浙江省樂清市第二中學2025屆高二數學第一學期期末預測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.2．橢圓的左右焦點分別為，是上一點，軸，，則橢圓的離心率等于（）A. B.C. D.3．2021年7月，某文學網站對該網站的數字媒體內容能否滿足讀者需要進行了調查，調查部門隨機抽取了名讀者，所得情況統計如下表所示：滿意程度學生族上班族退休族滿意一般不滿意記滿分為分，一般為分，不滿意為分.設命題：按分層抽樣方式從不滿意的讀者中抽取人，則退休族應抽取人；命題：樣本中上班族對數字媒體內容滿意程度的方差為.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.4．若“”是“”的充分不必要條件，則實數m的值為（）A.1 B.C.或1 D.或5．已知等差數列，，，則數列的前項和為（）A. B.C. D.6．若，則（）A. B.C. D.7．已知兩條異面直線的方向向量分別是，，則這兩條異面直線所成的角滿足（）A. B.C. D.8．焦點坐標為的拋物線的標準方程是（）A. B.C. D.9．1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經》中“物不知數”問題的解法傳至歐洲，西方人稱之為“中國剩余定理”．現有這樣一個問題：將1到200中被3整除余1且被4整除余2的數按從小到大的順序排成一列，構成數列，則=（）A.130 B.132C.140 D.14410．執行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的m的值是（）A.-1 B.0C.0.1 D.111．我國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一段記載：“一百八十九里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關.”其大意為：“有一個人共行走了189里的路程，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達目的地.”則該人第一天行走的路程為（）A.108里 B.96里C.64里 D.48里12．在棱長為4的正方體中，為的中點，點P在正方體各棱及表面上運動且滿足，則點P軌跡圍成的圖形的面積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．數列的前項和為，則的通項公式為________.14．已知拋物線的頂點為O，焦點為F，動點B在C上，若點B，O，F構成一個斜三角形，則______15．若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為___________.16．已知拋物線的焦點F在直線上，過點F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，O為坐標原點，△的面積是△面積的4倍，則直線l的方程為____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA=2AB=2（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積V；（2）若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF18．（12分）已知數列的前項和為，并且滿足（1）求數列的通項公式；（2）若，數列的前項和為，求證：19．（12分）橢圓的一個頂點為，離心率（1）求橢圓方程；（2）若直線與橢圓交于不同的兩點．若滿足，求直線的方程20．（12分）我們知道：當是圓O：上一點，則圓O的過點的切線方程為；當是圓O：外一點，過作圓O的兩條切線，切點分別為，則方程表示直線AB的方程，即切點弦所在直線方程.請利用上述結論解決以下問題：已知圓C的圓心在x軸非負半軸上，半徑為3，且與直線相切，點在直線上，過點作圓C的兩條切線，切點分別為.（1）求圓C的方程；（2）當時，求線段AB的長；（3）當點在直線上運動時，求線段AB長度的最小值.21．（12分）2021年11月初某市出現新冠病毒感染者，該市教育局部署了“停課不停學”的行動，老師們立即開展了線上教學．某中學為了解教學效果，于11月30日復課第一天安排了測試，數學教師為了調查高二年級學生這次測試的數學成績與每天在線學習數學的時長之間的相關關系，對在校高二學生隨機抽取45名進行調查，了解到其中有25人每天在線學習數學的時長不超過1小時，并得到如下的統計圖：（1）根據統計圖填寫下面列聯表，是否有95%的把握認為“高二學生的這次摸底考試數學成績與其每天在線學習數學的時長有關”；數學成績不超過120分數學成績超過120分總計每天在線學習數學的時長不超過1小時25每天在線學習數學的時長超過1小時總計45（2）從被抽查的，且這次數學成績超過120分的學生中，按分層抽樣的方法抽取5名，再從這5名同學中隨機抽取2名，求這兩名同學中至多有一名每天在線學習數學的時長超過1小時的概率附：，其中．參考數據：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822．（10分）在等比數列中，已知，（1）若，求數列的前項和；（2）若以數列中的相鄰兩項，構造雙曲線，求證：雙曲線系中所有雙曲線的漸近線、離心率都相同

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據焦點在x軸上的雙曲線漸近線斜率為±可求a，b關系，再結合a，b，c關系即可求解﹒【詳解】∵雙曲線1(a＞0，b＞0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0平行，∴，∴b＝2a，∵c2＝a2＋b2，∴a＝1，b＝2，∴雙曲線的方程為故選：B2、A【解析】在中結合已知條件，用焦距2c表示、，再利用橢圓定義計算作答.【詳解】令橢圓的半焦距為c，因是上一點，軸，，在中，，，由橢圓定義知，則，所以橢圓的離心率等于.故選：A3、A【解析】由抽樣比再乘以可得退休族應抽取人數可判斷命題，求出上班族對數字媒體內容滿意程度的平均分，由方差公式計算方差可判斷，再由復合命題的真假判斷四個選項，即可得正確選項.【詳解】因為退休族應抽取人，所以命題正確；樣本中上班族對數字媒體內容滿意程度的平均分為，方差為，命題正確，所以為真，、、為假命題，故選：4、B【解析】利用定義法進行判斷.【詳解】把代入，得：，解得：或.當時，可化為：，解得：，此時“”是“”的充要條件，應舍去；當時，可化為：，解得：或，此時“”是“”的充分不必要條件.故.故選：B5、A【解析】求出通項，利用裂項相消法求數列的前n項和.【詳解】因為等差數列，，，所以，所以，所以數列的前項和為故B，C，D錯誤.故選：A.6、D【解析】設，計算出、的值，利用平方差公式可求得結果.【詳解】設由已知可得，，因此，.故選：D.7、D【解析】利用向量夾角余弦公式直接求解【詳解】解：兩條異面直線的方向向量分別是，，這兩條異面直線所成的角滿足：，，故選：D8、D【解析】依次確定選項中各個拋物線的焦點坐標即可.【詳解】對于A，的焦點坐標為，A錯誤；對于B，的焦點坐標為，B錯誤；對于C，焦點坐標為，C錯誤；對于D，的焦點坐標為，D正確.故選：D.9、A【解析】分析數列的特點，可知其是等差數列，寫出其通項公式，進而求得結果,【詳解】被3整除余1且被4整除余2的數按從小到大的順序排成一列，這樣的數構成首項為10，公差為12的等差數列，所以，故，故選:A10、B【解析】計算后，根據判斷框直接判斷即可得解.【詳解】輸入，計算，判斷為否，計算，輸出.故選：B.11、B【解析】根據題意，記該人每天走的路程里數為，分析可得每天走的路程里數構成以的為公比的等比數列，由求得首項即可【詳解】解：根據題意，記該人每天走的路程里數為，則數列是以的為公比的等比數列，又由這個人走了6天后到達目的地，即，則有，解可得：，故選：B.【點睛】本題考查數列的應用，涉及等比數列的通項公式以及前項和公式的運用，注意等比數列的性質的合理運用.12、A【解析】構造輔助線，找到點P軌跡圍成的圖形為長方形，從而求出面積.【詳解】取的中點E，的中點F，連接BE，EF，AF，則由于為的中點，可得，所以∠CBE=∠ECN，從而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因為BEEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以點P軌跡圍成的圖形為矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面積為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】討論和兩種情況，進而利用求得答案.【詳解】由題意，時，，時，，則，于是，故答案為：14、2【解析】畫出簡單示意圖，令，根據拋物線定義可得，應用數形結合及B在C上，求目標式的值.【詳解】如下圖，令，直線為拋物線準線，軸，由拋物線定義知：，又且，所以，故，又，故.故答案為：2.【點睛】關鍵點點睛：應用拋物線的定義將轉化為，再由三角函數的定義及點在拋物線上求值.15、2【解析】利用雙曲線的漸近線的傾斜角，求解，關系，然后求解離心率，即可求解.【詳解】雙曲線一條漸近線的傾斜角為，可得，所以，所以雙曲線的離心率為.故答案為：2.16、【解析】設A，B分別為，由焦點在已知直線上求F坐標及拋物線方程，再根據題設三角形的面積關系可得，并設直線l為，聯立拋物線應用韋達定理求參數m，即可知直線l的方程.【詳解】設點A，B的坐標分別為，直線，令可得，故焦點F的坐標為，所以，由，，而△的面積是△面積的4倍，所以，即，設直線l為，聯立方程，消去x后整理為，所以，代入，有，可得，則直線l的方程為故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：根據拋物線焦點位置及其所在直線求拋物線方程，由面積關系得到交點縱坐標的數量關系，注意交點在x軸兩側，再設直線聯立拋物線求參數即可.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見解析.【解析】（1）在中，，求得，由此能求出四棱錐的體積；（2）由平面，證得和，由此利用線面垂直的判定定理，即可證得平面.試題解析：（1）在中，.在中,.則.（2），為的中點，.平面.平面.為中點，為為中點，，則.平面.考點：四棱錐的體積公式；直線與平面垂直的判定與證明.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）利用和項可求得的通項公式，注意別漏了說明；（2）先用錯位相減法求出數列的前項和，從而可知【詳解】（1）,①當時，，②由①—②可得：,且數列是首項為1，公差為2的等差數列，即（2）由（1）知數列，,則,①∴,②由①﹣②得,∴,.【點睛】本題主要考查給出的一個關系式求數列的通項公式以及用錯位相減法求數列的前n項和.19、（1）；（2）【解析】（1）首先由橢圓的一個頂點可以求出的值，再根據離心率可得到、的關系，聯立即可求得的值，進而得到橢圓的方程；（2）先聯立直線與橢圓，結合韋達定理得到線段的中點的坐標，再根據，即可求得的值，進而求得直線的方程【詳解】（1）由一個頂點為，離心率，可得，，，解得，，即有橢圓方程為（2）由知點在線段的垂直平分線上，由，消去得，由，得方程的，即方程有兩個不相等的實數根設、，線段的中點，則，所以，所以，即，因為，所以直線的斜率為，由，得，所以，解得：，即有直線的方程為20、（1）；（2）；（3）4.【解析】(1)根據圓圓心和半徑設圓的標準方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑即可求出a；(2)根據題意寫出AB的方程，根據垂徑定理即可求出弦長；(3)根據題意求出AB經過的定點Q，當CQ垂直于AB時，AB最短.【小問1詳解】由題，設圓C的標準方程為，則，解得.故圓C方程為；【小問2詳解】根據題意可知，直線的方程為，即，圓心C到直線的距離為，故弦長；【小問3詳解】設，則，又直線方程為：，故直線過定點Q，設圓心C到直線距離為，則，故當最大時，最短，而，故與垂直時最大，此時，，∴線段長度的最小值4.21、（1）表格見解析，有（2）【解析】（1）根據統計圖計算填表即可；（2）根據古典概型計算公式計算即可.【小問1詳解】根據統計圖可得：每天在線學習數學的時長不超過1小時數學成績不超過120分的有人，每天在線學習數學的時長不超過1小時數學成績超過120分的有人，每天在線學習數學的時長超過1小時數學成績不超過120分的有人，每天在線學習數學的時長超過1小時數學成績超過120分的有人，可得列聯表如下：數學成績不超過120分數學成績超過120分總計每天在線學習數學的時長不超過1小時151025每天在線學習數學的時長超過1小時51520總計202545根據列聯表中的數據，所以有95%的把握認為“高二學生的這次摸底考試數學成績與其每天在線學習數學的時長有關”【小問2詳解】由列聯表可得，被抽查學生中這次數學成績超過120分的有25人，其中每天在線學習數學的時長不超過1小時的有10人，每天在線學習數學的時長超過1小時的有15人，人數比為2∶3，按分層抽樣每天在線學習數學的時長不超過1小時的抽2人，記為：1，2；每天在線學習數學的時長超過