1、無窮級數 無窮級數數項級數冪級數傅氏級數（數一）第十一章常數項級數的概念和性質 一、常數項級數的概念 二、無窮級數的基本性質 三、級數收斂的必要條件 第一節 第十一章 一、常數項級數的概念 引例 用圓內接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內接正邊形, 這個和逼近于圓的面積 A .設 a0 表示即內接正三角形面積, ak 表示邊數增加時增加的面積, 則圓內接正定義：給定一個數列將各項依即稱上式為無窮級數，其中第 n 項叫做級數的一般項,級數的前 n 項和稱為級數的部分和.次相加, 簡記為當級數收斂時, 稱差值為級數的余項.則稱無窮級數發散 .顯然收斂 ,則稱無窮級數并稱 S 為級數的和,記作例1.

2、 討論等比級數 (又稱幾何級數)( q 稱為公比 ) 的斂散性. 解: 1) 若從而因此級數收斂 ,從而則部分和因此級數發散 .其和為2). 若因此級數發散 ;因此n 為奇數n 為偶數從而綜合 1)、2)可知,時, 等比級數收斂 ;時, 等比級數發散 .則級數成為不存在 , 因此級數發散.例2. 判別下列級數的斂散性:解: (1) 所以級數 (1) 發散 ;技巧:利用 “拆項相消” 求和(2) 所以級數 (2) 收斂, 其和為 1 .技巧:利用 “拆項相消” 求和二、無窮級數的基本性質 性質1. 若級數收斂于 S ,則各項乘以常數 c 所得級數也收斂 ,說明: 級數各項乘以非零常數后其斂散性不

3、變 .即其和為 c S .性質2. 設有兩個收斂級數則級數也收斂, 其和為說明:(2) 若兩級數中一個收斂一個發散 , 則必發散 . 但若二級數都發散 ,不一定發散.例如, (1) 性質2 表明收斂級數可逐項相加或減 .性質3.在級數前面加上或去掉有限項, 不會影響級數的斂散性.性質4. 收斂級數加括弧后所成的級數仍收斂于原級數的和.推論: 若加括弧后的級數發散, 則原級數必發散.注意: 收斂級數去括弧后所成的級數不一定收斂.但發散.例如，三、級數收斂的必要條件 性質5、設收斂級數則必有可見: 若級數的一般項不趨于0 , 則級數必發散 .例如,其一般項為不趨于0,因此這個級數發散.注意:并非級

4、數收斂的充分條件.例如, 調和級數雖然但此級數發散 .事實上 , 假設調和級數收斂于 S , 則但矛盾!所以假設不真 .二、交錯級數及其審斂法 三、絕對收斂與條件收斂 第二節一、正項級數及其審斂法常數項級數的審斂法 第十一章 一、正項級數及其審斂法若定理 1. 正項級數收斂部分和序列有界 .則稱為正項級數 .定理2 (比較審斂法)設且存在對一切有(1) 若強級數則弱級數(2) 若弱級數則強級數則有收斂 ,也收斂 ;發散 ,也發散 .是兩個正項級數, (常數 k 0 ),例1. 討論 p 級數(常數 p 0)的斂散性. 解: 1) 若因為對一切而調和級數由比較審斂法可知 p 級數發散 .發散 ,

5、因為當故考慮強級數的部分和故強級數收斂 , 由比較審斂法知 p 級數收斂 .時,2) 若調和級數與 p 級數是兩個常用的比較級數.若存在對一切證明級數發散 .證: 因為而級數發散根據比較審斂法可知,所給級數發散 .例2.定理3. (比較審斂法的極限形式)則有兩個級數同時收斂或發散 ;(2) 當 l = 0 (3) 當 l = 設兩正項級數滿足(1) 當 0 l 時,是兩個正項級數, (1) 當 時,兩個級數同時收斂或發散 ;特別取可得如下結論 :對正項級數(2) 當 且 收斂時,(3) 當 且 發散時, 也收斂 ;也發散 .的斂散性. 例3. 判別級數的斂散性 .解: 根據比較審斂法的極限形式

6、知例4. 判別級數解:根據比較審斂法的極限形式知定理4 . 比值審斂法 ( Dalembert 判別法)設 為正項級數, 且則(1) 當(2) 當時, 級數收斂 ;或時, 級數發散 .說明: 當時,級數可能收斂也可能發散.例如, p 級數但級數收斂 ;級數發散 .例5. 討論級數的斂散性 .解: 根據定理4可知:級數收斂 ;級數發散 ;例6. 討論級數的斂散性 .定理5. 根值審斂法 ( Cauchy判別法)設 為正項級則數, 且時 , 級數可能收斂也可能發散 .例如 , p 級數 說明 :但級數收斂 ;級數發散 .例7. 討論級數的斂散性 .例8. 討論級數的斂散性 .二 、交錯級數及其審斂

7、法 則各項符號正負相間的級數稱為交錯級數 .定理6 . ( Leibnitz 判別法 ) 若交錯級數滿足條件:則級數收斂 , 且其和 其余項滿足收斂收斂用Leibnitz 判別法判別下列級數的斂散性:收斂上述級數各項取絕對值后所成的級數是否收斂 ?發散收斂收斂三、絕對收斂與條件收斂 定義: 對任意項級數若若原級數收斂, 但取絕對值以后的級數發散, 則稱原級收斂 ,數為條件收斂 .均為絕對收斂.例如 ：絕對收斂 ；則稱原級數條件收斂 .定理7. 絕對收斂的級數一定收斂 .說明：上述逆定理不一定成立。即發散發散例9. 證明下列級數絕對收斂 :證: (1)而收斂 ,收斂因此絕對收斂 .(2) 令因此

8、收斂,絕對收斂.內容小結1. 利用部分和數列的極限判別級數的斂散性2. 利用正項級數審斂法必要條件不滿足發 散滿足比值審斂法根值審斂法收 斂發 散不定 比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限3. 任意項級數審斂法為收斂級數Leibniz判別法:則交錯級數收斂概念:絕對收斂條件收斂例1、（06，一，三）若則級數（ ）A、B、C、D、例2、（05，三）設若則下列結論正確的是（ ）A、B、C、D、第三節一、函數項級數的概念 二、冪級數及其收斂性 三、冪級數的運算 冪級數 第十一章 一、 函數項級數的概念設為定義在區間 I 上的函數項級數 .對若常數項級數斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域 ;若常數

9、項級數為定義在區間 I 上的函數, 稱收斂,發散 ,所有為其收 為其發散點, 發散點的全體稱為其發散域 .為級數的和函數 , 并寫成若用令余項則在收斂域上有表示函數項級數前 n 項的和, 即在收斂域上, 函數項級數的和是 x 的函數 稱它例如, 等比級數它的收斂域是它的發散域是或寫作又如, 級數級數發散 ;所以級數的收斂域僅為有和函數 二、冪級數及其收斂性 形如的函數項級數稱為冪級數, 其中數列下面著重討論例如, 冪級數為冪級數的系數 .即是此種情形.的情形, 即稱 發 散發 散收 斂收斂發散定理 1. ( Abel定理 ) 若冪級數則對滿足不等式的一切 x 冪級數都絕對收斂.反之, 若當的一

10、切 x , 該冪級數也發散 . 時該冪級數發散 ,則對滿足不等式冪級數在 (, +) 收斂 ;由Abel 定理可以看出, 中心的區間. 用R 表示冪級數收斂與發散的分界點,的收斂域是以原點為則R = 0 時,冪級數僅在 x = 0 收斂 ;R = 時,冪級數在 (R , R ) 收斂 ;(R , R ) 加上收斂的端點稱為收斂域.R 稱為收斂半徑 ， 在R , R 可能收斂也可能發散 .外發散;在(R , R ) 稱為收斂區間.發 散發 散收 斂收斂發散定理2. 若的系數滿足1) 當 0 時,2) 當 0 時,3) 當 時,則 的收斂半徑為說明:據此定理對端點 x =1, 的收斂半徑及收斂域.

11、解:對端點 x = 1, 級數為交錯級數收斂; 級數為發散 . 故收斂域為例1.求冪級數 例2. 求下列冪級數的收斂域 :解: (1)所以收斂域為(2)所以級數僅在 x = 0 處收斂 .規定: 0 ! = 1例3.的收斂半徑 .解: 級數缺少奇次冪項,不能直接應用定理2,比值審斂法求收斂半徑.時級數收斂時級數發散 故收斂半徑為 故直接由例4.的收斂域.解: 令 級數變為當 t = 2 時, 級數為此級數發散;當 t = 2 時, 級數為此級數條件收斂;因此級數的收斂域為故原級數的收斂域為即三、冪級數的運算定理3. 設冪級數及的收斂半徑分別為令則有 :其中說明:兩個冪級數相除所得冪級數的收斂半

12、徑可能比原來兩個冪級數的收斂半徑小得多.例如, 設 它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是 定理4 若冪級數的收斂半徑則其和函在收斂域上連續,且在收斂區間內可逐項求導與逐項求積分,運算前后收斂半徑相同: 注: 逐項積分時, 運算前后端點處的斂散性不變.例5. 求級數的和函數解: 易求出冪級數的收斂半徑為 1 , 及收斂 , 因此由和函數的連續性得:而及內容小結1. 求冪級數收斂域的方法1) 對標準型冪級數先求收斂半徑 , 再討論端點的收斂性 .2) 對非標準型冪級數(缺項或通項為復合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2. 冪級數的性質兩個冪級數在公共收斂區間內可進行加、減與也可通過換元化為標

13、準型再求 .乘法運算. 2) 在收斂區間內冪級數的和函數連續;3) 冪級數在收斂區間內可逐項求導和求積分.第四節兩類問題:在收斂域內和函數求 和展 開本節內容:一、泰勒 ( Taylor ) 級數 二、函數展開成冪級數 函數展開成冪級數 第十一章 一、泰勒 ( Taylor ) 級數 其中( 在 x 與 x0 之間)稱為拉格朗日余項 .則在若函數的某鄰域內具有 n + 1 階導數, 此式稱為 f (x) 的 n 階泰勒公式 ,該鄰域內有 :為f (x) 的泰勒級數 . 則稱當x0 = 0 時, 泰勒級數又稱為麥克勞林級數 .1) 對此級數, 它的收斂域是什么 ？2) 在收斂域上 , 和函數是否

14、為 f (x) ?待解決的問題 :若函數的某鄰域內具有任意階導數, 定理1 .各階導數, 則 f (x) 在該鄰域內能展開成泰勒級數的充要條件是 f (x) 的泰勒公式中的余項滿足:設函數 f (x) 在點 x0 的某一鄰域 內具有定理2.若 f (x) 能展成 x 的冪級數, 則這種展開式是唯一的 , 且與它的麥克勞林級數相同.二、函數展開成冪級數 1. 直接展開法由泰勒級數理論可知, 第一步 求函數及其各階導數在 x = 0 處的值 ;第二步 寫出麥克勞林級數 , 并求出其收斂半徑 R ; 第三步 判別在收斂區間(R, R) 內是否為驟如下 :展開方法直接展開法 利用泰勒公式間接展開法 利

15、用已知其級數展開式0. 的函數展開例1. 將函數展開成 x 的冪級數. 解: 其收斂半徑為 對任何有限數 x , 其余項滿足故( 在0與x 之間)故得級數 當 m = 1 時2. 間接展開法利用一些已知的函數展開式及冪級數的運算性質, 例4. 將函數展開成 x 的冪級數.解: 因為把 x 換成, 得將所給函數展開成 冪級數. 例5. 將函數展開成 x 的冪級數.解: 從 0 到 x 積分, 得定義且連續, 區間為利用此題可得上式右端的冪級數在 x 1 收斂 ,所以展開式對 x 1 也是成立的,于是收斂例6. 將展成解: 的冪級數. 例7. 將展成 x1 的冪級數. 解: (06,一)將展成關于

16、x的冪級數內容小結1. 函數的冪級數展開法(1) 直接展開法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法 利用冪級數的性質及已知展開2. 常用函數的冪級數展開式式的函數 .當 m = 1 時第七節一、三角級數及三角函數系的正交性 二、函數展開成傅里葉級數三、正弦級數和余弦級數 第十一章 傅里葉級數 一、三角級數及三角函數系的正交性簡單的周期運動 :(諧波函數)( A為振幅, 復雜的周期運動 :令得函數項級數為角頻率,為初相 )(諧波迭加)稱上述形式的級數為三角級數.定理 1. 組成三角級數的函數系證:同理可證 :正交 ,上的積分等于 0 .即其中任意兩個不同的函數之積在上的積分不等于 0 .且有 但是

17、在三角函數系中兩個相同的函數的乘積在 二、函數展開成傅里葉級數定理 2 . 設 f (x) 是周期為 2 的周期函數 , 且右端級數可逐項積分, 則有葉系數為系數的三角級數 稱為的傅里葉系數 ;由公式 確定的的傅里的傅里葉級數 .稱為函數以定理3 (收斂定理, 展開定理)設 f (x) 是周期為2的周期函數,并滿足狄利克雷( Dirichlet )條件:1) 在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點;2) 在一個周期內只有有限個極值點, 則 f (x) 的傅里葉級數收斂 , 且有 x 為間斷點其中為 f (x) 的傅里葉系數 . x 為連續點注意: 函數展成傅里葉級數的條件比展成冪級數的條件低

18、得多.例1. 設 f (x) 是周期為 2 的周期函數 , 它在 上的表達式為解: 先求傅里葉系數將 f (x) 展成傅里葉級數. 1) 根據收斂定理可知,時,級數收斂于2) 傅氏級數的部分和逼近說明:f (x) 的情況見右圖.例2.上的表達式為將 f (x) 展成傅里葉級數. 解: 設 f (x) 是周期為 2 的周期函數 , 它在 說明: 當時, 級數收斂于周期延拓傅里葉展開上的傅里葉級數定義在 ,上的函數 f (x)的傅氏級數展開法其它例3. 將函數級數 .則解: 將 f (x)延拓成以 展成傅里葉2為周期的函數 F(x) , 利用此展式可求出幾個特殊的級數的和.當 x = 0 時, f (0) = 0 , 得說明:設已知又三、正弦級數和余弦級數1. 周期為2 的奇、偶函數的傅里葉級數定理4 . 對周期為 2 的奇函數 f (x) , 其傅里葉級數為周期為2的偶函數 f (x) , 其傅里葉級數為余弦級數 ,它的傅里葉系數為正弦級數,它的傅里葉系數為例4. 設的表達式為 f (x)x ,將 f (x) 展成傅里葉級數.是周期為2 的周期函數,它在解: 若不計周期為 2 的奇函數, 因此n1根據收斂定理可得 f (x) 的正弦級數:級數的部分和 n2n3n4逼近 f (x) 的情況見右圖.n5例5. 將周期函數展成傅里葉級數, 其中E 為