試卷第=page22頁，共=sectionpages33頁2020-2021學年遼寧省沈陽市五校高一6月聯考數學試題一、單選題1．（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導公式化簡求值.【詳解】.故選：B【點睛】本題主要考查誘導公式化簡求值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.2．設i為虛數單位，則復數的虛部為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先對復數化簡，再求其虛部即可【詳解】解：，所以復數的虛部為.故選：B.3．用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸．已知四邊形ABCD的面積為cm2，則原平面圖形的面積為()A．4cm2 B．cm2 C．8cm2 D．cm2【答案】C【詳解】分析：由題意結合斜二測畫法的法則整理計算即可求得原圖形的面積.詳解：設斜二測畫法中梯形的上底為長度，下底長度為，，則梯形的面積為：，則，原平面圖形是一個梯形，且上底為長度，下底長度為，高為，其面積為：.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查斜二測畫法，梯形的面積公式等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.4．若圓的半徑為4，a、b、c為圓的內接三角形的三邊，若abc＝16，則三角形的面積為()A．2 B．8 C． D．【答案】C【詳解】試題分析：由正弦定理可知，∴，∴．【解析】正弦定理的運用．5．已知圓錐的表面積為，它的側面展開圖是一個半圓，則此圓錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線為l，根據其表面積為，得到，再由它的側面展開圖是一個半圓，得到，聯立求得半徑和高，利用體積公式求解.【詳解】設圓錐的底面半徑為r，高為h，母線為l，因為其表面積為，所以，即，又因為它的側面展開圖是一個半圓，所以，即，所以，所以此圓錐的體積為.故選：A【點睛】本題主要考查圓錐的表面積和體積的計算以及側面展開圖問題，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.6．如圖，兩座燈塔A和B與河岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的（）A．北偏東10° B．北偏西10° C．南偏東80° D．南偏西80°【答案】D【分析】題目考察簡單的方位問題，要求燈塔A在燈塔B的方位，則在B處建立方位線，如圖中的兩條虛線所示，則求出即可【詳解】∵，∴，∵，∴，∴，∴燈塔A在燈塔B的南偏西故選：D7．直三棱柱，，，，分別為2，3，4，則它的外接球表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】結合直三棱柱的特點，底面為直角三角形，則側面的對角線為外接球的直徑，即可求出球的半徑，得到表面積.【詳解】根據題意可知，直三棱柱底面為直角三角形，斜邊為BC，則側面的對角線為外接球的直徑，，則半徑為，外接球表面積為.故選：B8．已知，將的圖象向右平移了個單位，再向上平移1個單位，得到的圖象，若對任意實數，都有成立，則A． B．1 C． D．0【答案】B【詳解】化簡，將的圖象向右平移了個單位，再向上平移1個單位，得到，所以，又對任意實數，都有成立，則關于對稱，所以為平衡位置處，所以1.二、多選題9．在中，角，，的對邊分別為，，，向量，，若，且，則（）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】首先根據向量數量積的坐標表示，化簡得，再根據正弦定理，化簡變形，求角.【詳解】由條件可知，，即，，所以，因為，根據正弦定理可知，，即，因為，所以，，即，所以，.故選：ACD10．已知函數，則下列結論正確的是（）A．函數的最小正周期為B．函數的圖象關于點對稱C．函數的圖象關于直線對稱D．若實數使得方程在上恰好有三個實數解，則一定有【答案】ACD【分析】首先利用三角函數關系式的變換，把函數的關系式變形成正弦型函數，進一步利用函數的性質的應用求出結果．【詳解】,故函數的最小正周期為,故正確;當時,故錯誤;當時,故正確;當實數時,使得方程在上恰好有三個實數解則一定有,故正確.故選:.【點睛】本題考查正弦型函數的周期性、奇偶性和對稱性，難度一般.11．八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，則下列結論正確的有（）A．B．C．D．在向量上的投影為【答案】AB【分析】直接利用向量的數量積的應用，向量的夾角的應用求出結果．【詳解】圖2中的正八邊形，其中，對于；故正確．對于，故正確．對于，，但對應向量的夾角不相等，所以不成立．故錯誤．對于在向量上的投影，，故錯誤．故選：．【點睛】本題考查的知識要點：向量的數量積的應用，向量的夾角的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于中檔題．12．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，給出下列命題，其中正確的命題為（）A．若，則；B．若，則滿足條件的有兩個；C．若，則是鈍角三角形；D．存在角A，B，C，使得成立；【答案】ABC【分析】A.利用正弦定理判斷該選項正確；B.由于，因此滿足條件的有兩個，所以該選項正確；C.可以證明，是鈍角三角形，所以該選項正確；D.可以證明，所以該選項不正確.【詳解】A.若，，由正弦定理可得：，則，所以該選項正確；B.若，，，則，因此滿足條件的有兩個，所以該選項正確；C.若，則，，，，是鈍角三角形，所以該選項正確；D.由于當時，，，所以該選項不正確.故選：ABC【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是靈活利用和角的正切公式，只有靈活運用該公式才能簡潔高效地判斷后面兩個選項的真假.三、填空題13．若向量與的夾角為，則__________.【答案】【分析】先將平方，根據向量的夾角和模長計算出結果，再通過開根號求解出的值.【詳解】因為，所以，故答案為：.【點睛】思路點睛：已知求解的步驟：（1）先計算，結合計算出結果；（2）將的結果開根號即為的值.14．已知一個正四棱臺的上、下底面的邊長分別為1和2，其側面積恰等于兩底面積之和，則該正四棱臺的高為___________．【答案】.【分析】利用棱臺的高、斜高、邊心距構成直角梯形，即可求出．【詳解】設正四棱臺的高、斜高分別為h，x．所以，解得．再根據棱臺的高、斜高、邊心距構成直角梯形，可得，解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查正四棱臺的結構特征的應用，屬于基礎題．15．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，的平分線交AC于點D，且，則的最小值為________．【答案】32【分析】根據面積關系建立方程關系，結合基本不等式1的代換進行求解即可．【詳解】如圖所示，則△ABC的面積為，即ac=2a+2c，得，得，當且僅當，即3c=a時取等號；∴的最小值為32.故答案為：32.【點睛】本題考查三角形中的幾何計算，屬于中等題.四、雙空題16．在我國古代數學名著《九章算術》中，把底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵．如圖，現在一塹堵，，，則線段的長度為______；點在棱上運動，則的周長的最小值為______．【答案】3【分析】利用勾股定理可求的長度，把側面展開，利用側面展開圖可求的周長的最小值.【詳解】由塹堵的定義可知，所以，所以．，所以最小時，的周長最小，將面與面展開在一個平面內，如圖：連接，與的交點即為，則此時最小，此時，所以，所以周長的最小值為．故答案為：.五、解答題17．設復數問當實數取何值時：(1)是純虛數；(2)對應的點在復平面的第四象限.【答案】(1)；(2)【分析】(1)根據純虛數的定義,得到等式和不等式,這樣可以求出實數的值；(2)根據復平面第四象限點的坐標特征,列出不等式組,解不等式組即可求出實數的取值范圍.【詳解】(1)因為復數純虛數,所以；(2)因為對應的點在復平面的第四象限,所以【點睛】本題考查了純虛數的定義,考查了根據復數對應點在復平面的位置求參數問題,考查了數學運算能力.18．如圖，在棱長為的正方體中，截去三棱錐，求（1）截去的三棱錐的表面積；（2）剩余的幾何體的體積.【答案】（1）；（2）【分析】（1）三棱錐中是邊長為的等邊三角形，、、都是直角邊為的等腰直角三角形，計算四個三角形面積之和即可求解.（2）正方體的體積減去三棱錐的體積即得剩余的幾何體的體積.【詳解】（1）由正方體的特點可知三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，、、都是直角邊為的等腰直角三角形，所以截去的三棱錐的表面積（2）正方體的體積為，三棱錐的體積為，所以剩余的幾何體的體積為.19．在△中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足，，.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求邊的長：（Ⅲ）求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）根據正弦定理化簡求出正切即可求解；（Ⅱ）由余弦定理直接計算即可；（Ⅲ）由二倍角的正余弦公式及兩角差的余弦公式求解即可.【詳解】因為，所以由正弦定理得：，即，又所以（Ⅱ）由余弦定理得：，所以（Ⅲ）由余弦定理得：，所以，所以所以20．在四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求四邊形的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中，先由余弦定理解得，在中，由正弦定理得解得；（2）設，因為，解得，從而利用和差角公式求得，在中，由正弦定理解得，利用面積公式分別求出和，即可求得四邊形的面積.【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理得，解得.在中，由正弦定理得，即，解得.（2）設，因為，所以，所以.因為，所以，因為，所以，在中，由正弦定理得，解得.所以，，∴四邊形的面積為.21．在銳角三角形中，，，分別是角，，的對邊，，且．（1）求的大小；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）4．【分析】（1）根據正弦的和角公式化簡得，再由正弦定理可求得答案．（2）由正弦定理得，再根據角的范圍和三角函數的性質可求得的最大值．【詳解】解：（1）因為，所以，由正弦定理得，因為，所以，因為為銳角，所以．（2）由正弦定理得，，，，因為所以，，所以，故的最大值4．【點睛】方法點睛：（1）在解三角形中，如果題設條件是關于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡該條件；（2）如果題設條件是關于邊的齊次式或是關于內角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡該條件；（3）如果題設條件是邊和角的混合關系式，那么我們也可把這種關系式轉化為角的關系式或邊的關系式.（4）與三角形有關的最值問題，我們可以利用基本不等式來求最值或利用正弦定理把邊轉化為關于角的三角函數式，再利用三角變換和正弦函數、余弦函數的性質求最值或范圍.22．已知向量，，設函數.（1）求函數的最大值；（2）已知在銳角中，角，，所對的邊分別是，，，且滿足，的外接圓半徑為，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據平面向量數量積的坐標運算,求得函數的解析式,再由降冪公式及輔助角公式化簡,即可求得的最大值;（2）根據,代入后結合正弦和角公式及正弦定理展開化簡,即可求得角.結合正弦定理,將邊轉化為角的表達式,結合三角形面積公式,即可