2024年春期高2023級高一期末考試數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.第I卷（選擇題58分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.設全集，集合，則（）A B. C. D.2.已知第二象限角,A B. C. D.3.在平行四邊形中，為邊的中點，記，，則（）A. B.C. D.4.如果函數的一個零點是，那么可以是（）A. B. C. D.5.在中，內角A，B，C所對應的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（）A. B. C. D.6.已知，，，若，則（）A. B. C. D.7.如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（）A. B. C. D.8.已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（）A. B.C. D.二、多項選擇題（每小題6分，共3小題，共18分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知復數z，下列說法正確的是（）A.若，則z為實數 B.若，則C.若，則的最大值為2 D.若，則z為純虛數10.已知a，b，c滿足，且，則下列選項中恒成立的是（）A. B.C. D.11.如圖，在中，，，，過中點的直線與線段交于點．將沿直線翻折至，且點在平面內的射影在線段上，連接交于點，是直線上異于的任意一點，則（）A.B.C.點的軌跡的長度為D.直線與平面所成角的余弦值的最小值為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案直接填在答題卡中的橫線上.）12.一個水平放置的平面圖形的直觀圖，它是底角為，腰和上底長均為的等腰梯形，則原平面圖形的面積為___________.13.已知，則______．14.已知將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則在上的值域為_________．四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知，，與的夾角為．（1）求；（2）當為何值時，．16.已知.（1）化簡；（2）已知，求值.17.已知函數的一段圖象過點，如圖所示．（1）求函數的表達式；（2）將函數的圖象向右平移個單位，得函數的圖象，求在區間上的值域；（3）若，求的值.18.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.19.已知為坐標原點，對于函數，稱向量為函數伴隨向量，同時稱函數為向量的伴隨函數.（1）設函數，試求的伴隨向量的坐標；（2）記向量的伴隨函數為，當且時，求的值；（3）設向量，的伴隨函數為，的伴隨函數為，記函數，求在上的最大值.2024年春期高2023級高一期末考試數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.第I卷（選擇題58分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.設全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解方程求出集合B,再由集合的運算即可得解.【詳解】由題意，，所以,所以故選：D.2.已知是第二象限角,A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】cosα＝±＝±，又∵α是第二象限角，∴cosα＝－.3.在平行四邊形中，為邊的中點，記，，則（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據向量的線性運算法則，求得，結合，即可求解.【詳解】如圖所示，可得，所以.故選：D．4.如果函數的一個零點是，那么可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】由題意令，解方程即可得解.【詳解】由題意，解得，對比選項可知只有，符合題意.故選：D.5.在中，內角A，B，C所對應的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據正余弦定理及面積公式化簡計算即可.【詳解】由余弦定理可得：由條件及正弦定理可得：，所以，則．故選：A6.已知，，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用以及倍角公式求出，進而根據可得，再代入計算即可.【詳解】，，，,解得或，又，則，，故選：B.7.如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將四面體補形成長方體，長方體的長?寬?高分別為、、，長方體的外接球即為四面體的外接球，而長方體外接球的直徑即為其體對角線，求出外接球的直徑，即可求出外接球的表面積.【詳解】將四面體補形成長方體，長方體的長?寬?高分別為、、，四面體的外接球即為長方體的外接球，而長方體的外接球的直徑等于長方體的體對角線長，設外接球的半徑為，故，所以外接球表面積為.故選：B.8.已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數量積定義可得，或然后結合三角函數的性質即可確定的最大值.【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得當點位于直線異側時或PB為直徑時，設，則：，則當時，有最大值.當點位于直線同側時，設，則：，，則當時，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數量積的問題轉化為三角函數求最值的問題，考查了學生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.二、多項選擇題（每小題6分，共3小題，共18分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知復數z，下列說法正確的是（）A.若，則z為實數 B.若，則C.若，則的最大值為2 D.若，則z為純虛數【答案】AC【解析】【分析】根據題意，由復數的運算以及其幾何意義，對選項逐一判斷，即可得到結果.【詳解】設，則，若，即，即，則z為實數，故A正確；若，即，化簡可得，即，即，當時，，，此時不一定滿足，當時，，，此時不一定滿足，故B錯誤；若，即，所以，即表示以為圓心，以為半徑的圓上的點，且表示圓上的點到原點的距離，所以的最大值為2，故C正確；若，即，，即，化簡可得，則且，此時可能為實數也可能為純虛數，故D錯誤；故選：AC10.已知a，b，c滿足，且，則下列選項中恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據題干條件可得到，b與0的大小關系不確定，進而可得到選項ABC均正確，D選項不確定.【詳解】∵，且，∴，而b與0的大小關系不確定，∴，，均恒成立，而與的大小關系不確定.故選：ABC.11.如圖，在中，，，，過中點的直線與線段交于點．將沿直線翻折至，且點在平面內的射影在線段上，連接交于點，是直線上異于的任意一點，則（）A.B.C.點的軌跡的長度為D.直線與平面所成角的余弦值的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】A、B選項結合線面角最小，二面角最大可判斷;對于C，先由旋轉，易判斷出，故其軌跡為圓弧，即可求解.對于D求直線與平面所成角的余弦值，即求，，用表示，再結合三角恒等變換求出函數的最值即可【詳解】依題意，將沿直線翻折至，連接,由翻折性質可知，關于所沿軸對稱的兩點連線被該軸垂直平分，故，又在平面內的射影在線段上，所以平面，平面，所以，，平面，平面所以平面.平面，平面，平面，，，且即為二面角的平面角對于A選項，由題意可知，為與平面所成的線面角，故由線面角最小可知，故A錯誤；對于B選項，即為二面角的平面角，故由二面角最大可知，故B正確；對于C選項，恒成立，故的軌跡為以為直徑的圓弧夾在內的部分，易知其長度為，故C正確；對于D選項，如下圖所示設，中，，，在中，，，所以，設直線與平面所成角為，則，當且僅當時取等號，故D正確．故選：BCD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案直接填在答題卡中的橫線上.）12.一個水平放置的平面圖形的直觀圖，它是底角為，腰和上底長均為的等腰梯形，則原平面圖形的面積為___________.【答案】【解析】【分析】計算出梯形的下底的長，作出原圖形，確定原圖中梯形的上、下底的長以及梯形的高，利用梯形的面積公式可求得結果.【詳解】在直觀圖等腰梯形，，且，如下圖所示：分別過點、作，，垂足分別為點、，由題意可知，所以，，同理可得，因為，，，則四邊形為矩形，所以，，故，將直觀圖還原為原圖形如下圖所示：由題意可知，梯形為直角梯形，，，，，，因此，梯形的面積為.故答案為：.13.已知，則______．【答案】或##或【解析】【分析】首先根據誘導公式求出，再利用同角三角函數關系式求出的值，從而可求出的值.【詳解】因為，所以，所以或，當時，，；當時，，.故答案為：或.14.已知將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則在上的值域為_________．【答案】【解析】【詳解】，向左平移個單位長度后得到的圖象，則，，，，則在上的值域為.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知，，與的夾角為．（1）求；（2）當為何值時，．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量數量積的運算性質可求得的值；（2）由已知可得出，利用平面向量數量積的運算性質可求得實數的值.【小問1詳解】解：因為，，與的夾角為，則，所以，.【小問2詳解】解：因為，則，解得.16.已知.（1）化簡；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）3.【解析】【分析】（1）利用三角函數的誘導公式化簡即得；（2）根據同角關系式結合條件即得.【小問1詳解】.【小問2詳解】因為，所以，∴.17.已知函數的一段圖象過點，如圖所示．（1）求函數的表達式；（2）將函數的圖象向右平移個單位，得函數的圖象，求在區間上的值域；（3）若，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）通過三個連續零點的值可以求出函數的周期，根據最小正周期公式可以求出的值，將特殊點代入解析式中，可以求出，的值，進而確定函數解析式；（2）根據正弦型函數的圖象變換特點可以求出的解析式，由可求出，進而得到的值域；（3）根據可求出，由此求出，進而得到的值.【小問1詳解】由圖知，，則.由圖可得，在處最大值，又因為圖象經過，故，所以，故，又因為，所以，函數又經過，故，得.所以函數的表達式為．【小問2詳解】由題意得，，因為，所以，則，所以，所以在區間上的值域為.【小問3詳解】因為，所以，即，又因為，所以，由，所以.所以，所以.18.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；(2)方法二：利用幾何關系找到二面角的平面角，然后結合相關的幾何特征計算三棱錐的體積即可.【詳解】（1）因為，O是中點，所以，因為平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因為平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐標法如圖所示，以O為坐標原點，為軸，為y軸，垂直且過O的直線為x軸，建立空間直角坐標系，則，設,所以，設為平面的法向量，則由可求得平面的一個法向量為．又平面的一個法向量為，所以，解得．又點C到平面的距離為，所以，所以三棱錐的體積為．[方法二]【最優解】：作出二面角的平面角如圖所示，作，垂足為點G．作，垂足為點F，連結，則．因為平面，所以平面，為二面角的平面角．因為，所以．由已知得，故．又，所以．因為，．[方法三]：三面角公式考慮三面角，記為，為，，記二面角為．據題意，得．對使用三面角的余弦公式，可得，化簡可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化簡可得．②將①②兩式平方后相加，可得，由此得，從而可得．如圖可知，即有，根據三角形相似知，點G為的三等分點，即可得，結合的正切值，可得從而可得三棱錐的體積為．【整體點評】(2)方法一：建立空間直角坐標系是解析幾何中