第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年重慶七中高二（上）第一次月考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在空間直角坐標系Oxyz中，點3,?1,?4關于平面Oxy的對稱點為(

)A.?3,?1,?4 B.?3,1,?4 C.3,?1,4 D.?3,1,42.設x，y∈R，向量a=(x,?1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,?4,2)，且a⊥c，bA.?2 B.0 C.1 D.23.在同一平面直角坐標系中，表示l1：y=ax+b與l2：y=bx?a的直線可能正確的是(

)A. B.

C. D.4.柏拉圖多面體是柏拉圖及其追隨者對正多面體進行系統研究后而得名的幾何體.如圖是棱長均為1的柏拉圖多面體EABCDF，P，Q，M，N分別為DE，AB，AD，BF的中點，則PQ?MN=(

)A.12

B.14

C.?15.數學家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點為A(0,0)，B(5,0)，C(2,4)，則該三角形的歐拉線方程為(

)A.y=?12x+52 B.y=16.在空間直角坐標系Oxyz中，經過點P(x0,y0,z0)，且法向量為m=(A,B,C)的平面方程為A(x?x0)+B(y?y0)+C(z?z0)=0，經過點P(x0,A.457 B.27 C.7.如圖，直線y=34x+3交x軸于A點，將一塊等腰直角三角形紙板的直角頂點置于原點O，另兩個頂點M，N恰好落在直線y=34x+3上，若點N在第二象限內，則A.17 B.16 C.158.在棱長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，EF是正方體ABCD?A1A.[?8,0] B.[?4,0] C.[?2,0] D.[?1,0]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下面四個結論正確的是(

)A.已知空間向量a,b(a,b≠0)，若a⊥b，則a?b=0

B.若對空間中任意一點O，有OP=16OA+13OB+12OC，則P，A，10.下列說法錯誤的是(

)A.“a=?1”是“直線a2x?y+1=0與直線x?ay?2=0互相垂直”的充要條件

B.直線xsinα+y+2=0的傾斜角θ的取值范圍是[0,π4]∪[3π4,π)

C.過(x1,y1)，(x211.如圖，四邊形ABCD中，AB=BC=AC=2，DA=DC=2，將四邊形沿對角線AC折起，使點D不在平面ABC內，則在翻折過程中，以下結論正確的是(

)A.兩條異面直線AB與CD所成角的范圍是[π12,π2]

B.P為線段CD上一點(包括端點)，當CD⊥AB時，∠APB≤π2

C.三棱錐D?ABC的體積最大值為33

D.當二面角D?AC?B的大小為π6時，三棱錐12.已知{a,b,c}是空間的一個單位正交基底，向量p=a?2b?413.如圖，60°的二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，則CD的長為14.已知P，Q分別在直線l1：x?y+1=0與直線l2：x?y?1=0上，且PQ⊥l1，點A(?4,6)，B(5,?1)，則四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

如圖，在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，底面ABCD是邊長為2的菱形，側棱AA′的長為3，且∠ABC=∠A′AB=∠A′AD=120°．

(1)AC′的長；

(2)直線BD′與AC所成角的余弦值．16.(本小題12分)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知c2(1)求角A;(2)設邊BC的中點為D，若a=7，且△ABC的面積為3317.(本小題12分)已知ΔABC的頂點A(4,1)，AB邊上的中線CM所在的直線方程為x?2y+2=0，AC邊上的高BH所在的直線方程為2x+3y?2=0．(1)求點C的坐標；(2)求BC所在直線的方程．18.(本小題12分)

圖①是直角梯形ABCD，AB//CD，∠D=90°，四邊形ABCE是邊長為2的菱形，并且∠BCE=60°，以BE為折痕將△BCE折起，使點C到達C1的位置，且AC1=6．

(1)求證：平面BC1E⊥平面ABED；

(2)在棱DC1上是否存在點P，使得點19.(本小題12分)

《瀑布》(圖1)是最為人所知的作品之一，圖中的瀑布會源源不斷地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至極，但又會讓你百看不膩，畫面下方還有一位饒有興致的觀察者，似乎他沒發現什么不對勁.此時，他既是畫外的觀看者，也是埃舍爾自己.畫面兩座高塔各有一個幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”由三個正方體構成，右塔上的幾何體是首次出現，后稱“埃舍爾多面體”(圖2)

埃舍爾多面體可以用兩兩垂直且中心重合的三個正方形構造，設邊長均為2，定義正方形AnBnCnDn，n=1，2，3的頂點為“框架點”，定義兩正方形交線為“極軸”，其端點為“極點”，記為Pn，Qn，將極點P1，Q1，分別與正方形A2B2C2D2的頂點連線，取其中點記為Em，Fm，m=1，2，3，4，如(圖3).埃舍爾多面體可視部分是由12個四棱錐構成，這些四棱錐頂點均為“框架點”，底面四邊形由兩個“極點”與兩個“中點”構成，為了便于理解，圖4我們構造了其中兩個四棱錐A1?P1E1P2參考答案1.C

2.B

3.C

4.A

5.A

6.B

7.A

8.A

9.ABC

10.AC

11.BCD

12.?113.214.10+15.解：(1)在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，

底面ABCD是邊長為2的菱形，側棱AA′=3，

∠ABC=∠A′AB=∠A′AD=120°，

則AB2=AD2=4，AA′2=9，

AB?AD=|AB||AD|cos60°=2，

AD?AA′=AB?AA′=|AB||AA′|cos120°=?3，

而AC′=AB+AD+AA′，

則|AC′|=AB2+AD2+AA′2+2AB?AD+216.解：(1)由c2b2+c2?a2=sinCsinB，結合正弦定理bsinB=csinC得c2b2+c2?a217.解：(1)因為AC⊥BH，BH的方程為2x+3y?2=0，不妨設直線AC的方程為3x?2y+m=0，將A(4,1)代入得12?2+m=0，解得m=?10，所以直線AC的方程為3x?2y?10=0，聯立直線AC，CM的方程，即3x?2y?10=0x?2y+2=0，解得點C的坐標為(6,4)(2)設B(x0,因為點B在BH上，點M在CM上，所以2x0+3所以kBC=4?26?(?2)=整理得x?4y+10=0．

18.解：(1)證明：如圖所示，

在圖①中，連接AC，交BE于O，因為四邊形ABCE是邊長為2的菱形，且∠BCE=60°，

所以AC⊥BE，且OA=OC=3，

在圖②中，相交直線OA，OC1均與BE垂直，

所以∠AOC1是二面角A?BE?C1的平面角，

因為AC1=6，

所以OA2+OC12=AC12，

所以OA⊥OC1，

所以平面BC1E⊥平面ABED．

(2)由(1)知，分別以直線OA，OB，OC1為x，y，z軸建立如圖②所示的空間直角坐標系，

則D(32,?32,0)，C1(0,0,3)，A(3,0,0)，B(0,1,0)，E(0,?1,0)，

所以DC1=(?32,32,3)，AD=(?32,?32,0)，AB=(?3,1,0)，AC1=(?3,0,3)，AE=(?3,?1,0)，

19.解：(1)由題意可知，OP2，OQ2，OP1兩兩垂直，且OP2=OQ2=OP1=1，

分別以OP2,OQ2,OP1的方向為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，

則由題意可得：O(0,0,0)，P2(1,0,0)，Q2(0,1,0)，P1(0,0,1)，

B2(1,1,0)，A1(1,0,1)，A2(1,?1,0)，Q1(0,0,?1)，

又E1，E2分別是P1A2，P1B2的中點，∴E1(12,?12,12)，E2(12,