人教版高中數學選修2-2PAGEPAGE1課時作業2：2.3數學歸納法一、選擇題（每小題5分，共20分）1．一個關于自然數n的命題，如果驗證當n＝1時命題成立，并在假設當n＝k(k≥1且k∈N*)時命題成立的基礎上，證明了當n＝kA．一切正整數命題成立B．一切正奇數命題成立C．一切正偶數命題成立D．以上都不對2．在數列{an}中，an＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)，則ak＋1＝()A．ak＋eq\f(1,2k＋1)B．ak＋eq\f(1,2k＋2)－eq\f(1,2k＋4)C．ak＋eq\f(1,2k＋2)D．ak＋eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2)3.設平面內有k條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點，設k條直線的交點個數為f(k)，則f(k＋1)與f(k)的關系是(A．fB．C．D．4.用數學歸納法證明“當n為正奇數時，x2+y2能被x＋yA．假設n＝2k＋1(k∈N*B．假設n＝2k－1(k∈N*C．假設n＝k(k∈N*)正確，再推D．假設n＝k(k≥1)正確，再推二、填空題(每小題5分，共10分)5．用數學歸納法證明1＋2＋3＋…＋6．利用數學歸納法證明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N三、解答題(共70分)7.（15分）對于n∈N*，用數學歸納法證明：1·n8.（20分）已知正項數列{an}和{bn}(1)證明：對任意n∈N*，有an＋bn＝(2)求數列{an}9．(20分)數列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N*(1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式a(2)用數學歸納法證明(1)中的猜想．10.（15分）已知點Pn(an，bn)滿足an+1＝an·bn+1，bn＋1＝bn1-4an2((1)求過點P1，P2的直線l的方程；(2)試用數學歸納法證明：對于n∈N*，點Pn都在(1)中的直線l2.3數學歸納法答題紙得分：選擇題二、填空題5．6．三、解答題7.8.9.10.2.3數學歸納法[答案]一、選擇題1[答案]B[解析]本題證的是對n＝1,3,5,7，…命題成立，即命題對一切正奇數成立．2[解析]D[答案]a1＝1－eq\f(1,2)，a2＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)，…，an＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)，ak＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2k－1)－eq\f(1,2k)，所以，ak+1＝ak＋eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2).3[答案]C[解析]當n＝k＋1時，任取其中1條直線，記為l，則除l外的其他k條直線的交點的個數為f(k)，因為已知任何兩條直線不平行，所以直線l必與平面內其他k條直線都相交(有k個交點)；又因為已知任何三條直線不過同一點，所以上面的k個交點兩兩不相同，且與平面內其他的f(k)個交點也兩兩不相同，從而平面內交點的個數是f(k)4[解析]首先要注意n為奇數，其次還要使n＝2k－二、填空題5[答案]k[解析]n＝n＝k6[答案]22k[解析]當當時(k則左邊應增乘的式子是2(2k＋三、計算題7[解析]設f(n)(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝1(2)設當n＝k則當n＝fk＝eq\f(1,6)＝eq\f(1,6)∴由(1)(2)可知當n∈8[解析](1)證明：用數學歸納法證明．①當n＝1時，a1②假設n＝k(k≥1且k∈N*)時命題成立，即ak+bk=1，則當n＝k＋1時，ak+1+bk+1＝a∴當n＝由①、②可知，an+bn=1對(2)∵an+1＝anb∴1an+1即1a數列{1an}是公差為1的等差數列，其首項為1a1an＝1a＋(n－1)×19[解析](1)a1＝1，a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(7,4)，a4＝eq\f(15,8)，由此猜想an＝＝2n-12n-1((2)證明：當n＝1時，a1假設n＝k(k≥1，且即ak＝eq\f(2k－1,2k－1)，那么n＝k＋1(k≥1ak＋1＝Sk＋1-Sk－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋∴2ak＋1＝2＋ak，∴ak＋1＝2+ak2＝2+這表明n＝∴an＝2n-12n-1(n∈10[解析](1)由P1的坐標為(1，－1)知a1＝1，b1＝－∴b2＝eq\f(b1,1－4a12)＝eq\f(1,3).a2＝a1·b2＝eq\f(1,3).∴點P2的坐標為(eq\f(1,3)，eq\f(1,3))∴直線l的方程為2(2)證明：①當n＝2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1②假設n＝