專題45圖形變換與坐標變化

c知識導航

■?/><;1考點3：圖形的旋轉考點1:圖形的軸對稱與中心對稱

圖形變換與坐標變化

考點4:圖形變換與坐標變化

［可知識精講

考點1：圖形的軸對稱與中心對稱

1.軸對稱、軸對稱圖形

(1)軸對稱:把一個圖形沿著某一條直線翻折過去,如果它能與另一個圖形重合，那么稱這兩

個圖形成軸對稱.兩個圖形中的對應點(即兩個圖形重合時互相重合的點)叫做對稱點.

(2)軸對稱圖形:如果一個圖形沿某條直線對折，對折的兩部分是完全重合的,那么就稱這樣

的圖形為軸對稱圖形，這條直線稱為對稱軸.對稱軸一定為直線.

(3)軸對稱圖形變換的特征:不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置.新舊圖形具有對

稱性.

2.中心對稱、中心對稱圖形

(1)中心對稱:把一個圖形繞著某一點旋轉180。,如果它能與另一個圖形重合，那么這兩個圖

形成中心對稱，該點叫做對稱中心.

(2)中心對稱圖形:一個圖形繞著某一點旋轉180。后能與自身重合，這個圖形叫做中心對稱

圖形,該點叫做對稱中心.

【例1】(2021?湖南衡陽市?中考真題)在以下綠色食品、回收、節能、節水四個標志中,

是軸對稱圖形的是()

【答案】D

【分析】

根據軸對稱圖形的概念求解.如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖

形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.

【詳解】

A、不是軸對稱圖形，故A不符合題意；

B、不是軸對稱圖形，故B不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，故C不符合題意；

D、是軸對■稱圖形，故D符合題意.

故選D.

【例2】（2021.湖北宜昌市.中考真題）下列四幅圖案是四所大學校徽的主體標識，其中是

中心對稱圖形的是（）

【答案】C

【分析】

把一個圖形繞某一點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形

就叫做中心對稱圖形.

【詳解】

解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

8、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

C、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意.

故選：C.

/方法技巧

（1）1卬八'J牛小I）UUZU義：一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠相互重合，

則這個圖形是軸對稱圖形；

（2）中心對稱圖形的定義：一個平面圖形繞某個點旋轉180。后能夠與原圖形完全重合，則

這個圖形是中心對稱圖形.

y針對訓練

1.INU/UFLK，「列圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是（）

A.L-----------?B.L---------------------、

【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：人既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

8、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不合題意；

。、既是中心對稱圖形，乂是軸對稱圖形，符合題意.

故選：D.

2.（2020?揚州）“致中和，天地位焉，萬物育焉對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現,

常被運用于建筑、器物、繪畫、標識等作品的設計上，使對稱之美驚艷了千年的時光.在

下列與揚州有關的標識或簡圖中，不是軸對稱圖形的是（）

【分析】根據軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷利用排除法求解.

【解答】解：A、是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

3、是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

C、不是軸對稱圖形，故本選項符合題意；

。、是軸對稱圖形，故本選項不合題意.

故選：C.

3.下面的圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

o-o

【解答】A.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故A選項不符合題意；

B.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故B選項不符合題意；

C.既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故C選項符合題意；

D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故D選項不符合題意.

故選C.

考點2：圖形的平移

（1）定義:在平面內，將某個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移.

（2）特征:①平移后,對應線段相等且平行，對應點所連的線段平行且相等.

②平移后，對應角相等且對應角的兩邊分別平行，方向相同.

③平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置，平移后新舊兩圖形全等.

【例3】（2021?浙江紹興市?中考真題）數學興趣小組同學從“中國結”的圖案（圖1）中發現,

用相同的菱形放置，可得到更多的菱形.如圖2,用2個相同的菱形放置，得到3個菱形.下

面說法正確的是（）

用3個相同的菱形放置，最多能得到6個菱形

用4個相同的菱形放置，最多能得到15個菱形

用5個相同的菱形放置，最多能得到27個菱形

用6個相同的菱形放置，最多能得到41個菱形

【答案】B

【分析】

根據平移和大菱形的位置得出菱形的個數進行判定即可

【詳解】

解：用2個相同的菱形放置，最多能得到3個菱形，

用3個相同的菱形放置，最多能得到8個菱形，

用4個相同的菱形放置，最多能得到15個菱形，

用5個相同的菱形放置，最多能得到22個菱形，

用6個相同的菱形放置，最多能得到29個菱形，

故選：B.

，方法技巧

——

掌握平核的基本概念及平移規律；

(2)圖形的平移只是位置的變化，圖形大小與形狀不變.

y針對訓練

1.(2021?浙江麗水市?中考真題)四盞燈籠的位置如圖.己知A,8,C,。的坐標分別是(-1,

b),(1,b),(2,b),(3.5,b),平移)，軸右側的一盞燈籠，使得y軸兩側的燈籠對稱，則平

移的方法可以是()

ABCD

-Ox

A.將B向左平移4.5個單位B.將C向左平移4個單位

C.將。向左平移5.5個單位D.將C向左平移3.5個單位

【答案】C

【分析】

直接利用利用關于)，軸對稱點的性質得出答案.

【詳解】

解：..?點A(-1,b)關于y軸對稱點為8(1,b),

C(2,加關于y軸對稱點為(-2,b),

需要將點。(3.5,b)向左平移3.5+2=55個單位,

故選：C.

2.(2021.山東臨沂市.中考真題)在平面直角坐標系中，口ABCD的對稱中心是坐標原點,

頂點A、8的坐標分別是(-1,1)、(2,1),將口A3CD沿x軸向右平移3個單位長度，則頂

點C的對應點G的坐標是一.

【答案】(4,-1)

【分析】

根據平行四邊形的性質得到點C坐標，再根據平移的性質得到Ci坐標.

【詳解】

解：在平行四邊形A8CD中,

:對稱中心是坐標原點，4(-1,1),B(2,1),

：.C(I,-1),

將平行四邊形ABCD沿x軸向右平移3個單位長度，

ACi(4,-1),

故答案為：(4,-1).

考點3：圖形的旋轉

(1)定義:在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向旋轉一個角度,這樣的圖形運動稱為

旋轉.這個定點稱為旋轉中心，轉動的角度稱為旋轉角.

(2)特征:圖形旋轉過程中，圖形上每一個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同角度;注意

每對對應點與旋轉中心的連線所成的角度都是旋轉角，旋轉角都相等;對應點到旋轉中心的距

離相等.

【例4】(2021.遼寧大連.中考真題)如圖，在AABC中，ZACB=90°,ZBAC=a,將AABC

繞點C順時針旋轉90。得到VA'5'C,點8的對應點￡在邊AC上(不與點A,C重合)，

則NAA'9的度數為()

A.aB.c—45°C.45°-?D.90°-<z

【答案】C

【分析】

由旋轉的性質可得NC4'B'=NC4B=a,ZAC4'=90。,AC=AC,進而可得N/WC=45。，

然后問題可求解.

【解析】

解：由旋轉的性質可得：ZCA'B'=ZCAB=a,NACA=90。,AC=AC,

AAAC4'等腰直角三角形，

ZAA'C=45°,

：.ZAA'B'=45o-a；

故選C.

【例5】（2021?四川廣安市?中考真題）如圖，將AAbC繞點A逆時針旋轉55°得到

若NE=70°且AD18C于點/，則NB4c的度數為（）

【答案】C

【分析】

由旋轉的性質可得/A4D=55。，/￡=乙4cB=70。，由直角三角形的性質可得/D4C=20。，即

可求解.

【詳解】

解：?.?將AABC繞點A逆時針旋轉55。得ZiADE,

：.ZBAD=55°,ZE=ZACB=10°,

'：AD±BC,

，ND4c=20。，

???ZBAC=ZBAD+ZDAC=75°.

故選C.

/方法技巧

旋轉的住偵:

(1)旋轉前后兩圖形全等；

(2)對應點到旋轉中心的距離相等；

(3)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角.

y針對訓練

1.(2021?黑龍江大慶?中考真題)如圖，尸是線段8上除端點外的?點，將AADF繞正方

形ABC。的頂點A順時針旋轉90。，得到zMBE.連接E尸交AB于點下列結論正確的

是()

A.ZE4F=120°B.AE:EF=\:^/3C.AF2=EH-EFD.EB:AD=EH:HF

【答案】D

【分析】

根據旋轉的性質可以得到△EA尸是等腰直角三角形，然后根據相似三角形的判定和性質，

以及平行線分線段成比例定理即可作出判斷.

【解析】

解：根據旋轉的性質知：ZE4F=90°,故A選項錯誤；

根據旋轉的性質知：/EAF=90。，EA=AF,則△EAF是等腰直角三角形，

：.EF=y[2AE,即A￡：￡F=1：五,故B選項錯誤；

PApp

若。選項正確，則AF2=AE2=EH?EF，BP—=—,

,/NAEF=NHEA=45。,

:.△EAF~&EHA,

：.ZEAH=ZEFA,

而/E項=45°,NEAH片45。,

：.ZEAH^ZEFA,

假設不成立，故C選項錯誤；

.??四邊形ABC。是正方形，

：.CD//AB,BPBH//CF,AD=BC,

:.EB：BC=EH：HF,即EB：AD=EH：HF,故。選項正確；

故選：D

2.（2021?四川廣安市?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，軸，垂足為5,將

3

△ABO繞點A逆時針旋轉到VAB0］的位置，使點B的對應點均落在直線y=--x上，

4

再將VABOi繞點B1逆時針旋轉到AA/IQ的位置，使點。1的對應點02也落在直線

3

y=-jx上，以此進行下去……若點8的坐標為（0,3）,則點”的縱半杼為

【分析】

計算出AA08的各邊，根據旋轉的性質，求出OS,B方3,…，得出規律，求出0821,再根

據一次函數圖像上的點求出點的縱坐標即可.

【詳解】

解：...ABJ"），軸，點8（0,3）,

3

，。8=3,則點A的縱坐標為3,代入y=--X,

3

得：3=—x,得：式二-4,即A(-4,3),

4

.?.08=3,AB=4,0A=打+42=5,

由旋轉可知：

OB=O\B\=O2B\=O2B2=...=3,OA=OIA=O2AI=...=5,AB=AB\=A\B\=A2B2=...=4,

：.08產。4+45=4+5=9,8&=3+4+5=12,

???O82I=O8]+B&I=9+(21-1)^2x12=129,

設（a,-：4），則0&尸=129,

?,?516516,人、

解k得：a=——或---（舍），

□07

,即點B21的縱坐標為?!■,

考點4：圖形變換與坐標變化

【例6】（2020?廣東）在平面直角坐標系中，點（3,2）關于x軸對稱的點的坐標為（）

A.（-3,2）B.（-2,3）C.（2,-3）D.（3,-2）

【分析】根據“關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數''解答即可.

【解答】解：點（3,2）關于x軸對稱的點的坐標為（3,-2）.

故選：D.

【例7】（2021?湖南懷化市?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知A（-2,1）,8（-1,4）,

將AABC先向右平移3個單位長度得到“，居6，再繞G順時針方向旋轉90°

【答案】（2,2）.

【分析】

直接利用平移的性質和旋轉的性質得出對應點位置，然后作圖，進而得出答案.

【詳解】

根據圖像可知，人的坐標是（2,2）,

故答案是：（2,2）.

?針對訓練

1.133E7,am，將△A8C先向上平移1個單位，再繞點尸按逆時針方向旋轉90。,

得到△則點A的對應點4的坐標是（）

【分析】根據平移和旋轉的性質，將△ABC先向上平移1個單位，再繞點P按逆時針方

向旋轉90°,得到△AEC,即可得點A的對應點4的坐標.

【解答】解：如圖，

則點4的對應點4的坐標是(-1,4).

故選：D.

2.(2020?泰安)如圖，將正方形網格放置在平面直角坐標系中，其中，每個小正方形的邊

長均為1,點A,B,C的坐標分別為A(0,3),B(-1,1),C(3,1).△A'B'C

是△A8C關于x軸的對稱圖形，將△A'B'C繞點8'逆時針旋轉180。，點4的對應點為M,

則點M的坐標為.

【分析】延長后得出點進而利用圖中坐標解答