第二章自動控制系統的數學模型第一節系統的微分方程、傳遞函數、動態結構圖第二節典型環節第三節自動控制系統的方框圖及系統閉環傳遞函數的求取第四節自動調節器的基本動作規律

小結課題：

第一節系統的微分方程、傳遞函數、動態結構圖目的、要求：1、掌握運用微分方程建立數學模型的步驟和方法；2、掌握傳遞函數的定義、一般表達式和主要性質；3、熟悉動態結構圖（方框圖）的基本組成。重點：運用微分方程建立數學模型1.數學模型：

描述系統輸入、輸出變量以及內部各變量之間關系的數學表達式。2.建模方法：解析法（理論推倒法）實驗法（實驗辨識法）3.常用數學模型微分方程（或差分方程）傳遞函數（或結構圖）頻率特性狀態空間表達式（或狀態模型）（現代控制理論課程

）

數學模型線性系統的數學模型能用線性微分方程描述其輸入輸出關系的系統為線性系統。大多數控制系統在一定的限制條件下，用線性微分方程來描述。本節要點：用微分方程的方法建立系統數學模型，其實質是根據系統內部機理建模，并由此了解常用數學模型的特點。線性定常系統微分方程的一般形式系統輸入量系統輸出量若為常系數，上式描述的系統為定常系統若為時間的函數（或其中之一），為線性時變系統輸出信號、輸入信號的最高求導次數下列各式是描述系統的微分方程，其中c(t)為輸出量，r(t)為輸入量，試判斷哪些是線性定常或時變系統，哪些是非線性系統?系統微分方程

自動控制系統中最基本的數學模型

建立微分方程式的一般步驟是：①確定系統的輸入量和輸出量。②根據各元件或環節所遵循的物理規律，依次列寫它們的微分方程。③將各元件或環節的微分方程聯立起來消去中間變量，求取一個僅含有系統的輸入量和輸出量的微分方程，它就是系統的微分方程。④將該方程整理成標準形式。微分方程建立舉例(1)【例2-1】RC電路（1）確定輸入、輸出量輸入量為電壓，輸出量為電壓。（2）根據基爾霍夫定律，列出原始微分方程（2-1）（2-2）（3）消除中間變量

(2-3)

（4）整理為標準形式)(2-4)一階常系數線性微分方程微分方程建立舉例(2)【例2-2】機械位移系統（1）確定輸入、輸出量設外作用力為輸入量，質量物體的位移為輸出量。（2）建立微分方程組根據牛頓第二定律可得:

(2-5)

(2-6)

(2-7)

(2-8)

微分方程建立舉例(2)續（3）消除中間變量將式（2-6），（2-7），（2-8）代入（2-5），得

(2-9)

（4）將式子標準化

(2-10)機械位移系統是一個二階常系數線性微分方程。所示為兩個形式相同的RC電路串聯而成的濾波網絡。試寫出以輸出電壓u2和輸入電壓u1為變量的濾波網絡的微分方程。根據克希荷夫定律，可寫出下列原始方程式：微分方程建立舉例(3)【例2-3】列寫RLC電路中輸入電壓與輸出電壓關系的微分方程（1）確定輸入、輸出量輸入量為電壓Ui，輸出量為電壓Uo。（2）列寫原始微分方程組(2-12)(2-13)設無源網絡如圖所示。設該網絡的初始條件為零，試求其微分方程。并說明該網絡是否等效于RC和RL兩個網絡的串聯。微分方程建立舉例(4)例2-4求單容水箱液位H與輸入流量Qi的系統動態方程。單容水箱（1）確定輸入、輸出量輸入量為流入量Qi，輸出量液面高度H。（2）根據物質守恒定律，列出微分方程（3）消除中間變量并將式子標準化處理得解：其數學模型是一個一階常系數線性微分方程。微分方程建立舉例(5)求容器2的液面高度H2對容器1輸入流量Q1的動態方程。容器2（1）確定輸入、輸出量輸入量為流入量Q1，輸出量液面高度H2。（2）根據物質守恒定律及流量近似公式，列出微分方程（3）消除中間變量并將式子標準化處理得二階常系數線性微分方程傳遞函數

自動控制系統中最常用的數學模型

傳遞函數是在用拉氏變換求解微分方程的過程中引伸出來的概念。傳遞函數的定義為：在初始條件為零時，輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。即

初始條件為零，一般是指輸入量在t=0時刻以后才作用于系統，系統的輸入量和輸出量及其各階導數在t≤時的值也均為零。傳遞函數的一般表達式

如果系統的輸入量為，輸出量為，并由下列微分方程描述

在初始條件為零時，對方程兩邊進行拉氏變換并整理得（2-25）

、—傳遞函數的分子、分母多項式傳遞函數具有以下特點：

（1）傳遞函數的分母反映了由系統的結構與參數所決定的系統的固有特性，而其分子則反映了系統與外界之間的聯系。

（2）當系統在初始狀態為零時，對于給定的輸入，系統輸出的Laplace變換完全取決于其傳遞函數。但是，一旦系統的初始狀態不為零，則傳遞函數不能完全反映系統的動態歷程。

（3）傳遞函數分子中s的階次不會大于分母中s的階次。

（4）傳遞函數有無量綱和取何種量綱，取決于系統輸出的量綱與輸入的量綱。

（5）不同用途、不同物理元件組成的不同類型系統、環節或元件，可以具有相同形式的傳遞函數。

（6）傳遞函數非常適用于對單輸入、單輸出線性定常系統的動態特性進行描述。但對于多輸入、多輸出系統，需要對不同的輸入量和輸出量分別求傳遞函數。另外，系統傳遞函數只表示系統輸入量和輸出量的數學關系（描述系統的外部特性），而未表示系統中間變量之間的關系（描述系統的內部特性）。

求單容水箱系統液位H1與輸入流量Qi動態方程的傳遞函數已知動態方程是：令對上式兩邊進行拉氏變換并化簡得：最后整理得傳遞函數及方框圖如下：求雙容水箱系統液位與輸入流量動態方程關系的傳遞函數。系統的動態方程是：將、代入上式得：兩邊進行拉氏變換得：整理得：傳遞函數的性質（一）①傳遞函數是由微分方程變換得來的，它和微分方程之間存在著一一對應的關系。對于一個確定的系統，則它的微分方程是唯一的，所以，其傳遞函數也是唯一的。②傳遞函數是復變量s的有理分式，s是復數，而分式中的各項系數都是實數，它們是由組成系統的元件的參數構成的。傳遞函數的分母反映了由系統的結構與參數所決定的系統的固有特性，而其分子則反映了系統與外界之間的聯系。是一種用象函數來描述系統的數學模型，稱為系統的復數域模型（以時間為自變量的微分方程，則稱為時間域模型）。傳遞函數的性質（二）③傳遞函數是一種運算函數。由可得。④傳遞函數的分母多項式等于零[]，即為微分方程的特征方程，而特征方程的根反映了系統動態過程的性質，所以由傳遞函數可以研究系統的動態特性。特征方程的階次n即為系統的階次。通常n≥m。⑤傳遞函數是一種數學模型，因此對不同的物理模型，它們可以有相同的傳遞函數。反之，對同一個物理模型(系統和元件)，若選取不同的輸入量和輸出量，則傳遞函數將是不同的。返回傳遞函數的零點、極點和放大系數

傳遞函數是一個復變函數，一般具有零點、極點。根據復變函數知識，凡能使復變函數為0的點均稱為零點；凡能使復變函數趨于∞的點均稱為極點。若將傳遞函數寫成如下的形式：則，s=zj（j=1，2，…，m）為傳遞函數的零點，s=pj（j=1，2，…，n）為傳遞函數的極點，而將L稱為系統的放大系數。傳遞函數的零點和極點的分布影響系統的動態性能。一般極點影響系統的穩定性，零點影響系統的瞬態響應曲線的形狀，即影響系統的瞬態性能。系統的放大系數決定了系統的穩態輸出值。因此，對系統的研究可變成對系統傳遞函數的零點、極點和放大系數的研究。課題

第二節典型環節

任何一個復雜的系統，總可以看成一些典型環節組合而成。掌握這些典型環節的特點，可以更方便地分析復雜系統內部各單元間的聯系。目的、要求：1.掌握常用典型環節的微分方程、傳遞函數和方框圖、動態響應。2.熟悉這種典型環節的應用實例。難點：振蕩環節比較環節1.微分方程2.傳遞函數與方框圖方框圖如圖a所示。3.動態響應當時（2-27）

圖a圖b比例環節的階躍響應如圖b所示。

比較環節能立即成比例地響應輸入量的變化比例環節應用實例慣性環節1.微分方程T——慣性時間常數

2.傳遞函數與方框圖(2-28)圖a方框圖如圖a所示。3.動態響應當輸入為階躍信號時通過拉氏變換與逆變換求得輸出響應為圖b。圖b當輸入量發生突變時，輸出量不能突變，只能按指數規律逐漸變化。慣性環節應用實例a）電阻、電容電路b)慣性調節器c)彈簧—阻尼系統積分環節1.微分方程T——積分時間常數2.傳遞函數與方框圖（2-35）方框圖如圖a所示。3.動態響應當輸入為階躍信號時通過拉氏變換與傳遞函數求得輸出響應為圖b。圖a圖b輸出量隨著時間的增長而不斷增加，增長的斜率為1/T。積分環節應用實例圖c微分環節1.微分方程2.傳遞函數與方框圖3.動態響應式中τ—微分時間常數方框圖如圖a所示。

理想微分環節的輸出量與輸入量間的關系恰好與積分環節相反，傳遞函數互為倒數。輸出只能反映輸入信號的變化率。近似微分環節應用實例單位階躍響應曲線如右圖所示比例微分環節

1.微分方程2.傳遞函數與方框圖3.動態響應比例微分環節的階躍響應為比例與微分環節的階躍響應的疊加。比例微分環節的應用

當比例微分環節的輸入量為恒值時，其輸出量與輸入量成正比；當輸入信號為變量時，輸出量中既含有與輸入量成正比的量，也包含反映輸入信號變化趨勢的信息。振蕩環節1.微分方程2.傳遞函數與方框圖3.動態響應(2-42)(2-43)式中，—阻尼比0<<1時式中，(2-44)4.應用實例例2-2機械位移系統等。振蕩環節的方框圖和階躍響應曲線

在自動控制系統中，若包含著兩種不同形式的儲能單元，這兩種單元的能量又能相互交換，在能量的儲存和交換的過程中，就可能出現振蕩而構成振蕩環節。延遲環節1.微分方程2.傳遞函數與方框圖3.動態響應—純延遲時間由拉氏變換延遲定理可得(2-47)在延遲時間很小的情況下:(2-48)延遲環節的方框圖如圖2-18a所示。延遲環節的階躍響應如圖2-18b所示。延遲環節的方框圖和階躍響應曲線

延遲環節在工作中經常遇到，例如晶閘管整流電路中，控制電壓與整流輸出有時間上的延遲等。返回課題：

第三節自動控制系統的方框圖及系統閉環傳遞函數的求取目的、要求：1.掌握自動控制系統方框圖的繪制方法。2.掌握自動控制系統方框圖的化簡規則。3.掌握系統閉環傳遞函數的求取方法。重點：系統方框圖的化簡規則系統動態結構圖（方框圖）的繪制方法1.列寫各元件或環節的微分方程2.對各元件或環節的微分方程進行拉氏變換3.確定各元件或環節的傳遞函數。4.繪出各環節的動態結構圖，方框中標出其傳遞函數，并以箭頭和字母標明其輸入量和輸出量。5.根據信號在系統中的流向，依次將各動態結構圖連接起來。例：求RC電路的系統方框圖列出RC電路的微分方程組：對以上兩式取拉氏變換，得：即：

用方框圖表示各變量之間的關系，如圖2-19所示。再根據信號的流向，將各方框圖依次連接起來，即得系統的動態結構圖，如圖2-20所示。X(s)為輸入，Y(s)為輸出，Q(s)、P(s)為中間變量。畫出傳遞函數框圖。Ua為輸入，為輸出，為干擾，其他為中間變量。試繪制該控制系統的傳遞函數方框圖。設已知描述某控制系統的運動方程組如下試繪制該控制系統的傳遞函數方框圖。框圖的等效變換規則

框圖等效變換的規則是變換后與變換前的輸入量和輸出量都保持不變。1.串聯變換規則

當系統中有兩個（或兩個以上）環節串聯時，其等效傳遞函數為各環節傳遞函數的乘積。(2-44)變換前變換后C(s)G2(s)G1(s)C1(s)R(s)變換前C(s)G2(s)G1(s)R(s)變換后1、串聯方框的簡化多個方框串聯時，總傳遞函數等于各方框傳遞函數之積。C(s)G1(s)G2(s)G3(s)R(s)G3(s)C2(s)G2(s)G1(s)C1(s)R(s)C(s)2.并聯變換規則

當系統中有兩個（或兩個以上）環節并聯時，其等效傳遞函數為各環節傳遞函數的代數和。(2-45)變換前變換后2、并聯方框的簡化變換前

R(s)

C1(s)C3(s)

C2(s)

(-)G1(s)G2(s)G3(s)C(s)G1(s)+G2(s)-G3(s)變換后

R(s)C(s)多個方框并聯，總傳遞函數等于各方框傳遞函數之代數和。3.反饋聯接變換規則R(s)C(s)E(s)G(s)H(s)

閉環傳遞函數和閉環系統的開環傳遞函數—順饋傳遞函數—反饋傳遞函數—閉環傳遞函數—閉環系統的開環傳遞函數（簡稱開環傳遞函數）

在經典控制理論中，有一種從這個“開環傳遞函數”出發去分析系統性能的方法。但不要與開環系統的傳遞函數相混淆。4.引出點和比較點的移動規則現以比較點前移為例來加以說明：未移動時：比較點前移后：兩者輸出量完全相同。【例2-4】化簡圖2-23所示的多回環系統。圖2-23解：由于此系統有相互交叉的反饋回環，不能直接化簡，先要通過引出點或比較點的移動來消除交叉。例如將回環的引出點后移到D環節后，比較點移動到A環節比較點之前，應能消除交叉，然后利用串聯和反饋變換法則進行化簡。例2求雙容水箱系統方框圖并進行化簡雙容水箱系統各環節的動態方程（見例2-5并整理得）、、

用方框圖表示各變量之間的關系，如圖2-25(a)~(d)所示。再根據信號的流向，將各方框圖依次連接起來，即得系統的動態結構圖，如圖2-25(e)所示。最后將動態結構圖進行化簡，即得系統的傳遞函數和系統方框圖，如圖2-25(f)所示。圖2-25(a)(b)(c)(d)為各環節方框圖，(e)(f)圖為系統方框圖

—

第k條前向通路的余子式(把與第i條前向通路接觸的回路去除，剩余回路構成的子特征式

梅森公式Mason公式:梅森公式計算總增益

—

特征式—

前向通路的條數—

第k條前向通路的總增益—

所有單獨回路的回路增益之和—

兩兩互不接觸回路的回路增益乘積之和—

互不接觸回路中，每次取其中三個的回路增益乘積之和自動控制系統閉環傳遞函數的求取自動控制系統的典型框圖如圖2-26所示。圖2-26系統為閉環控制系統，有輸入量、輸出量和擾動量作用，其傳遞函數及輸出量如何求取是以下部分要解決的問題。1.在輸入量R(s)作用下的閉環傳遞函數和系統的輸出(2-52)(2-53)（3）從上可知：對于同一個閉環系統，當輸入的取法不同時，前向通道的傳遞函數不同，反饋回路的傳遞函數不同，系統的傳遞函數也不同，但系統的傳遞函數的分母保持不變，這是因為這一分母反映了系統的固有特性，而與外界無關。2.在擾動量D(s)作用下的閉環傳遞函數和系統的輸出(2-54)(2-55)3.在輸入量和擾動量同時作用下，系統的總輸出

由于設定此系統為線性系統，因此可以應用疊加原理：即當輸入量和擾動量同時作用時，系統的輸出可看成兩個作用量分別作用的疊加。于是有(2-56)

由于給定量和擾動量的作用點不同，即使在同一個系統，輸出量對不同作用量的閉環傳遞函數一般是不相同的。交叉反饋系統框圖的化簡及其閉環傳遞函數的求取（之一）

交叉反饋系統是一種復雜的多環系統。它的基本形式如圖2-26a所示（為簡化起見，傳遞函數中的(s)省去）。

由圖a可見，該系統的兩個回環的反饋通道是互相交叉的。對這類系統的化簡，主要是運用引出點和比較點的移動來解除回路的交叉，使之成為一般的不交叉的多回路系統。圖a交叉反饋系統框圖的化簡及其閉環傳遞函數的求取（之二）

在圖a中，只要將引出點1后移，即可解除交叉，成為如圖b所示的形式。由圖b再引用求閉環傳遞函數的公式即可得到圖c和圖d，從而得到系統總的閉環傳遞函數。

以上雖然是一個典型的例子，但從中可以引出一般交叉反饋系統閉環傳遞函數的求取公式：【例3】圖2-29a所示是一個多回環交叉反饋系統，化簡并求閉環傳遞函數。

由圖可見該系統的三個反饋回環是相互關聯的，沒有獨立的反饋回環。化簡方法是利用反饋連接和串聯連接，由內向外進行化簡，也可用上面公式進行化簡。化簡過程見圖2-29b、c、d。【例3】圖2-27圖b圖c圖d

由此可得系統的總的閉環傳遞函數為返回課題四：

第四節自動調節器的基本動作規律目的、要求：了解三種基本調節作用的特點，為學習PID打下基礎。自動調節（控制）器的作用

自動控制系統是由控制器和控制對象組成的。控制器也是系統方塊圖中的一個環節，研究控制器輸出信號與輸入信號之間的關系，也是分析控制系統的基礎。PID調節器是工業上使用最廣泛的控制器，本節介紹PID調節器的動作規律，即PID調節器的動態特性，以作為后面研究控制系統的基礎。比例調節作用(簡稱P作用)

用e表示調節器的輸入信號，μ表示調節器的輸出信號，則輸出信號μ與輸入信號e成正比，用等式表示為：μ=Kpe

或μ=e

（2-58）比例調節器的傳遞函數為：GC(s)=KP

=KP—比例系數δ

—比例帶積分調節作用(簡稱I作用)

比例調節作用的缺點是存在穩態偏差。有偏差就根據偏差的方向不停地動作，直到偏差消除為止，這個動作規律就稱為積分調節。

把調節閥門的開度變化量μ

看成是偏差信號e

對時間的積分，即:μ=Ti—積分常數采用積分調節作用能實現無差調節微分調節作用(簡稱D作用)

積分作用雖然能實現無差調節，但它易使調節機構動作過頭，導致系統發生振蕩。根據偏差的變化趨勢進行調節，就是使執行機構的位移μ與偏差信號e的變化速度成比例，把這種動作規律稱為微分調節。

微分調節表達式為：μ=Td

Td

稱為微分時間調節器的組成

比例作用是調節器的主要調節作用，一般只有比例調節能獨立完成調節任務，但僅采用比例調節，系統會存在穩態誤差；積分作用的引入可實現無差調節，但又容易使調節過程產生振蕩；微分作用能減小動態偏差，用于克服對象的延遲、防止產生過調比較有效，但不能單獨采用。PI、PD