2025屆湖北省隨州市曾都區隨州一中高二上數學期末經典試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若集合，，則A. B.C. D.2．已知橢圓的兩個焦點分別為，且平行于軸的直線與橢圓交于兩點，那么的值為（）A. B.C. D.3．已知圓：，是直線的一點，過點作圓的切線，切點為，，則的最小值為（）A. B.C. D.4．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐內切球的表面積為A.B.C.D.5．已知的展開式中，各項系數的和與其各項二項式系數的和之比為，則（）A.4 B.5C.6 D.76．已知，則（）A. B.1C. D.7．已知方程表示雙曲線，則實數的取值范圍是（）A.或 B.C. D.8．過，兩點的直線的一個方向向量為，則（）A.2 B.2C.1 D.19．邊長為的正方形沿對角線折成直二面角，、分別為、的中點，是正方形的中心，則的大小為（）A. B.C. D.10．在三棱錐中，，，，若，，則（）A. B.C. D.11．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.312．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取兩個球，則下列選項中的兩個事件為互斥事件的是（）A.至多有1個白球；都是紅球 B.至少有1個白球；至少有1個紅球C.恰好有1個白球；都是紅球 D.至多有1個白球；至多有1個紅球二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．中小學生的視力狀況受到社會的關注.某市有關部門從全市6萬名高一學生中隨機抽取400名學生，對他們的視力狀況進行一次調查統計，將所得到的有關數據繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，從左至右五個小組的頻率之比為，則抽取的這400名高一學生中視力在范圍內的學生有______人.14．已知函數集合，若A中有且僅有4個元素，則滿足條件的整數a的個數為______15．點P是棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點，則的取值范圍是__.16．傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家用沙粒和小石子來研究數.他們根據沙粒或小石子所排列的形狀把數分成許多類，下圖中第一行的稱為三角形數，第二行的稱為五邊形數，則三角形數的第10項為__________，五邊形數的第項為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點到準線的距離為，過點的直線與拋物線只有一個公共點.（1）求拋物線的方程；（2）求直線的方程.18．（12分）如圖，在幾何體中，底面是邊長為2的正三角形，平面，，且，是的中點（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成的角的余弦值19．（12分）如圖所示，在三棱柱中，，點在平面ABC上的射影為線段AC的中點D，側面是邊長為2的菱形（1）若△ABC是正三角形，求異面直線與BC所成角的余弦值；（2）當直線與平面所成角的正弦值為時，求線段BD的長20．（12分）在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程，曲線C的直角坐標方程；（2）設直線與曲線C相交于A，B兩點，點，求的值.21．（12分）已知數列中，，的前項和為，且數列是公差為-3的等差數列.（1）求；（2）若，數列前項和為.22．（10分）已知圓，直線，直線l與圓C相交于P，Q兩點（1）求的最小值；（2）當的面積最大時，求直線l的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】通過解不等式得出集合B，可以做出集合A與集合B的關系示意圖，可得出選項.【詳解】因為，解不等式即，所以或，所以集合，作出集合A與集合B的示意圖如下圖所示：所以：，故選A【點睛】本題考查集合間的交集運算，屬于基礎題.2、A【解析】根據橢圓的方程求出，再由橢圓的對稱性及定義求解即可.【詳解】由橢圓的對稱性可知，,所以，又橢圓方程為，所以，解得，所以，故選：A3、A【解析】根據題意，為四邊形的面積的2倍，即，然后利用切線長定理，將問題轉化為圓心到直線的距離求解.【詳解】圓：的圓心為，半徑，設四邊形的面積為，由題設及圓的切線性質得，，∵，∴，圓心到直線的距離為，∴的最小值為，則的最小值為，故選：A4、A【解析】由三視圖可知該幾何體是一個三棱錐，根據等積法求出幾何體內切球的半徑，再計算內切球的表面積【詳解】解：由三視圖知該幾何體是一個三棱錐，放入棱長為2的正方體中，如圖所示：設三棱錐內切球的半徑為，則由等體積法得，解得，所以該三棱錐內切球的表面積為故選：A【點睛】本題考查了由三視圖求三棱錐內切球表面積的應用問題，屬于中檔題5、C【解析】利用賦值法確定展開式中各項系數的和以及二項式系數的和，利用比值為，列出關于的方程，解方程.【詳解】二項式的各項系數的和為，二項式的各項二項式系數的和為，因為各項系數的和與其各項二項式系數的和之比為，所以，.故選：C.6、B【解析】先根據共軛復數的定義可得，再根據復數的運算法則即可求出【詳解】因為，所以故選：B7、A【解析】根據雙曲線標準方程的性質，列出關于不等式，求解即可得到答案【詳解】由雙曲線的性質：，解的或，故選：A8、C【解析】應用向量的坐標表示求的坐標，由且列方程求y值.【詳解】由題設，，則且，所以，即，可得.故選：C9、B【解析】建立空間直角坐標系，以向量法去求的大小即可解決.【詳解】由題意可得平面，，則兩兩垂直以O為原點，分別以OB、OA、OC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系則，，，，又，則故選：B10、B【解析】根據空間向量的基本定理及向量的運算法則計算即可得出結果.【詳解】連接,因為，所以，因為，所以，所以,故選：B11、D【解析】先分別求出兩條直線的斜率，再利用兩直線垂直斜率之積為，即可求出.【詳解】由已知得直線與直線的斜率分別為、，∵直線與直線垂直，∴，解得，故選：.12、C【解析】根據試驗過程進行分析，利用互斥事件的定義對四個選項一一判斷即可.【詳解】對于A：“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“至多有1個白球”與“都是紅球”不是互斥事件.故A錯誤；對于B：“至少有1個白球”包含都是白球和一紅一白，“至少有1個紅球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至少有1個白球”與“至少有1個紅球”不是互斥事件.故B錯誤；對于C：“恰好有1個白球”包含一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“恰好有1個白球”與“都是紅球”是互斥事件.故C錯誤；對于D：“至多有1個紅球”包含都是白球和一紅一白，“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至多有1個白球”與“至多有1個紅球”不是互斥事件.故D錯誤.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、50【解析】利用頻率分布直方圖的性質求解即可.【詳解】第五組的頻率為，第一組所占的頻率為，則隨機抽取400名學生視力在范圍內的學生約有人.故答案為：50.14、32【解析】作出的圖像，由時，不等式成立，所以，判斷出符合條件的非零整數根只有三個，即等價于時，；時，；利用數形結合，進行求解.【詳解】作出的圖像如圖所示：因為時，不等式成立，所以，符合條件的非零整數根只有三個.由可得：時，；時，；所以在y軸左側，的圖像都在的下方；在y軸右側，的圖像都在的上方；而，，，，.平移直線，由圖像可知：當時，集合A中除了0只含有1，2，3，符合題意，此時整數a可以取：-23，-22，-21……-9.一共15個；當時，集合A中除了0含有1，-1，-2，符合題意.當時，集合A中除了0只含有-1，-2，-3，符合題意，此時整數a可以取：5，6，7……20一共16個.所以整數a的值一共有15+1+16=32（個）.故答案為：32【點睛】分離參數法求零點個數的問題是轉化為，分別做出和的圖像，觀察交點的個數即為零點的個數．用數形結合法解決零點問題常有以下幾種類型：(1)零點個數：幾個零點；(2)幾個零點的和；(3)幾個零點的積.15、[﹣，0]【解析】建立空間直角坐標系，設出點P的坐標為（x，y，z），則由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，計算?x2﹣x，利用二次函數的性質求得它的值域即可【詳解】解：以點D為原點，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示；則點A（1，0，0），C1（0，1，1），設點P的坐標為（x，y，z），由題意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；∴（1﹣x，﹣y，﹣1），（﹣x，1﹣y，0），∴?x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y，由二次函數的性質可得，當x＝y時，?取得最小值為；當x＝0或1，且y＝0或1時，?取得最大值為0，則?的取值范圍是[，0]故答案為：[，0]【點睛】本題主要考查了向量在幾何中的應用與向量的數量積運算問題，是綜合性題目16、①.②.【解析】對于三角形數，根據圖形尋找前后之間的關系，從而歸納出規律利用求和公式即得，對于五邊形數根據圖形尋找前后之間的關系，然后利用累加法可得通項公式.【詳解】由題可知三角形數的第1項為1，第2項為3=1+2，第3項為6=1+2+3，第4項為10=1+2+3+4，，因此，第10項為；五邊形數的第1項為，第2項為，第3項為，第4項為，…，因此，，所以當時，,當時也適合，故，即五邊形數的第項為.故答案為：55；.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或或.【解析】(1)根據給定條件結合p的幾何意義，直接求出p寫出方程作答.(2)直線l的斜率存在設出其方程，再與拋物線C的方程聯立，再討論計算，l斜率不存在時驗證作答.【小問1詳解】因拋物線的焦點到準線的距離為，于是得，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】當直線的斜率存在時，設直線為，由消去y并整理得：，當時，，點是直線與拋物線唯一公共點，因此，，直線方程為，當時，，此時直線與拋物線相切，直線方程為，當直線的斜率不存在時，y軸與拋物線有唯一公共點，直線方程為，所以直線方程為為或或.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設為中點，連接，，證明四邊形為平行四邊形即可；（2）確定異面直線與所成的角為，計算三角形各邊長，根據余弦定理計算得到答案.【小問1詳解】設為中點，連接，，∵為中點，是的中點，，，故，且，故，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，平面，平面，故平面.【小問2詳解】∵，故異面直線與所成的角為，在中：，，.根據余弦定理：，所以異面直線與所成的角的余弦值為.19、（1）（2）或【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求得直線與所成角的余弦值.（2）結合直線與平面所成的角，利用向量法列方程，化簡求得的長.【小問1詳解】依題意點在平面ABC上的射影為線段AC的中點D，所以平面，，由于，所以，以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，當是等邊三角形時，，.設直線與所成角為，則.【小問2詳解】設，則，，設平面的法向量為，則，故可設，設直線與平面所成角為，則，化簡的，解得或，也即或.20、（1）直線的普通方程為；曲線C的直角坐標方程為（2）【解析】（1）根據轉換關系將參數方程和極坐標方程轉化為直角坐標方程即可；（2）將直線的參數方程化為標準形式，代入曲線C的直角坐標方程，設點A，B對應的參數分別為，利用韋達定理即可得出答案.【小問1詳解】解：將直線的參數方程中的參數消去得，則直線的普通方程為，由曲線C的極坐標方程為，得，即，由得曲線C的直角坐標方程為；【小問2詳解】解：點滿足，故點在直線上，將直線的參數方程化為標準形式（為參數），代入曲線C的直角坐標方程為，得，設點A，B對應的參數分別為，則，所以.21、（1）（2）【解析】（1）由條件先求出通項公式，得出，再由可得出答案.(2)由（1）可知,由裂項相消法可得答案.