第四章數列全章綜合測試卷（提高篇）【人教A版2019】考試時間：90分鐘；滿分：150分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分150分，限時90分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本章內容的具體情況！一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2022·上海市高三階段練習）用數學歸納法證明1+2+22+???+25n?1(n∈NA．7 B．6 C．5 D．42．（5分）（2022·廣東·高二階段練習）下列說法正確的是（

）①數列1，3，5，7與數列7，3，5，1是同一數列；②數列0，1，2，3...的一個通項公式為an③數列0，1，0，1…沒有通項公式；④數列nn+1A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④3．（5分）（2022·河北·高二期中）數列an滿足a1=2,an+1A．?1 B．?13 C．24．（5分）（2022·江蘇省高二期中）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于我國南北朝時期的數學著作《孫子算經》，1852年，英國傳教士偉烈亞力將該解法傳至歐洲，1874年，英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，此定理講的是關于整除的問題，現將1到2022這2022個數中，能被2除余1且被7除余1的數按從小到大的順序排成一列，構成數列an，則該數列共有（

A．145項 B．146項 C．144項 D．147項5．（5分）（2022·江西·高三階段練習（理））已知an是等比數列，Sn為其前①an+an+1是等比數列；②an?an+1④lgan是等比數列，⑤若Sn=a?qA．5 B．4 C．3 D．26．（5分）（2022·江西·高三階段練習（理））已知數列an滿足a1=1,a2nA．31011?2023 B．31011?2025 C．7．（5分）（2022·河南·模擬預測（文））設等差數列an的公差為d，前n項和為Sn，若S4A．若a1<0，則an為遞增數列 B．若C．若a4+a11>0，則d>08．（5分）（2022·福建三明·高三期中）設等比數列an的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并滿足條件a1>1,A．S2019>S2020 B．C．a2019a2021?1<0二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2022·全國·高二專題練習）設f(x)是定義在正整數集上的函數，且f(x)滿足：當fk≥k+1成立時，總有fk+1A．若f6<7成立，則B．若f3≥4成立，則當k≥1時，均有C．若f2<3成立，則D．若f4≥5成立，則當k≥4時，均有10．（5分）（2022·湖南·高三階段練習）已知等比數列{an}的公比為q，其前n項之積為Tn，且滿足0<a1<1A．q>1 B．aC．T2023的值是Tn中最小的 D．使Tn11．（5分）（2022·河北張家口·高三期中）已知數列an的前n項和為Sn，若a1=2，且A．anB．0<C．1D．當n≥2時，數列an的前n項和Sn12．（5分）（2022·安徽·高三階段練習）已知Sn為等差數列bn的前n項和，且滿足3b2=b5，b3=5A．b32=63 B．SC．an為等差數列 D．an和三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2022·全國·高二課時練習）用數學歸納法證明1n+1+1n+2+......+14．（5分）（2022·上海·高二期末）設等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，15．（5分）（2022·江西·高三階段練習（理））斐波那契數列，又稱黃金數列，指的是1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，在現代物理、準晶體結構等領域都有直接應用，對斐波那契數列，其遞推公式為a1=a2=1，an+2=an+1+an．已知Sn為斐波那契數列16．（5分）（2022·江蘇·高二期中）已知數列an的各項均為正數，a1=2，an+12?a四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2022·上海·高二階段練習）觀察下面等式：1=118．（12分）（2021·陜西·高二期中（理））已知等差數列an的前n項和為Sn,a3(1)求數列an(2)若bn=an，求數列bn19．（12分）（2022·上海市高一期末）在一次招聘會上，甲、乙兩家公司分別給出了它們的工資標準.甲公司允諾：第一年的年薪為10.8萬元，以后每年的年薪比上一年增加8000元；乙公司的工資標準如下：①第一年的年薪為8萬元；②從第二年起，每年的年薪除比上一年增加10%外，還另外發放a（a為大于0的常數）萬元的交通補貼作為當年年薪的一部分.設甲、乙兩家公司第n年的年薪依次為an萬元和(1)證明數列bn+10a為等比數列，并求(2)小李年初被這兩家公司同時意向錄取，他打算選擇一家公司連續工作至少10年.若僅從前10年工資收入總量較多作為選擇的標準（不記其它因素），為了吸引小李的加盟，乙公司從第二年起，每年應至少發放多少元的交通補貼？（結果精確到元）20．（12分）（2022·陜西·一模（理））已知等差數列an的前n項的和為Mn，a2+M3=20,a5(1)求數列an和b(2)若cn=1anan+1，數列c21．（12分）（2022·上海·高一期末）對于無窮數列an，設集合A=x|x=an,n≥1．若A(1)已知數列an滿足a1=2,an+1(2)設函數y=f(x)的表達式為f(x)=3|x+1|?|x+2|，數列an滿足an+1=fan．若a(3)設an=cos(tπn)．若數列an22．（12分）（2022·江蘇·高二階段練習）已知等差數列an滿足a(1)求an(2)若m=2an2n+2，數列b(3)設（2）中的數列bn的前n項和為Sn，對任意的正整數n，1?n?第四章數列全章綜合測試卷（提高篇）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2022·上海市高三階段練習）用數學歸納法證明1+2+22+???+25n?1(n∈NA．7 B．6 C．5 D．4【解題思路】分別寫出n=k與n=k+1時相應的代數式，對比觀察求解.【解答過程】當n=k時，則1+2+當n=k+1時，則(1+2+∴從k到k+1添加的項數共有5項故選：C.2．（5分）（2022·廣東·高二階段練習）下列說法正確的是（

）①數列1，3，5，7與數列7，3，5，1是同一數列；②數列0，1，2，3...的一個通項公式為an③數列0，1，0，1…沒有通項公式；④數列nn+1A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④【解題思路】根據數列的概念即可判斷A項；代入可判斷B項；根據數列中前幾項的特點寫出通項可說明C項錯誤；作差法求an+1【解答過程】數列有順序，①錯誤；逐個代入檢驗，可知數列前幾項滿足通項公式，②正確；an=1??1n設an=nn+1，則所以，an+1>a故選：B.3．（5分）（2022·河北·高二期中）數列an滿足a1=2,an+1A．?1 B．?13 C．2【解題思路】根據遞推公式求得數列的周期，結合數列的周期即可求得結果.【解答過程】根據題意可得a1故該數列是以4為周期的數列，且a1故數列an的前2022項的乘積為a故選：C.4．（5分）（2022·江蘇省高二期中）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于我國南北朝時期的數學著作《孫子算經》，1852年，英國傳教士偉烈亞力將該解法傳至歐洲，1874年，英國數學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，此定理講的是關于整除的問題，現將1到2022這2022個數中，能被2除余1且被7除余1的數按從小到大的順序排成一列，構成數列an，則該數列共有（

A．145項 B．146項 C．144項 D．147項【解題思路】由已知可得能被2除余1且被7除余1的數即為能被14除余1，進而得通項及項數.【解答過程】由已知可得an?1既能被2整除，也能被7整除，故an所以an?1=14n?1即an故1≤an≤2022，即1≤14n?13≤2022，解得1≤n≤145故選：A.5．（5分）（2022·江西·高三階段練習（理））已知an是等比數列，Sn為其前①an+an+1是等比數列；②an?an+1④lgan是等比數列，⑤若Sn=a?qA．5 B．4 C．3 D．2【解題思路】根據題意找到反例說明命題錯誤，或者利用等比數列的定義或前n項和公式證明命題正確.【解答過程】設等比數列an的公比為q若an+a例如數列1，?1，1，?1，…，相鄰項相加所構成的數列不是等比數列，故①不正確；因為anan+1與第1個相仿，若相加和為零，不能構成等比數列，例如數列1，?1，1，?1，…，S2，S4?故③不正確；例如an=(?1)n，lga由Sn=a?qSn所以a=a11?q,b=?a故選:D.6．（5分）（2022·江西·高三階段練習（理））已知數列an滿足a1=1,a2nA．31011?2023 B．31011?2025 C．【解題思路】利用累加法得到a2n?1=3【解答過程】因為a2n所以a2n+1=a所以a===3所以a2n所以S==3×=3故選：D.7．（5分）（2022·河南·模擬預測（文））設等差數列an的公差為d，前n項和為Sn，若S4A．若a1<0，則an為遞增數列 B．若C．若a4+a11>0，則d>0【解題思路】根據已知條件求得a1,d的關系，然后對選項逐一【解答過程】由于等差數列an滿足S所以4aA選項，若a1=?112d<0B選項，若d≠0，a9=aa9C選項，a4D選項，當d>0時，a7所以S6故選：D.8．（5分）（2022·福建三明·高三期中）設等比數列an的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并滿足條件a1>1,A．S2019>S2020 B．C．a2019a2021?1<0【解題思路】根據題意，由等比數列的性質分析公比q的范圍，由此分析選項可得答案．【解答過程】解：等比數列an的公比為q，則an=a1qn?1又由a2019?1a2020?1<0，即(a2019又當a2020>10<a2019<1時，可得q>1，由所以0<a2020<1a由此分析選項：對于A，S2020?S2019=對于B，等比數列{an}中，0<q<1，a1>0，所以數列{an}單調遞減，又因為a2020<1<a2019對于C，等比數列{an}中，則a2019a對于D，由B的結論知T2019是數列{Tn故選：C.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2022·全國·高二專題練習）設f(x)是定義在正整數集上的函數，且f(x)滿足：當fk≥k+1成立時，總有fk+1A．若f6<7成立，則B．若f3≥4成立，則當k≥1時，均有C．若f2<3成立，則D．若f4≥5成立，則當k≥4時，均有【解題思路】由逆否命題與原命題為等價命題可判斷AC，再根據題意可得若f3≥4成立，則當k≥3時，均有【解答過程】對于A：當fk≥k+1成立時，總有則逆否命題：當fk+1<k+2成立時，總有若f6<7成立，則對于B：若f3≥4成立，則當k≥3時，均有對于C：當fk≥k+1成立時，總有則逆否命題：當fk+1<k+2成立時，總有故若f2<3成立，則對于D：根據題意，若f4≥5成立，則即fk≥k+1k≥5所以當k≥4時，均有fk故選：AD.10．（5分）（2022·湖南·高三階段練習）已知等比數列{an}的公比為q，其前n項之積為Tn，且滿足0<a1<1A．q>1 B．aC．T2023的值是Tn中最小的 D．使Tn【解題思路】由等比數列的性質得0<a【解答過程】由0<a1<1，a2022a2023?1>0對于A，q=a對于B，a2021對于C，當1≤n≤2022時，0<an<1，當n≥2023故T2022的值是T對于D，T4043=a20224043<1，故選：ABD.11．（5分）（2022·河北張家口·高三期中）已知數列an的前n項和為Sn，若a1=2，且A．anB．0<C．1D．當n≥2時，數列an的前n項和Sn【解題思路】對于A，利用遞推式得到0<an+1an=12an2+1<1，從而證得數列an是單調遞減數列，由此判斷即可；對于B，先利用反證法證得a【解答過程】對于A，因為an+1若an=0，則an+1=an2所以an≠0，an2>0，則2所以數列an對于B，因為an+1若an<0，則an+1<0，故an又因為數列an是單調遞減數列，所以a1=2是數列a綜上：0<a對于C，因為an+1=an2所以1a上述各式相加得1a又a1=2，所以經檢驗：1a2?所以1a對于D，由選項A知，an所以Sn故選：BCD.12．（5分）（2022·安徽·高三階段練習）已知Sn為等差數列bn的前n項和，且滿足3b2=b5，b3=5A．b32=63 B．SC．an為等差數列 D．an和【解題思路】對于A選項，直接利用等差數列bn所給的條件求出首項和公差進而求出b對于B選項，將Sn?5b對于C選項由題意可得an的地推公式，利用構造法找到規律進而得出數列a來判斷C；對于D選項，結合anb【解答過程】由bn為等差數列，設公差為d，∵3b2=b解得b1=1，d=2，∴Sn=n(1+2n?1)Sn?5bn=n2?5(2n?1)=n選項B錯誤；由an+an+1=構建一個新數列cn，令cn+1=an+1?n，cn∴a1=0，由an+ac1=a1=0，c2=a2?1=0，再由an=n?1，由an+1由an=n?1和bn=2n?1通項公式可以得出，1+3+5+7+?+99=50×(1+99)故選：AC.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2022·全國·高二課時練習）用數學歸納法證明1n+1+1n+2+......+13n【解題思路】先列舉出當n=k時，左邊的式子，再令n=k+1，則左邊最后一項為13k+3【解答過程】當n=k時，所假設的不等式為1k+1當n=k+1時，要證明的不等式為1k+2故需添加的項為：13k+1故答案為：13k+114．（5分）（2022·上海·高二期末）設等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn【解題思路】根據等差數列前n項和公式解決即可.【解答過程】由題知，等差數列{an}{bn}的前n項和分別為因為a4故答案為：381315．（5分）（2022·江西·高三階段練習（理））斐波那契數列，又稱黃金數列，指的是1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，在現代物理、準晶體結構等領域都有直接應用，對斐波那契數列，其遞推公式為a1=a2=1，an+2=an+1+an．已知Sn為斐波那契數列【解題思路】由已知條件，寫出遞推公式，累加法求出相應的通項（或遞推）公式即可.【解答過程】因為an+2所以a3a4a5an+2將以上n個式子兩邊分別相加，得Sn+2所以Sn+2又Sn+2所以Sn所以Sn所以S2022故答案為：p?1.16．（5分）（2022·江蘇·高二期中）已知數列an的各項均為正數，a1=2，an+12?a【解題思路】運用因式分解法，結合等比數列的定義、裂項相消法進行求解即可.【解答過程】由an+12?當an+1=?an時，即an+1an當an+1=2an時，即an+1an所以an因為an所以anan+1故答案為：6822049四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2022·上海·高二階段練習）觀察下面等式：1=1【解題思路】總結規律后由數學歸納法證明【解答過程】一般規律：n+(n+1)+?+(3n?2)=(2n?1)證明：（1）n=1時，左=右，等式成立；（2）假設n=k時，等式成立，即k+(k+1)+?+(3k?2)=(2k?1)則當n=k+1時，k+1+k+2+?+(3k?2)+(3k?1)+3k+(3k+1)，=(2k?1)由（1）（2）得當n∈N18．（12分）（2021·陜西·高二期中（理））已知等差數列an的前n項和為Sn,a3(1)求數列an(2)若bn=an，求數列bn【解題思路】（1）確定a1>0,d<0,a5≥0,（2）考慮1≤n≤5和n≥6兩種情況，根據an【解答過程】（1）由a3=5,S由a3=5，可得a5=5+2d≥0且又公差d為整數，d=?2，an（2）bn當1≤n≤5時，an>0；當n≥6時，an當1≤n≤5時，Tn當n≥6時，Tn綜上，Tn19．（12分）（2022·上海市高一期末）在一次招聘會上，甲、乙兩家公司分別給出了它們的工資標準.甲公司允諾：第一年的年薪為10.8萬元，以后每年的年薪比上一年增加8000元；乙公司的工資標準如下：①第一年的年薪為8萬元；②從第二年起，每年的年薪除比上一年增加10%外，還另外發放a（a為大于0的常數）萬元的交通補貼作為當年年薪的一部分.設甲、乙兩家公司第n年的年薪依次為an萬元和(1)證明數列bn+10a為等比數列，并求(2)小李年初被這兩家公司同時意向錄取，他打算選擇一家公司連續工作至少10年.若僅從前10年工資收入總量較多作為選擇的標準（不記其它因素），為了吸引小李的加盟，乙公司從第二年起，每年應至少發放多少元的交通補貼？（結果精確到元）【解題思路】（1）由題意可得出bn+1=1.1bn+a（2）設數列an、bn的前n項和分別為Sn、Tn（單位：萬元），計算出S10、T【解答過程】(1)解：由題意可得bn+1=1.1bn+a所以，數列bn+10a為等比數列，且首項為b1所以，bn+10a=10a+8(2)解：設數列an、bn的前n項和分別為Sn則數列an是首項為10.8，公差為0.8所以，S10T10可得a≥144?80所以，每年應至少發放2779元的交通補貼.20．（12分）（2022·陜西·一模（理））已知等差數列an的前n項的和為Mn，a2+M3=20,a5(1)求數列an和b(2)若cn=1anan+1，數列c【解題思路】（1）運用等差數列的基本公式聯立方程可解出an的首項和公差，進而得到通項公式；對bn，考慮整理b1=1【解答過程】（1）設an的公差為d，由題意得：4a所以an=由2Sn+1=2又b1=12，所以所以bn（2）證明：cnTn要證Tn>1因為f(x)=1?23x+2?12所以1?221．