滬科版八年級(jí)上第15章軸對(duì)稱圖形與等腰三角形集訓(xùn)課堂練素養(yǎng)4.“手拉手”(共頂點(diǎn))模型的等腰三角形對(duì)于“手拉手”的兩個(gè)等腰直角三角形，如圖①所示，有下

面的結(jié)論：(1)△

ADG

≌△

CDE

；(2)

AG

＝

CE

；(3)

AG

與

CE

的夾角是

90°；(4)

HD

平分∠

AHE

.

當(dāng)兩個(gè)等腰直角三角形變?yōu)檎叫螘r(shí)，如圖②所示，上面的結(jié)論依然成立.模型1

共頂點(diǎn)的等腰直角三角形1.

已知△

ACB

和△

DCE

都是等腰直角三角形，∠

ACB

＝∠

DCE

＝90°，連接

AE

，

BD

交于點(diǎn)

O

，

AE

與

DC

交于點(diǎn)

M

，

BD

與

AC

交于點(diǎn)

N

.

(1)如圖①，求證：

AE

＝

BD

；12

12(2)如圖②，若

AC

＝

DC

，在不添加任何輔助線的情況

下，請(qǐng)直接寫出四對(duì)全等的直角三角形.【解】△

ACB

≌△

DCE

，△

EMC

≌△

BNC

，△

AON

≌△

DOM

，△

AOB

≌△

DOE

.

12【點(diǎn)方法】如果兩個(gè)等腰三角形共頂點(diǎn)且頂角相等，那么會(huì)

得到一對(duì)全等三角形，且改變兩個(gè)三角形的相對(duì)位置

并不會(huì)改變?nèi)切蔚娜汝P(guān)系.12模型2

共頂點(diǎn)的等邊三角形2.

如圖，在等邊三角形

ABC

的邊

AC

的延長線上取一點(diǎn)

E

，

以

CE

為邊作等邊三角形

CDE

，使

B

，

D

在

AE

的同側(cè)，

AD

與

BE

交于點(diǎn)

O

，

AD

與

BC

交于點(diǎn)

P

，

BE

與

CD

交于

點(diǎn)

Q

，連接

PQ

，

OC

.

(1)求證：△

ACD

≌△

BCE

.

12【證明】∵△

ABC

和△

DCE

都是等邊三角形，∴

BC

＝

AC

，

CE

＝

DC

，∠

BCA

＝

∠

DCE

＝60°，∴∠

ACD

＝∠

BCE

.

在△

ACD

和△

BCE

中，∵

AC

＝

BC

，∠

ACD

＝∠

BCE

，

DC

＝

EC

，∴△

ACD

≌△

BCE

(

SAS

).12(2)∠

AOB

的度數(shù)為

?.60°

【點(diǎn)撥】∵△

ACD

≌△

BCE

，∴∠

DAC

＝∠

CBE

.

∵∠

ACB

＝∠

DCE

＝60°，∴∠

BCD

＝60°.∵△

DCE

是等邊三角形，∴∠

EDC

＝60°＝∠

BCD

，∴

BC

∥

DE

，∴∠

CBE

＝∠

DEO

，∴∠

DAC

＝∠

DEO

，∴∠

AOB

＝∠

DAC

＋∠

BEC

＝∠

DEO

＋∠

BEC

＝∠

DEC

＝60°.12(3)寫出圖中其他的2對(duì)全等三角形，并選一對(duì)說明理由.【解】△

ACP

≌△

BCQ

，△

CQE

≌△

CPD

.

選擇證明△

ACP

≌△

BCQ

，過程如下：∵∠

BCQ

＝60°，∴∠

ACB

＝∠

BCQ

＝60°.在△

ACP

與△

BCQ

中，∵∠

CAP

＝∠

CBQ

，

AC

＝

BC

，∠

ACP

＝∠

BCQ

，∴△

ACP

≌△

BCQ

(

ASA

).(答案不唯一)12(4)猜想

PQ

和

AE

的位置關(guān)系，并說明理由.【解】

PQ

∥

AE

.

理由如下：∵△

ACP

≌△

BCQ

，∴

PC

＝

QC

.

又∵∠

BCD

＝60°，∴△

PCQ

是等邊三角形，∴∠

CPQ

＝60°，∴∠

ACB

＝∠

CPQ

，∴

PQ

∥

AE

.

12(5)求證：

OC

平分∠

AOE

.

【證明】如圖，過點(diǎn)

C

分別作

CM

⊥

OA

于點(diǎn)

M

，

CN

⊥

OE

于點(diǎn)

N

，則∠

AMC

＝∠

CNB

＝∠

OMC

＝90°.在△

MAC

和△

NBC

中，∵∠

AMC

＝∠

BNC

，∠

MAC

＝∠

NBC

，

AC

＝

BC

，12∴△

MAC

≌△

NBC

(

AAS

)，∴

MC

＝

NC

.

在Rt△

MOC

和Rt△

NOC

中，∵