2024年湖南省郴州市桂陽縣蒙泉學校中考數學一模試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題有且只有一個正確答案，請將正確答案的選項代號涂在答題卡相應的位置上，每小題3分，滿分30分）1.在實數，，，中，最小的數是（）A. B. C. D.答案：D2.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.答案：B3.我國是世界上免費為國民接種新冠疫苗最多的國家，截止2022年2月17日，湖南省免費接種數量已達億劑次，將億用科學記數法表示為（）A. B. C. D.答案：C4.下列運算正確的是（）A. B. C. D.答案：D5.已知一組數據：58，53，55，52，54，51，55，這組數據的中位數和眾數分別是（）A.54，55 B.54，54 C.55，54 D.52，55答案：A6.關于x的方程x24x＋m＝0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是（）A.m＞2 B.m＜2 C.m＞4 D.m＜4答案：D7.《九章算術》是中國傳統數學的重要著作，書中有一道題“今有五雀六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕；一雀一燕交而處，衡適平；并燕雀重一斤．問：燕雀一枚，各重幾何？”譯文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古時1斤＝16兩）．雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重，問：每只雀、燕重量各為多少？”設雀重x兩，燕重y兩，可列出方程組（）A. B.C. D.答案：A8.如圖，的內切圓分別與相切于點，且，則的周長為（）A18 B.17 C.16 D.15答案：A9.觀察圖中尺規作圖痕跡，下列結論錯誤的是（）A.PQ為∠APB的平分線B.PA=PBC.點A、B到PQ的距離不相等D.∠APQ=∠BPQ答案：C10.已知是拋物線（a是常數，上的點，現有以下四個結論：①該拋物線的對稱軸是直線；②點在拋物線上；③若，則；④若，則其中，正確結論的個數為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個答案：B二、填空題（本大題共8小題，將答案寫在答題卡相應的位置上，每小題3分，滿分24分）11.要使二次根式在實數范圍內有意義，的取值范圍是________．答案：12.一元一次方程2x+1=3的解是x=_____．答案：113.因式分解：__________．答案：14.一個正多邊形的每一個內角是，則這個正多邊形的邊數為______．答案：1015.為從甲乙兩名射擊運動員中選出一人參加競標賽，特統計了他們最近10次射擊訓練的成績，其中，他們射擊的平均成績為8.9環，方差分別是，從穩定性的角度看，_________的成績更穩定．（填“甲”或“乙”）答案：甲.16.如圖，在中，若，，，則______．答案：17.已知一個圓錐體的三視圖如圖所示，則這個圓錐體的側面積為___________．答案：cm218.如圖，在平面直角坐標系中，為直角三角形，，，．若反比例函數的圖象經過的中點，交于點，則______．答案：三、解答題（本大題共8小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟請將解答過程寫在答題卡相應位置上，滿分0分）19.計算：．答案：1解：20.先化簡，再從，，0，1，2中選一個合適的數作為x的值代入求值．答案：，-1．解：======在、、0、1、2中只有當x=-2時，原分式有意義，即x只能取-2當x=-2時，．21.為了豐富學生們的課余生活，學校準備開展第二課堂，有四類課程可供選擇，分別是“A．書畫類、B．文藝類、C．社會實踐類、D．體育類”．現隨機抽取了七年級部分學生對報名意向進行調查，并根據調查結果繪制了兩幅不完整的統計圖，請你根據圖表信息回答下列問題：（1）本次被抽查的學生共有_____________名，扇形統計圖中“A．書畫類”所占扇形的圓心角的度數為___________度；（2）請你將條形統計圖補全；（3）若該校七年級共有600名學生，請根據上述調查結果估計該校學生選擇“C．社會實踐類”的學生共有多少名？（4）本次調查中抽中了七（1）班王芳和小穎兩名學生，請用列表法或畫樹狀圖法求她們選擇同一個項目的概率．答案：（1）50，72；（2）見解析；（3）96名；（4）．解：（1）本次被抽查的學生共有：20÷40%=50名，扇形統計圖中“A．書畫類”所占扇形的圓心角的度數為；故答案為：50，72；（2）B類人數是：50－10－8－20=12名，補全條形統計圖如圖所示：（3）名，答：估計該校學生選擇“C．社會實踐類”的學生共有96名；（4）所有可能的情況如下表所示：

由表格可得：共有16種等可能的結果，其中王芳和小穎兩名學生選擇同一個項目的結果有4種，∴王芳和小穎兩名學生選擇同一個項目的概率．22.今年義烏市準備爭創全國衛生城市，某小區積極響應，決定在小區內安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，若購買2個溫馨提示牌和3個垃圾箱共需550元，且垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3倍．（1）求溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是多少元？（2）該小區至少需要安放48個垃圾箱，如果購買溫馨提示牌和垃圾箱共100個，且費用不超過10000元，請你列舉出所有購買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少是多少元？答案：（1）溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是50元和150元；（2）答案見解析（1）設溫情提示牌的單價為x元，則垃圾箱的單價為3x元，根據題意得，2x+3×3x=550，∴x=50，經檢驗，符合題意，∴3x=150元，即：溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是50元和150元；（2）設購買溫情提示牌y個（y為正整數），則垃圾箱為（100﹣y）個，根據題意得，意，∴∵y為正整數，∴y為50，51，52，共3中方案；有三種方案：①溫馨提示牌50個，垃圾箱50個，②溫馨提示牌51個，垃圾箱49個，③溫馨提示牌52個，垃圾箱48個，設總費用為w元W=50y+150（100﹣y）=﹣100y+15000，∵k=-100，∴w隨y的增大而減小∴當y=52時，所需資金最少，最少是9800元．23.如圖，燈塔位于港口的北偏東方向，且之間的距離為，燈塔位于燈塔的正東方向，且之間的距離為．一艘輪船從港口出發，沿正南方向航行到達處，測得燈塔在北偏東方向上，燈塔到直線的距離為．（1）求的長；（2）求的長（結果精確到0.1）．（參考數據：）答案：（1）km（2）km【小問1詳解】解：由題意得，，，．【小問2詳解】，．24.如圖，是的直徑，點C是上異于的點，連接，點D在的延長線上，平分，點在的延長線上，且．（1）求證：是的切線；（2）若求的長．答案：（1）見解析（2）【小問1詳解】證明∶連接，如圖，，平分，，，，，，是的半徑，且，是的切線．【小問2詳解】，是等邊三角形，，，的長是．25.綜合與實踐【問題情境】：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，其中，，將和圖2所示方式擺放，其中點與點重合，（標記為點B）．當時，延長交于點G，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．【數學思考】：（1）請你解答老師提出的問題；【深入探究】：（2）老師將圖2中的繞點B逆時針方向旋轉，使點E落在內部，并讓同學們提出新的問題：①“善思小組”提出問題：如圖3，當時，過點A作交的延長線于點M，與交于點N，試猜想線段和的數量關系，并加以證明．請你解答此問題；②“智慧小組”提出問題：如圖4，當時，過點A作于點H，若，求的長．請你思考此問題，直接寫出結果．答案：（1）問題情境：四邊形為正方形．理由見解析；（2）①．理由見解析；②的長為解：（1）四邊形為正方形．理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴四邊形為矩形．∵，∴∴矩形為正方形；（2）①．理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，即，∴∵，∴．由（1）得，∴．②如圖4：設的交點為，過作于∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴點是的中點，由勾股定理得∴∵∴即∴∵，∴，∴∴，即的長為．26.【建立模型】（1）如圖1，點B是線段上的一點，，，，垂足分別為C，B，D，．求證：；【類比遷移】（2）如圖2，一次函數的圖象與y軸交于點A、與x軸交于點B，將線段繞點B逆時針旋轉得到、直線交x軸于點D．①點C的坐標為______；②求直線的解析式；【拓展延伸】（3）如圖3，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，已知點，連接，拋物線上是否存在點M，使得，若存在，直接寫出點M的橫坐標．答案：（1）見解析；（2）①；②直線的解析式為；（3）或（1）證明：∵，，，∴，∴，∴，又∵，∴；（2）如圖所示，過點作軸于點，∵將線段繞點逆時針旋轉得到，∴，又，∴，∴，∴，∵一次函數的圖象與軸交于點、與軸交于點，當時，，即，當時，，即，∴，∴，∴，故答案為：；②∵，設直線的解析式為，將代入得：解得：∴直線的解析式為，（3）∵拋物線與軸交于，兩點點在點的左側，當時，，解得：，∴，；①當點在軸下方時，如圖所示，連接，過點作于點，過點作軸于