dāng)y=f(x)圖像上的點到原點的距離最小時,該點應(yīng)在x≤0,y≤0時的圖像上,即滿意x216+y29=1,設(shè)該段圖像上的點P的坐標(biāo)為(則|PO|=x2+y2=x2+9(1-x216)=716x2由g(x)=4f(x)+3x=0,得f(x)=-34x,函數(shù)g(x)=4f(x)+3x的零點就是函數(shù)y=f(x)的圖像和直線y=-34x的交點的橫坐標(biāo),而直線y=-34x是曲線y29-x216=1,x≥0,y≤0和曲線x216-y29=1,由圖像可知,直線y=-34x和曲線x216+y29=1,x≤0,所以函數(shù)g(x)=4f(x)+3x不存在零點,故④正確.故選C.18.B[解析]由柯西不等式得,對隨意實數(shù)x1,y1,x2,y2,|x1x2+y1y2|-x12+y12x22+y22≤0恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)x1y2=x2y1時取等號.若函數(shù)f(x)的圖像上存在不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2),其坐標(biāo)滿意條件|x1x2+y1y2|-x12+y12x22+y22的最大值為0,則函數(shù)f(x)的圖像上存在不同的兩點A(x1,y1),B對于①,由kx=x+1x(x>0),得(k-1)x2=1(x>0),該方程最多有1個根,所以①不是“柯西函數(shù)”;對于