浙江省衢溫5+1聯(lián)盟20232024學年高二下學期期中數(shù)學試卷(解析版)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用補集、交集定義求出結果．【詳解】集合，，∴，則．故選：B．2.拋物線的焦點到準線的距離為（）A.4 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】利用焦點到準線的距離為，即可求解【詳解】因為拋物線的焦點到準線的距離為，所以由拋物線可得，故選：B3.已知，則|z|2＝（）A. B.1 C.2 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)模長的性質求解．【詳解】解：由題意，．故選：B．4.已知m，n，l是三條互不重合的直線，是兩個不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.若則 B.若則C.若則 D.若則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由直線與直線的位置關系分析A；由直線與平面平行的性質分析B；由直線與平面垂直的性質分析C；由平面與平面垂直的性質分析D，綜合可得答案．【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，若，，則與可能平行、相交或異面，A錯誤；對于B，若，，則或，B錯誤；對于C，若，，由線面垂直的定義，必有，C正確；對于D，若，，則與平面可能平行，也可能相交或者在內(nèi)，D錯誤．故選：C．5.若α為銳角，且，則cos2α＝（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)α為銳角和的值，得到的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關系即可求出的值，然后根據(jù)二倍角的正弦公式求出的值，再根據(jù)誘導公式及正弦函數(shù)為奇函數(shù)，即可得到cos2α的值．【詳解】∵，∴，又，∴，∴，∴，則．故選：A．6.已知定義在R上的函數(shù)滿足對任意的，且都成立，設，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)單調(diào)性的定義分析可得函數(shù)在R上為減函數(shù)，再比較，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，定義在R上函數(shù)滿足對任意的，且都成立，則函數(shù)在R上為減函數(shù)，又由，則有，即．故選：D．7.某一時間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量．在綜合實踐活動中，某小組自制了一個圓臺形雨量收集器（大口向上無蓋，不考慮厚度）如圖，兩底面直徑高為．在一次降雨過程中，利用該雨量器收集的雨水高度是，則該雨量器收集的雨水體積（）為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出圖形，求出圓臺型雨水的上底面圓的半徑，再根據(jù)圓臺的體積公式，即可求解．【詳解】如圖，根據(jù)題意可得設，則根據(jù)題意可知，∴，∴，設，則易知，∴，∴，∴該雨量器收集的雨水體積為．故選：B．8.在△ABC中，BC＝2，，D為BC中點，在△ABC所在平面內(nèi)有一動點P滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)化簡整理得出，由此將化簡，可得．根據(jù)且，得到點A在以BC為弦的優(yōu)弧上運動（不含端點），以B為原點建立直角坐標系，求出所在圓的方程，設出點A的坐標，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算法則與圓的性質求出的最大值，進而得到答案．【詳解】由，得，即，所以．因為，，所以點A在以BC為弦的優(yōu)弧上運動（不含端點）．設所在圓的圓心為M，連接MB、MC、MD，則MD⊥BC，，可得，，．以B為原點，BC所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系，可得，圓M的方程為，設，則，結合，可得，因為A點在圓M：上運動，所以，可得當時，，達到最大值．綜上所述，當時，有最大值．故選：D．【點睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關知識進行求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2024，則（）A.的平均數(shù)等于的平均數(shù)B.的中位數(shù)等于的中位數(shù)C.的標準差不小于的標準差D.的極差等于的極差【答案】AD【解析】【分析】對于ACD：根據(jù)平均數(shù)、標準差、極差的定義逐個判斷；對于B：舉反例說明即可.【詳解】對于選項A：因為樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)為2024，則，所以的平均數(shù)為，所以的平均數(shù)等于的平均數(shù)，故A正確；對于選項B：例如，可知的中位數(shù)為，將按升序排列，可知的中位數(shù)為2023，兩者不相等，故B錯誤；對于選項C：設樣本數(shù)據(jù)的標準差為，則，即，可得的標準差，所以的標準差不大于的標準差，故C錯誤；對于選項D：因為樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2024，若，則、的極差均為0；若不全部相等，不妨設是最小的數(shù)據(jù)，是最大的數(shù)據(jù)，則，可知樣本數(shù)據(jù)的極差為，又因為數(shù)據(jù)的最小數(shù)據(jù)是，最大數(shù)據(jù)是，所以數(shù)據(jù)的極差也是；綜上所述：的極差等于的極差，故D正確．故選：AD．10.（多選）如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在ts時相對于平衡位置的高度h（單位：）由關系式確定，其中小球從最高點出發(fā)，經(jīng)過后，第一次到達最低點，則（）A.B.C.時，小球運動速度最快D.時，小球向下運動【答案】BC【解析】【分析】由小球從最高點出發(fā)，求出的值，通過周期，可求出，通過導數(shù)，可計算瞬時速度，利用周期性即可判斷選項D．【詳解】由小球從最高點出發(fā)，則時，，解得，又因為，所以，選項A錯誤；因為周期，所以，選項B正確；由，，，所以時，小球運動速度最快，選項C正確；當，所以時，小球向上運動，選項D錯誤．故選：BC．11.（多選）已知，的定義域為R，若，，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù) B.為奇函數(shù)C. D.關于對稱【答案】ACD【解析】【分析】由為偶函數(shù)，可得，關于對稱，從而判斷D；由，可得，即有，從而判斷A；用賦值法判斷C；用賦值法可求得，又由是定義在R上的奇函數(shù)，即可判斷B．【詳解】D選項，因為為奇函數(shù)，所以，所以函數(shù)關于中心對稱，且，；又因為為偶函數(shù)，所以，所以關于對稱，且，故D正確；A選項，又因為，用替換x，得，又因為，所以，用x替換，得，所以是R上的偶函數(shù)，故A正確；C選項，由，可得，即，，所以，所以函數(shù)的周期為8，在中，令，則有，又因為，所以，在中，令，則有，又因為為偶函數(shù)，所以，故C正確；B選項，在中，令，則有，又因為，所以，又因為的定義域為R，所以不為奇函數(shù)，故B錯誤．故選：ACD．【點睛】結論點睛：設函數(shù)，，，．（1）若，則函數(shù)的周期為2a；（2）若，則函數(shù)的周期為2a；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a；（5）若，則函數(shù)的周期為；三、填空題：本題共3小題，每小題5分共15分.12.若二項式展開式中的系數(shù)是160，則實數(shù)_____．【答案】2【解析】【分析】直接利用二項式展開式以及組合數(shù)求出結果．【詳解】根據(jù)二項式的展開式，令，解得，則的系數(shù)為，解得．故答案為：2．13.將4個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子非空，則不同的放法有_______種．【答案】36【解析】【分析】利用捆綁法、分步乘法計數(shù)原理，結合排列組合知識求解．【詳解】將4個不同的小球分成3組，有種分組方法，然后全排列放入3個不同的盒子，所以不同的放法共有種．故答案為：36．14.已知橢圓的右焦點為F，過坐標原點O的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點M位于第一象限，直線MF與橢圓C交于另外一點A，且，若，，則橢圓C的離心率為____．【答案】【解析】【分析】設橢圓的左焦點為，連接，根據(jù)橢圓的定義可得，，再根據(jù)，兩邊平方可求橢圓C的離心率．【詳解】設橢圓的左焦點為，連接，則四邊形為為平行四邊形，設，因為，，則，且，可得，，又因為，則，在中，則，可得，即，解得，所以橢圓C的離心率．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，記數(shù)列的前n項和為，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的中項性質，解方程可得首項和公差，進而得到所求；（2）裂項相消求和，計算可得所求和．【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為d，由成等比數(shù)列，可，即，又，即，即有，，解得，則；【小問2詳解】，則數(shù)列的前n項和，可得．16.如圖，在四棱柱中，底面是邊長為2的菱形且，點在底面上的射影為邊的中點，點分別為邊的中點．（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意可證得四邊形為平行四邊形，即證得，進而可證得平面，平面，再證得平面平面，進而可證得結論；（2）建立空間坐標系，可得各點的坐標，可得直線的方向向量與平面的法向量的坐標，可得兩個向量的夾角的余弦值，即求出線面的正弦值，進而可得夾角的大小．【小問1詳解】連接，因為分別為的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，，平面，平面，所以平面，又因為，所以平面平面，而平面，所以平面.【小問2詳解】如圖，以為坐標原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，因為底面是邊長為2的菱形且，所以，，所以，所以，所以，，，設平面的法向量為＝（x，y，z），則，即，令，得到，所以，所以，，，所以，設直線B1C與平面B1BE所成的角為θ，，所以，得到．即直線與平面B1BE所成的角為．17.已知．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，求的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，結合導數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，分類討論根的大小，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．【小問1詳解】由題意可知：的定義域為，且，當時，則，，可得，，即切點坐標為，切線斜率為，所以所求的切線方程為，即.【小問2詳解】由（1）可知：的定義域為，，且令，解得或或（舍去），當，即時，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增；當，即時，則有：若，則；若，則；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當，即時，則有：若，則；若，則；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；綜上所述：當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減為．18.新高考數(shù)學試卷增加了多項選擇題，每小題有A、B、C、D四個選項，原則上至少有2個正確選項，至多有3個正確選項，題目要求：“在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．”其中“部分選對的得部分分”是指：若正確答案有2個選項，則只選1個選項且正確得3分；若正確答案有3個選項，則只選1個選項且正確得2分，只選2個選項且都正確得4分．（1）若某道多選題的正確答案是BD，一考生在解答該題時，完全沒有思路，隨機選擇至少一個選項，至多三個選項，寫出該生所有選擇結果構成的樣本空間，并求該考生得正分的概率；（2）若某道多選題的正確答案是ABD，一考生在解答該題時，完全沒有思路，隨機選擇至少一個選項，至多三個選項；在某考生此題已得正分的條件下，求該考生得4分的概率；（3）若某道多選題正確答案是2個選項或是3個選項的概率均等，一考生只能判斷出A選項是正確的，其他選項均不能判斷正誤，給出以下方案，請你以得分的數(shù)學期望作為判斷依據(jù)，幫該考生選出恰當方案：方案一：只選擇A選項；方案二：選擇A選項的同時，再隨機選擇一個選項；方案三：選擇A選項的同時，再隨機選擇兩個選項．【答案】（1）答案見解析；（2）（3）選擇方案一更恰當【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型計算公式進行求解即可；（2）根據(jù)古典概型和條件概率的計算公式求解即可；（3）設方案一、二、三的得分分別為，，，分別求出三種方案下，，的可能取值，及其對應的概率，再求出它們的數(shù)學期望，根據(jù)數(shù)學期望的大小關系進行判斷即可.【小問1詳解】依題意有，設“某題的答案是，該考生得分”，則，.【小問2詳解】設“某題的答案是，該考生得正分”，則，，設“某題的答案是，該考生得4分”，則，，所以該考生此題已得正分的條件下，則該考生得4分的概率為.【小問3詳解】設方案一、二、三的得分分別為，，，方案一：，，，即的分布列為：23則；方案二：，，，，即的分布列為：046則；方案三：，，，即的分布列為：06則，，以得分的數(shù)學期望作為判斷依據(jù)選擇方案一更恰當.19.已知，且，點P的軌跡為C．（1）求C的方程；（2）直線l：與C相交于M，N兩點，第一象限上點T在軌跡C上．（ⅰ）若是等邊三角形，求實數(shù)k的值；（ⅱ）若，求面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義即可求解；（2）（ⅰ）由直線分