§3.5二次函數的綜合應用

五年中考

考點1拋物線與線段長、面積、角度

1.（2021內蒙古包頭,26,12分）如圖,在平面直角坐標系中，拋物線片-*+4x經過坐標原點，與x軸正半軸交于

點4點是拋物線上一動點.

⑴如圖1,當初>0,/7>0,且/7=3/77時，

①求點用的坐標；

②若點在該拋物線上，連接。儀是線段8例上一動點（點。與點例8不重合），過點。作

MO,交x軸于點。線段OD與欣7是否相等？請說明理由；

（2）如圖2,該拋物線的對稱軸交x軸于點長點￡（%§在對稱軸上，當。>2,帆0,且直線EM交x軸的負半軸于

點F時，過點/）作x軸的垂線,交直線EM于點N、G為y軸上一點，點G的坐標為（0,，連接GF.若

￡74/V六=2幅求證:射線FE*'分KAFG.

E^\

CMS

圖2

解析⑴①：點M6,"）在拋物線上，且

臍+4<77=3/77,解得/77i=O（舍去），在=1,

.??/7=3,.?."1,3）.（2分）

②。。=的.理由如下：

.?點［澤y）在該拋物線上,

設直線MB交x軸于點〃，解析式為片向x+個氣*0),

(h+瓦=3,

J15..,15解得

i+b】=a，

3,15

.?片7戶手

當y=0時,產5,.々5,0),；。力5.

過點用作用以x軸,垂足為R,

:.OR=y,MR=3,:.RH=^,

:.OH=MH,:.zHOM=zHMO.

:用|MO;，HOM=4HDC,/HM8ZHCD,

:.zHDC=zHCD,:.HD=HC,:.OD=MC.(7分)

⑵證明:；對稱軸為直線A=--4T；=2,

NX(-l)

???陪).

:EF+NF=2MF、"NF-MF=MF-EF、

:.MN=ME.

過點例作欣入x軸,垂足為Q,

.?.￡《|恤|妙.??暮=瞿:。徒04

令-*+4A=0,解得XI=0,A2=4,."./4(4,0).

.附2,0),Qm,0)「.z7>2=4-。,

.,.6=3..”-32+4X3=3,=M3,3).

設直線EV的解析式為片改x+如良*0）,

儼+尻/解得七=|，

（3攵2+02=3,

b2=1.

2

：.y=-x+1.

設直線EM交y軸于點S,過點S作SMG6垂足為P.

當片o時，尸

當y=0時,戶|,二.4-|,0）,「。4|,。母1.

?.G(0,y)..-.(9G=y,.-.<?S=y.

：zGPS=zGOF^90°tzPGS=zOGFf

.3GPS~GOF,:喘喘準二三

設G尸=12a,貝ijPS=5a.

在RUGPS中,GP+PS=G8,

..(12a)2+(5句2=(同2

解得a=g（負值舍去）.

:.PS=1,:.PS=OS.

?.SaiG￡SQi/lE..射線FE平分/AFG.(12分)

注:各題的其他解法或證法可參照該評分標準給分.

2.（2021天津,25,10分）已知拋物線片a*-2aA+c（a,c為常數，分0）經過點頂點為D.

（1）當3=1時，求該拋物線的頂點坐標;

⑵當a>0時，點￡(0,1+a),若唱2立。G求該拋物線的解析式；

⑶當a<-1時，點過點C作直線/平行于x軸,M。，。)是x軸上的動點,M力'3,-1)是直線/上的動點.

當a為何值時，尸帆￡W的最小值為2VTU?并求此時點M/V的坐標.

解析⑴當a=1時，拋物線的解析式為片廬2對c.

,.拋物線經過點0[0,-1),

:.0-0+c=-1,解得c=-1.

二拋物線的解析式為片m-2*1.

?片第-2￥1=(*1)2-2,

..拋物線的頂點坐標為(1,-2).

⑵當3>0時，

由拋物線片a*-2ax+c經過點6(0,-1),可知c=-1.

二拋物線的解析式為片a*-2a*1.

二拋物線的對稱軸為直線片1.

當A=1時，尸全1.

..拋物線的頂點。的坐標為

過點。作。GL_T軸于點G.

在吊△。￡0中,。俳1,&?=1+a(-a1)=2>2,

:.DB=Da+E&=^+(2a+2y.

在R3OCG中,。0=1。合-1-(-a1)=a,

:QO=DG+CG=1+彳.

或。G即。子=8。。，

.?.1+(2A2)2=8(1+a2),解得&=今/=|.

二拋物線的解析式為片會或片|廬3*1.

⑶當a<-1時，

將點向左平移3個單位長度晌上平移1個單位長度得點0(-2,-a).

作點尸關于x軸的對稱點尸;得點尸的坐標為(0,a1).

當滿足條件的點例落在線段尸。上時，尸帆O/V最小，

此時,Z17!小。/V=尸。!=2VTU.

過點。作。以ry軸于點H.

在艮心F'D'H中，D'H=2,F'H=-a~Gl)=l-2a,

.?尸。2=尸以+。必=(i_2a)2+4.

又尸。2=40,即0-2a)2+4=4O.

解得a3="|,a4=；(舍).

.?.點尸的坐標為(0,[),點0的坐標為(々，3，

可得直線尸。的解析式為片-3年1.

當y=0時,A=1O.

7lO11

66

.?點例的坐標為(1,0),點AZ的坐標為仁,-1).

3.(2020新疆,23,13分)如圖,在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，拋物線片a*+/?A+c的頂點是力(1,3),將

04繞點。順時針旋轉90°后得到08,點6恰好在拋物線上,08與拋物線的對稱軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)戶是線段4?上一動點，且不與點4c重合，過點尸作平行于x軸的直線，與AQ48的邊分別交于例/V兩點,

將例2以直線/VW為對稱軸翻折，得到△力網.設點尸的縱坐標為m.

①當4/71W在內部時，求力的取值范圍;

②是否存在點尸，使S7幅尸Js.aw?若存在，求出滿足條件的）的值;若不存在,請說明理由.

O

解析（1）過點/作/ay軸，垂足為點2過點8作gX軸，垂足為點E.

則N。以=N0390；

由旋轉的性質可得OA=OB,zAOB=90°,

:.zAOCh-zAOE=zBOE+zAOE=9C。、

./AOD=zBOE、

(zODA=zOEB,

在△ZOO和△8CE中,NAOO=zBOE,

[OA=OB,

.?.△/。雇8。且AAS),

:.OD=OE,AD=BE,

>

?二41,3),:.BE=AD=\1OD=OE=3i

.?點8的坐標為(3,-1),

:拋物線y=ax^+bx+c的頂點是-4(1,3),

二片**1)2+3,

把33,-1)代入，解得k-1,

.?產-(*1尸+3,

:.y=-xi+2x+2.

⑵①拋物線的對稱軸為A=1,4(1,3),^1,m),根據翻折可知AP=A寧則41,2/77-3),

由鳳3,-1)可求得直線08的解析式為尸2%貝c(l,q),

.,.*2力3<3,解得g</7?<3.

②存在.

由力(1,3)和耳3,-1)可求得直線04和的解析式分別為片3x和片-2心5.

情況一：當*/77<3時，如圖所示.

政梟m)，M等,檸*=*=等.

.?6必”櫛S以“舄?做\"后：?吟電(35=整二

/LO1Z

-S^oA'^S^oA,c}-S^BA,cF^A,C-Xci-^A,C-(x&-Xc)=^A,C3=^(2m-^-3=3f7T-4.

.：S，A.M啟"。AB

.5(3-m)2=5(3m-4)

一~126~，

.?./77產6+舊(舍去),牝二6?舊,

/./77=6-V19.

情況二:當0工/77<券寸，如圖所示.

2

由情況一得s：芳粵L

:41,?J,.,.4C^g-2Z77,

?-S^OA'B=S^OA'c^SaBA'C^A'C^3=^XQ-2m)x3=4-3/77.

-S^A'MN^S^OA'B.

o

.5(3-m)2_5(4-3m)

*,-126-，

：./7^+1=0,無解.

情況三:當［</7?<0時，如圖所示.

：S、A，M后S.AM*例AM胃?警?（3切=（5+57）（3叫

由情況二得$04,4-3/77,

.(54-5m)(3-m)_5(4-3m)

S-A"0.0A，B,.?46-

6+病/仝土、6-^9

..川產一^―（舍去），利二三一?

?i-歷

../77——

綜上所述的值是6-g或等.

解后反思本題考查了二次函數、旋轉與翻折變換，綜合性較強，計算能力要求較高.在分析、解決問題時，要

注意挖掘已知條件，充分利用圖形變換的性質解題.（2）的②中涉及分類討論，在處理用含力的代數式表示點坐

標、線段長度和三角形面積時要細心.

4.（2020山西,23,13分）如圖,拋物線尸與x軸交于48兩點（點力在點8的左側），與y軸交于點C.直

線/與拋物線交于4。兩點，與y軸交于點￡點。的坐標為（4,-3）.

⑴請亶掾寫出48兩點的坐標及直線/的函數表達式；

(2)若點尸是拋物線上的點，點尸的橫坐標為雙欣0),過點尸作尸牝x軸,垂足為例尸例與直線/交于點兒當

點2是線段尸例的三等分點時，求點尸的坐標；

⑶若點Q是y軸上的點,且〃。Q=45；求點。的坐標.

解析⑴4-2,0)百6,0),直線/的函數表達式為尸(3分)

詳解:令%2*3=0,得廬4*12=0,

，(*6)(x+2)=0,，Xi=-2,茲=6.

/.A-2.0),5(6,0).

設直線/的函數表達式為片質W枚0),把4-2,0),以4,-3)代入得｛消;/二;解得｛：=；，

.?.直線/的函數表達式為片■*!.

(2)如圖,根據題意可知，點尸與點/V的坐標分別為

ni^-ni-31=--/772+/77^3,—zn-11=—.NP^^-—7n^-7n-3^=~/T^+—Z77+2.

分兩種情況：

①當尸/必=3/VW時彳導―冊+辦3=3（；m+1）.（4分）

解得/771=0,頃=-2(舍去).

當/77=0時[加-Z7>3=-3.

，點尸的坐標為(0,-3).(5分)

②當尸/W=3/V尸時彳導一旅+初3=3([m2+々6+2).3分)

解得/771=3,佗=-2(舍去).

當m=3時

44

二.點尸的坐標為(3,耳).

..當點/V是線段尸例的三等分點時，點尸的坐標為(0,-3)或(3,4).(7分)

(3)?.直線尸川與y軸交于點E,

二點￡的坐標為(0,-1).

分兩種情況:①如圖，當點。在y軸正半軸上時，記為點Qi.

過點Q作直線/,垂足為〃則N的g/力。m90：

■.zQEH=zAEO,：AQIH『AOE.

.?號皆照即早當」.Q力2H￡(8分)

AUUEL1

又；zQ、DH=45°RHD=90;

:.zHQ、l>，Q\DH=45°.

:.DH=QyH=2HE.:.HE=ED.(9分)

連接CR:點。的坐標為(0,-3),點。的坐標為(4,-3),

..CDJJZ軸二￡D=，EC2+CD2=1[-1-(-3)]2+42=2V5.

2222

：.HE=2yf5,Oi+4后二。1E=y/HE+QrH=J(2V5)+(4>/5)=10.

.QQi=Q6Oei0-1=9,二.點Q的坐標為(0,9).(10分)

②如圖，當點。在y軸負半軸上時，記為點02.

過點Q作Q2直線/,垂足為G.^\ZQ2GE=ZAOE=90°,

Ji

:應E3cAEO、:.gGEfAOE.

.?第=弟即竽斗」.QG=2EG（11分）

又zQ。合45。，/ChGD=90°,

:.zDQG=qDG=45°.

:.DG=QzG=2EG.:.ED=E&-DG=3EG.（12分）

由①可知,￡。=2近:3日笑2花..￡。=竽.

；.QG*.￡Q力EG?+Q2G2=J（竽『+（竿）=y.

..OQ=gfQ=1+學考.

..點Q的坐標為（0,-孩）.

二點Q的坐標為。9）或（0,—）.（13分）

方法總結與二次函數有關的解答題中涉及線段長度或最值問題時一般采用坐標法，就是以坐標系為橋梁,

通過坐標把線段轉化成代數問題，通過代數運算解決問題，同時注意分類討論思想的應用.

難點突破本題第（3）問注意分類討論.當點。在y軸正半軸上時，記作Qi,作直線/于〃構造△Qi心△

當點。在y軸負半軸上時，記作Q,作QGi直線/于G,構造然后根據相似比和勾股定

理進行解答.

考點2拋物線與特殊三角形、特殊四邊形

1.（2021山西,23,13分）綜合與探究

如圖,拋物線尸，+2*6與x軸交于兩點（點A在點6的左側），與y軸交于點C連接AC.BC.

(1)求48,C三點的坐標并直接寫出直線4GBe的函數表達式;

(2)點尸是直線力。下方拋物線上的一個動點，過點尸作8c的平行線/交線段于點D.

①試探究:在直線/上是否存在點￡使得以點為頂點的四邊形為菱形，若存在,求出點￡的坐標;若不

存在,請說明理由；

②設拋物線的對稱軸與直線/交于點例與直線ZC交于點N.當SQ/AFSZOC時，請直接寫出。例的長.

解析⑴當片。時,#+2￥6=0,解得必=-6,及=2.

?.點Z在點8的左側，

.?點4的坐標為(-6,0),(1分)

點8的坐標為(2,0).(2分)

當A=0時，尸-6,.?.點。的坐標為(0,-6).(3分)

直線/4C的函數表達式為片-*6.(4分)

直線8C的函數表達式為片3*6.(5分)

⑵①存在.設點。的坐標為(加,-/7>6),其中-6<必0.(6分)

?.點8,點C的坐標分別為(2,0),(0,-6),

222222222

.?.5Z3>=(/7?-2)+(/77i-6),SC=2+6=40>Z?C=/77+/77=2/7^.

:DE^BC,

,當8c時，以2c8,￡為頂點的四邊形是平行四邊形.

如圖1,當868C時BOEC是菱形.

.?.（92）2+（辦6）2=40.（7分）

解得/77I=-4,g=0（舍去）,

，點。的坐標為（-4,-2）.

.?.點￡的坐標為（-6,-8）.（8分）

如圖2,當C0=C8時,是菱形二2方=40.（9分）

解得/771=2/5,佗=2百（舍去）.

，點。的坐標為（-2遍,2遍-6）.

，點￡的坐標為（2-2遙,2遙）.（10分）

綜上所述,存在點￡使得以。,8。石為頂點的四邊形為菱形，且點￡的坐標為（-6,-8）或（2-2遍,2遍）.

②3m.（13分）

詳解:由題意知，拋物線的對稱軸為直線A=-2.

設直線。射的解析式為y=3x+k,

當x=-2時，片-不6=-4,.,.點/V的坐標為（-2,-4）,

當A=-2時，%3x+A=-6+Q.點例的坐標為(-2,-6+向，

當點。在點AZ下方時,-6<上2,

令“6=3x+匕解得產竽，即點。的橫坐標為竽，

點°到直線4W的距離為受(-2)=等4，

..例2=-4-(-6+向=2-匕

;50“桁2*(2-4).(-號+gASa/ioc^xGxG,

化簡得(2/2=144,解得任-10(舍)或任14(舍)，

當點。在點/V上方時,2<%<18,點。到直線例/V的距離為-2/==+4例/3-6+卜(-4)=卜2,

.ISOMAFT(k2>(-g+IASA/IOC^XGXG,

化簡得(卜2)2=144,解得依-10(舍)或A=14,

，點。的坐標為(-5,-1),點例的坐標為(-2,8),

:.DM=>/32+92=3V10.

解后反思與二次函數有關的解答題中涉及線段長度時(本題第(3)問)一般采用坐標法，就是以坐標系為橋梁,

通過坐標把線段轉化成代數問題，通過代數運算解決問題，同時注意分類討論思想的應用.

2.(2021重慶A卷,25,10分)如圖,在平面直角坐標系中，拋物線片*經過點4。，-1)，筑4,1).直線48交

x軸于點C,戶是直線力8下方拋物線上的一個動點.過點尸作尸。”8,垂足為，尸&x軸，交48于點E.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)當△尸莊的周長取得最大值時，求點尸的坐標和△尸。￡周長的最大值；

(3)把拋物線片/+加什c平移，使得新拋物線的頂點為(2)中求得的點尸.例是新拋物線上一點,/V是新拋物線對

稱軸上一點，直接寫出所有使得以點48,例/V為頂點的四邊形是平行四邊形的點例的坐標，并把求其中一個

點例的坐標的過程寫出來.

解析(1),.拋物線**+6心。經過點力(0,?1),點

8(4,1),

弋二小』解叱

..該拋物線的函數表達式為片*$g.(2分)

(2)耶,-1),8(41)，

..直線48的函數表達式為尸*1.

.?.0(2,0).

設"tZ-gt-i),其中0<M.

?.點￡在直線片*1上，陽x軸，

-71,t^--t-l\

:.PE=-2f+8t=-2(t-2y+8.

.PDLAB,

aPD—AOC.

:AO=tOC=2,

：.AC=\TS.

..“OC的周長為3+V5.

令△尸。打的周長為/,則解=翌.

IPE

.?./=^|i^-[-2(A2)2+8]=-^y^(A2)2+^+8.

.?.當(=2時，△尸的周長取得最大值，最大值為竿+8.

此時點少的坐標為(2,-4).(6分)

⑶如圖所示，滿足條件的點例的坐標有(2,-4),(6,12),(-2,12).

由題意可知，平移后拋物線的函數表達式為六寵-4x,對稱軸為直線A=2.

①若48是平行四邊形的對角線，

當例V與48互相平分時,四邊形4A坦用是平行四邊形，

即做V經過的中點Q2.0).

?.點A/的橫坐標為2,

二點〃的橫坐標為2,

二點用的坐標為(2,-4).

②若48是平行四邊形的邊，

i.當MN\48時,四邊形/8/V例是平行四邊形.

，口4,1),點/V的橫坐標為2,

二點例的橫坐標為2-4=2

，點例的坐標為(-2,12).

ii.當NM48時,四邊形例/V是平行四邊形.

,.71(0,-1),筑4,1),點/V的橫坐標為2,

二點例的橫坐標為2+4=6.

點例的坐標為(6,12).(10分)

3.(2021四川南充,25,12分)如圖，已知拋物線片a*+，x+4(K0)與x軸交于點力(1,0)和8,與y軸交于點C,

對稱軸為直線片|.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,若點尸是線段8c上的一個動點(不與點8,C重合)，過點尸作y軸的平行線交拋物線于點Q連接

OQ當線段尸。長度最大時，判斷四邊形OCPQ的形狀并說明理由；

(3)如圖2,在(2)的條件下，。是0c的中點，過點。的直線與拋物線交于點E且.在y軸上是否

存在點E使得守為等腰三角形？若存在，求點尸的坐標;若不存在,請說明理由.

0^

圖1

//1B

0^

圖2

a+b+4=0,

解析(1)根據題意，得_b__5（2分）

~2a-2）

解得a=1,d=-5,.,.拋物線的解析式為片*-5/4.（3分）

(2)四邊形OCPQ是平行四邊形.理由如下:

易知筑4,0),Q0,4);直線8c的解析式為片-x+4.(4分)

?.點尸在線段8c上；設什4)(0<K4),

又尸Q"軸,..QW-5什4）（0<￡4）.（5分）

.?.尸0=（-什4）-儼-5-4）=￥+4+-（62）2+4.

當*2時,線段尸。最長，為4.(6分)

,.。(>4,..。0尸。..01尸。,，四邊形OCPQ是平行四邊形.(7分)

(3)在y軸上存在點￡使得&■為等腰三角形.理由如下：

.00,4),。是。。的中點;以0,2).

由(2)知Q2,-2)日2,2),

:PQ^OC,:.zODQ=zPQD.

：zDQE=2nODQ=2zPQD,:.zPQD=/PQE.

二點0(0,2)關于PQ的對稱點為M4,2).(8分)

直線Q￡過點M4,2)和Q2,-2),二.直線QE的解析式為片2*6.

?.點￡是直線Q￡與拋物線片*-5x+4的交點，

:.且5,4).(9分)

假設存在p軸上的點80,/77),使尸為等腰三角形.

①若BF=EF^8#=￡尸,則42+芯=52+(4切2,解得。=失.《0年).(10分)

②若8/三即8/=8日,則42+方=(5-4/+42,解得*±1,;.&0,1)或80,-1).(11分)

③若后三即ER=BB,

則52+(4-/77)2=(54)2+42,

化簡得方-8辦24=0/=-32<0.

二方程無解,因此在y軸上不存在點E使EF=BE.

綜上所述，在y軸上存在點￡使得為等腰三角形.點尸的坐標為(0,?或(0,1)或(0,-1).(12分)

思路分析⑴根據點”在拋物線上及對稱軸方程可求a,々(2)由拋物線方程可求點8和點C的坐標，由待定

系數法可求直線8c的解析式，從而可設尸點坐標,再根據尸Q"軸彳導到。點坐標，可得尸Q的長與，的關系，

由此確定尸Q長度的最大值，進一步即可判斷;(3)首先根據(2)及尸QQC與推出/尸。。=/尸。￡

從而求出點。關于尸。的對稱點例的坐標，再求￡點坐標然后分三種情況:①上斤；②8房8￡③曰三8￡分

別求解.

難點突破第(3)問的突破口是求出￡點坐標，則需求出E點所在的直線解析式，策略是根據尸QQC與工

。。昆2/ODQ推出/尸。。=/尸。二說明點。關于尸。的對稱點用在QE上，這樣由點Q、例的坐標即可求出

直線QE的解析式，而點￡是直線QE與拋物線的交點石點坐標可求.

4.(2020湖北武漢,24,12分)將拋物線C尸(*2)2向下平移6個單位長度得到拋物線G,再將拋物線G向左

平移2個單位長度得到拋物線G.

(1)直接寫出拋物線S,Q的解析式；

(2)如圖1,點Z在拋物線G(對稱軸/右側)上，點8在對稱軸/上是以08為斜邊的等腰直角三角形,

求點力的坐標；

(3)如圖2,直線片例依0,4■為常數)與拋物線C交于E尸兩點〃為線段守的中點;直線尸qx與拋物線G

交于G,〃兩點,A/為線段GH的中點.求證:直線*經過一個定點.

解析⑴拋物線G：片住2)2-6,拋物線G：廣*6

⑵如圖1,設點則n=m^-4m-2.

當點/在x軸上方時,

過點力作力RLX軸，過點8作8Q148垂足分別為P、Q.

“048是以08為斜邊的等腰直角三角形，

:.^ABQ^^OAP.:.BQ=AP=n,AQ=OP=m,:.m=m2.

聯立1：二熬篇解需:/或仁：’(不合題意，舍卻

.乂(5,3).

如圖，當點4在x軸下方時，同理求得/4(4,-2).

綜上，點A的坐標是(5,3)或(4,-2).

⑶證明:由仁義消去乂

得*?4*6=0,

:.xjx產k.

??①為線段E廠的中點，

將切力沿EF方向平移與MF重合,

1,,Xk

..XM-xe=x^xM,：.xnF-(x^-XF)=-.

，點用的坐標是由分

同理得點/V的坐標是(卡,卻

/k

萬=2-

82

設例AZ的解析式為片ax+b,則《b

_=-Q+

必k

(Y-4

解得°=工，

5=2.

二例/V的解析式為廣空x+2.

，當齊0,4為任意不等于0的實數時，總有片2,即直線屈/V過定點(0,2).

思路分析(1)根據平移的規律可求G,Q的解析式.(2)先設4加,〃),再分兩種情況:①點力在x軸上方時，過點

/作/尸LX軸，過點8作8QL4尸，垂足分別為8Q,先利用是等腰直角三角形證明“86人。4月,由此推

出m=n+2,與/7=mM/7>2聯立，解出力,〃,即得/點坐標;②點/在x軸下方時，同①可求出另一個力點坐標.(3)

根據直線片例枚0,4為常數)與拋物線Q交于￡尸兩點，聯立兩個解析式得到關于x的一元二次方程，根據

根與系數的關系求出點例的橫坐標，進而求出縱坐標，同理求出點/V的坐標，再用待定系數法求出直線做V的

解析式，從而證明直線過定點即可.

解題關鍵抓住△048是等腰直角三角形證明”!86人04戶，并由此推出勿、〃之間的關系是求出點力的關

鍵.

易錯警示只考慮點/在x軸的上方而忽略點A在x軸的下方這種情況是解答本題易犯的錯誤.

考點3拋物線與全等三角形、相似三角形

1.(2021湖北黃岡,24,12分)已知拋物線y=a^+bx-3與x軸相交于41。)，仇3,0)兩點，與y軸交于點G點

M〃Q)是x軸上的動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,若k3,過點AZ作x軸的垂線交拋物線于點尸,交直線8c于點G,過點尸作尸a8c于點。，當〃為

何值時，△尸。叵

(3)如圖2,將直線8c繞點8順時針旋轉，使它恰好經過線段。。的中點，然后將它向上平移|個單位長度彳導到

直線OBi.

①tan/808k;

②當點/V關于直線OBy的對稱點N、落在拋物線上時，求點/V的坐標.

解析⑴?.拋物線y=ax^+bx-3與x軸相交于力(10),用3,0)兩點,

(a-b-3-0,解得強=1,

"l9a+3b-3=0,lb=-2.

..拋物線的解析式為尸*-2*3.

(2)由口0,-3),33,0,得OB=003,511]zOBC=zOCB=45°,

..△8/VG與△尸。G都是等腰直角三角形.

筑3,0),

:.NB=3-n=NG,BG=V2(3-n).

:^PD^BNG,:.PG=BG=y[2^-n),

.32=3-/74?迎(3-〃).

:點尸在拋物線上二坐標為(〃,必2/>3),

:.3-n+'/2(3-h)=-n^+2m3,

解得后3(舍去)或n=V2.

，當n=也吐“PD*BNG.

（3）①設0c的中點為S,易知5（0,-|）,連接BS.

將直線8s向上平移|個單位長度彳導到直線OBi,

"BOB-OBS.

3

/.tanz808產tannOBS=^=^=^.

OB32

故答案為今

②連接/VM,設直線NNi交直線OB,于點H.

?.點，和點Ni關于直線OB.對稱,

：/OHN=90°,NH=NiH.

過點〃作“Alx軸,垂足為K眥&KO4KHN,

:ianzBOB^=tanzKOH=tanzKHN=-.

設止勿,則HK=2m,OK=^m.

當點，在點。右側時,

OK+KN=4"汁/77=",解彳導/77=/

.?點”的坐標為償片）

一.點/V的坐標為（〃,0）,.?.點M的坐標為（段,?）.

將點Ni的坐標代入拋物線解析式得傳;2.營3專,整理得9戶50尸75=0,

由I日25+10713-^_25-10g/仝土、

解得n=——-——或77=---（舍去）.

當點2在點。左側時，同理可求得后智紀

...點A/的坐標為（歿組0）或（生等,o）.

一題多解設直線OBy的解析式為尸例依0）,代入點B的坐標（3,|）得仁宏?.直線。8的解析式為片父.

.7\//\/仕。8".設直線A/M的解析式為y=-2x+s.

將乂/7,0）代入片-2x+s得5=2/7,即直線NNi的解析式為y=-2x+2n.

令-2x+2/7=gx,解得片￡二.六荻=￡,.,.點”的坐標為（冷片）.

?.點/V的坐標為（/7,0）,.?.點Ni的坐標為償事）.

2

將點M的坐標代入拋物線解析式得償）-2毛-3岑,整理得9^-50/7-75=0,

解得方雙磐或萬安里.

..點A/的坐標為（歿空0）或（出當,o）.

2.（2021陜西,25,8分）已知拋物線y=-x^+2x+8與x軸交于點4筑點力在點6左側），與y軸交于點C.

（1）求點8、。的坐標；

（2）設點C與點C關于該拋物線的對稱軸對稱.在y軸上是否存在點只使△尸CC與△尸08相似，且PC與PO

是對應邊？若存在，求點尸的坐標;若不存在,請說明理由.

解析⑴令片。則-*+2盧8=0,

:.用=-2,及=4,

.-.5（4,0）.（2分）

令片0,則片8;。0,8）.（3分）

（2）存在.由已知得，該拋物線的對稱軸為直線片1.

:點。與點C關于直線片1對稱,.C（2,8）,CCM2,CC||OA

?.點尸在y軸上二/尸CCL尸出90°,

??當言=嘉時，△尸尸08（4分）

設僅0,力,

i）當先8時WW，.?片16.

.-.^0,16）.（6分）

ii）當0＜六8時?=：，；.%竽

.X°'T）-（7分）

iii）當六。時,CQOR與意弓矛盾，

，點戶不存在.

..存在點尸，且尸點坐標為（0,16）或（0與.（8分）

3.（2020陜西,24,10分）如圖,拋物線片解+bx+c經過點（3,12）和（-2,-3）,與兩坐標軸的交點分別為4￡G它的

對稱軸為直線/.

（1）求該拋物線的表達式；

（2）尸是該拋物線上的點，過點尸作/的垂線,垂足為D,E是/上的點.要使以P、D、E為頂點的三角形與A/OC

全等，求滿足條件的點尸，點E的坐標.

解析⑴由題意圖:解之得《二

.?/*+2*3.（3分）

⑵由⑴可得,對稱軸/為直線A=-1.

令片0,則*+2*3=0,解之彳導%1=-3,

^2=1.

,4-3,0),筑1,0).

令片0,貝|Jy=-3.:.C[0,-3).:.OA=OC=3.(6分)

：zPDE=zAOC=QQ:

.?.當PD=DE=3時，△尸￡沱與A/IOC全等.

設Rm,力,當點、尸在/右側時0(-1)=3.

.-./77=2..-./7=22+2X2-3=5..-./^2,5).

..旦-1,2)或且-1,8).(9分)

當點尸在/左側時，由拋物線的對稱性可知,夕-4,5)也滿足條件.

相應的點￡的坐標同上.

,滿足條件的點尸，點E的坐標為何2,5)或H-4,5)，T12)或￡(-1,8).(10分)

疑難突破(1)求拋物線的表達式，可利用待定系數法列方程組解答.(2)由題意及圖象可知△力OC為直角三角

形,通過計算得知04=003,因此A/OC為等腰直角三角形，所以以尸、D、E為頂點的三角形與A/OC全等,

即PD=DE=3時滿足條件,所以對尸點位置進行分類討論(點尸在/右側和左側),可以結合拋物線的對稱性進

行說明.

4.(2020四川成都,28,12分)在平面直角坐標系X。中，已知拋物線片ax2+b/c與x軸交于/(-1,0),筑4,0)

兩點，與y軸交于點。0,-2).

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)如圖1,點。為第四象限拋物線上一點，連接ZR8C交于點￡連接8。,記的面積為SI,A/18E的面積

為求3的最大值；

(3)如圖2,連接4G8G過點。作直線48G點尸,。分別為直線/和拋物線上的點.試探究:在第一象限是否存

在這樣的點尸,Q使AQQ8-AC18若存在，請求出所有符合條件的點尸的坐標;若不存在,請說明理由.

解析

.?拋物線的函數表達式為月廬|*2.

解法二:M(-1,0),鳳4,0)在拋物線上,

b-1+43.,o

2a22

,.。0,-2)在拋物線上二.廣-2,「.片日*-3，*2,

將(-1,0)代入片方*-3分2得^=2,

..拋物線的函數表達式為片發吟心

(2)過點8作4。邊上的高8〃過點。作。ax軸于點G,

交8c于點￡過點A作4ax軸，交8c的延長線于點K,

S1_^DEBH_DE_DF

S^AEBHaeak

?.?5(4,0),6(0,-2),

???直線6c的表達式為^x-2,

當A=-1時，*~|,.二/4七|.

設￡^m,1m2-|m-2^（0</77<4）,

:.DF=^m^+2m,

2/+2機

.￡1=5二./+金〃7=3（/7>2）2+&

3一2

,.0</77<4,

.?.當777=2時,各取最大值:

5

(3)存在.

由⑵可得直線/的表達式為尸如設^m,y)(m>0).

①當點尸在直線8Q右側時，如圖，過尸作耽LX軸，過。作QMLNP交A/尸的延長線于M,

則nQMP=nPNB=g。:易知nQPB=zA密90°,

QPM^/MQP=90:/QPM^nBPN=90°,

;.ZMQP=ZNPB,：AQPM-xPBN、

.QP=MP_QM

…麗一而一而

"PQB~力8,堪嚕=*；,

BPBC2V52

:.MP=^BN=^m-2,MQ=^NP^,

將。的坐標代入片權22欠2中相/77=y（/77=O舍去）,

②當點尸在直線8Q左側時，由①的方法同理可得0（|m,2）,

此時千*，手）

綜上，在第一象限存在符合條件的點RQ所有符合條件的點尸的坐標為（竽，等）,（竺等，手）.

考點4二次函數在實際生活（生產）中的應用

1.（2020山西,9,3分）豎直上拋物體離地面的高度A（m）與運動時間《s）之間的關系可以近似地用公式

/P-5A+4件為表示，其中"（m）是物體拋出時離地面的高度,％（m/s）是物體拋出時的速度.某人將一個小球從

距地面1.5m的高處以20m/s的速度豎直向上拋出，小球達到的離地面的最大高度為（）

A.23.5mB.22.5mC.21.5mD.20.5m

答案C由已知可得4=20m/s,為=1.5m,則/T=-5"20什1.5（介0）星圖象的對稱軸方程為-7^=2,圖象

2X（-5）

開口向下,.?.當t=2時,力最大，為-5x22+20x2+1.5=21.5,故選C.

2.（2020遼寧營口,24,12分）某超市銷售一款‘免洗洗手液"，這款'免洗洗手液”的成本價為每瓶16元，當銷售單

價定為20元時，每天可售出80瓶.根據市場行情，現決定降價銷售.市場調查反映:銷售單價每降低0.5元，則每

天可多售出20瓶（銷售單價不低于成本價），若設這款“免洗洗手液”的銷售單價為A（元），每天的銷售量為乂瓶）.

（1）求每天的銷售量乂瓶）與銷售單價M元）之間的函數關系式；

（2）當銷售單價為多少元時，銷售這款“免洗洗手液”每天的銷售利潤最大,最大利潤為多少元？

解析⑴片80+20、鬻，（3分）

.?產-40x+880（危16）.（4分）

（2）設每天的銷售利潤為加元，（5分）

”（-40*+880）（*16）（7分）

=-40（^19）2+360.（8分）

,.,年-40<0,.1二次函數圖象開口向下,

有最大值.（10分）

:.A=19時,%最大，此時w最大值=360.（11分）

答:當銷售單價為19元時,每天的銷售利潤最大，最大利潤為360元.（12分）

易錯警示在解決第（2）問時,要檢驗x的取值是否在取值范圍內，如果不在，要結合函數的增減性進行判斷.

3.（2020內蒙古呼和浩特,24,12分）已知某廠以7小時汗克的速度勻速生產某種產品（生產條件要求0.KW1）,

且每小時可獲得利潤60（-3t+|+1）元.

（1）某人將每小時獲得的利潤設為y元，發現M時，片180,所以得出結論:每小時獲得的利潤最少是180元.他

是依據什么得出該結論的？用你所學數學知識幫他進行分析說明；

（2）若以生產該產品2小時獲得利潤1800元的速度進行生產，則1天（按8小時計算）可生產該產品多少千克？

（3）要使生產680千克該產品獲得的利潤最大，問:該廠應該選取何種生產速度？并求此最大利潤.

解析（1）依據一次函數和反比例函數的性質得出結論.

由已知得尸60卜31+,+1）,當Q時，尸180,

?.當0.1<^1時,,隨/的增大而減小,-3/也隨f的增大而減小，

，3注1的值隨/的增大而減小，

二片60（-3t+：+1）隨/的增大而減小，

，當M時/有最小值，為180,

.?他的結論正確.

⑵由題意可得6093t+,+l）x2=1800,

整理得-3814什5=0,

解得《或￡-5（舍），

經檢驗,是原方程的解且符合題意.

故該廠以耳、時汗克的速度勻速生產產品，

則1天(按8小時計算)可生產該產品80=24千克.

⑶由題意知生產680千克該產品，需要680f小時,設生產680千克該產品獲得的利潤為“元，則

“680F60(-3t+；+1),

整理得“40800(-3/+"5),

當￡時，〃取最大值，為207400.

6

故該廠應該選取1小時汗克的生產速度，最大利潤為207400元.

4.(2021廣西北部灣經濟區,24,10分)2022年北京冬奧會即將召開,激起了人們對冰雪運動的極大熱情，如圖

是某跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點力作水平線的垂線為y軸，建

立平面直角坐標系,圖中的拋物線G：尸《*+1+1近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點。正上

方4米處的/I點滑出，滑出后沿一段拋物線Q:片O運動.

(1)當運動員運動到離力處的水平距寓為4米時，離水平線的高度為8米，求拋物線Q的函數解析式(不要求寫

出自變量x的取值范圍)；

(2)在(1)的條件下，當運動員運動的水平距離為多少米時，運動員與小山坡的豎直距寓為1米？

(3)當運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時，求。的取值范圍.

解析⑴由題可知拋物線0:片4*+斯+6過點(0,4)和(4,8),將兩點坐標代入Q中，解得廣4,/>4

oZ

拋物線的解析式為片=*+3+4.

oZ

(2)設運動員運動的水平距離為777米時，與小山坡的豎直距離為1米.

依題意得,［加辦4-(。/+；+1)=1,

oL\1ZO7n/

.,.(/7>12)(/7^4)=0,

解得利=12,佗=-4（舍），

..運動員運動的水平距離為12米時，與小山坡的豎直距離為1米.

⑶由G：尸拉+法1得，片（（*7）2埸

二.小山坡坡頂坐標為（7用.

將（0,4）代入Q得,c=4,則Q:尸J/+bx+4,

將x=7代入C得，片冬72+794,則y=-^-+7b,

2OO

依題意得,卷+7婢＞3,

o1Z

.245.35

門6五；6大

三年模擬

A組基礎題組

解答題（共50分）

1.（2021遼寧本溪二模,23）某種商品的進價為40元/牛，以獲利不低于25%的價格銷售時，商品銷售價乂元勝）

與銷售數量4件）（x是正整數）之間的關系如表：

M件）5101520

火元件）75706560

（1）由題意知商品的最低銷售價是元.當銷售價不低于最低銷售價時/是x的一次函數，求出y與x

的函數關系式及x的取值范圍；

（2）在（1）的條件下,當銷售價為多少元時，所獲銷售利潤最大，最大利潤是多少元？

解析⑴40（1+25%）=50,

設y=kx+b,k^G,

根據題意得說二器

解得4=1/80,

:.y=-x+80,

根據題意得儼）幺、5且x為正整數,

"X十oUNJU,

，030,x為正整數，

..片-x+80(0</30,且x為正整數)，

故答案為50.

(2)設所獲利潤為尸元，根據題意得

丹儼40>>(=(-*+80_40)%=-(*20)2+400,

即尸是關于x的二次函數，

,.a=-1<0,

..尸有最大值，

,當x=20時尸最大值=400,此時片60,

..當銷售價為60元陰時，所獲利潤最大，最大利潤為400元.

2.(2021上海浦東二模,24)已知拋物線片a*+Ox+c的對稱軸與x軸的交點為M30),拋物線上三點AB、

。到點例的距離都為5,其中點力、8在x軸上(點4在點6的左側)，點C在y軸正半軸上，拋物線的頂點為

點尸.

(1)求點力、B、。的坐標；

(2)求這條拋物線的表達式及頂點坐標；

(3)點。是拋物線對稱軸上一點,當以點Q為圓心,Q4為半徑的圓與線段4尸有兩個交點時，求點。的縱坐標

的取值范圍.

，1

_________'jif___________

0x

解析⑴?.點48在x軸上(點力在點8的左側),且到點攸-3,0)的距離為5,

..點4的坐標為(-8,0),點8的坐標為(2,0),

:點C在y軸上，，設點C的坐標為(0,力.

由點。到點偵-3,0)距離為5,可得產仔=5,解得片±4.

又?.點。在jz軸正半軸上二點。的坐標為(0,4).

(2)?.拋物線片a*+bx+c經過點4-8,0)、僅2,0)、6(0,4).

64a-8b+c=0,(a=4'

4a+2b+c=0,解得=2

c=4,I2,

\c=4,

拋物線的表達式是尸一廬次+4,

當長城=3時，尸學

通物線的頂點尸的坐標為13年).

(3)由題畫圖如下，過點A作力。1?尸與拋物線的對稱軸相交于點

此時以Q為圓心,為半徑的圓與線段4尸相切于點A

易知。/M4pl■NM4Q=90。.

」MP—MAQi.

.二tann例%=tannAMQ.

^:AM=5,PM=^-,

..Q%4,即點Q坐標為(-3,-4).

作4尸的垂直平分線，與才尸相交于點，與對稱軸片-3相交于點Q,則P吟PA.

此時以Q為圓心,QZ為半徑的圓經過點4點尸.

■:AQdAP,NgLAP,

:.應AP=/QNP=90°.

./QII/VQ.

.PQZ_PN=I

-PQJPAT

.?點尸的坐標為93,多，點。1的坐標為(-3,-4),

.?月。哼./Q榨.

勺O

2s419

488

即點Q坐標為(-3*),

..當以點。為圓心,Q4為半徑的圓與線段A尸有兩個交點時，點。縱坐標取值范圍是

O

3.