PAGE§1命題授課提示：對應學生用書第1頁一、命題1．命題的定義可以推斷真假、用文字或符號表述的語句叫作命題，其中推斷為真的命題叫作真命題；推斷為假的命題叫作假命題．2．命題的形式一個命題由條件和結論兩部分組成．數(shù)學中，通常把命題表示為“若p，則q”的形式，其中p是條件，q是結論．二、四種命題一般地，對于兩個命題1．若一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論和條件，我們把這樣的兩個命題叫作互為逆命題．若把其中一個命題叫作原命題，那么另一個叫作原命題的逆命題．2．若一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和結論的否定，我們把這樣的兩個命題叫作互為否命題．若把其中一個命題叫作原命題，那么另一個叫作原命題的否命題．3．若一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定，我們把這樣的兩個命題叫作互為逆否命題．若把其中一個命題叫作原命題，那么另一個叫作原命題的逆否命題．三、四種命題之間的關系[疑難提示]一個語句是命題，必需具備兩個特征(1)是陳述句，祈使句、疑問句、感嘆句等一般都不是命題；(2)可以推斷真假，這個語句是對還是錯是唯一確定的，不能模棱兩可．[想一想]1．命題“正方形是平行四邊形”的結論和條件各是什么？提示：條件：一個四邊形是正方形．結論：這個四邊形是平行四邊形．[練一練]2．下列語句是命題的是()A．p(x)：x2－1＝0B．q(x)：5x是5的倍數(shù)C．三角函數(shù)是周期函數(shù)嗎？D．對全部整數(shù)x,5x－1是整數(shù)解析：只有D能推斷為真命題．A中x＝±1時，x2－1＝0為真，x≠±1時，x2－1＝0為假．所以選項A無法推斷真假．選項B中，x可能是小數(shù)，所以B也不能推斷真假．選項C是疑問句，不涉及真假．答案：D3．一個命題及其逆命題、否命題、逆否命題四種命題中()A．真命題的個數(shù)肯定是奇數(shù)B．真命題的個數(shù)肯定是偶數(shù)C．真命題的個數(shù)可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)D．以上推斷都不正確解析：因為原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題也互為逆否命題，它們也同真同假，所以四種命題中，真命題個數(shù)為0或2或4，都是偶數(shù)個．答案：B4．命題“奇函數(shù)的定義域和圖像均關于原點對稱”的條件p是__________，結論q是________________________________________________________________________．解析：將題中命題寫成“若p，則q”的形式：若一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的定義域和圖像均關于原點對稱．答案：一個函數(shù)是奇函數(shù)這個函數(shù)的定義域和圖像均關于原點對稱授課提示：對應學生用書第2頁探究一推斷命題的真假[典例1]推斷下列語句是否是命題？若是，推斷其真假，并說明理由．(1)奇數(shù)的平方仍是奇數(shù)．(2)兩條對角線垂直的四邊形是菱形．(3)全部的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)．(4)5x>4x.(5)若x∈R，則x2＋4x＋7>0.(6)將來是多么美妙啊！(7)你是高二的學生嗎？(8)若x＋y是有理數(shù)，則x，y都是有理數(shù)．[解析](1)是命題，而且是真命題．(2)是命題，而且是假命題．如圖所示，四邊形ABCD，若AB＝AD≠BC＝CD時，對角線AC也垂直于對角線BD.(3)是命題，而且是假命題．因為2是質(zhì)數(shù)，但不是奇數(shù)．(4)不是命題．因為x是未知數(shù)，不能推斷不等式的真假．(5)是命題，而且是真命題．因為對于x∈R，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0，不等式恒成立．(6)是感嘆句，不涉及真假，不是命題．(7)是疑問句，不涉及真假，不是命題．(8)是命題，而且是假命題．如x＝eq\r(2)，y＝－eq\r(2)，x＋y＝0是有理數(shù)，而x，y都是無理數(shù)．1．推斷一個語句是否是命題，關鍵看這個語句是否具備命題的兩個特征：一是陳述句，二是能推斷真假．2．在說明一個命題為真命題時，應進行嚴格的推理證明；而要說明一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可．1．給出下列命題：①函數(shù)y＝sinx的最小正周期是π；②函數(shù)y＝2x3是指數(shù)函數(shù)；③一次函數(shù)y＝x＋1的圖像與x軸的交點為(－1,0)；④f(x)＝x2在R上是增函數(shù)．其中假命題的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：函數(shù)y＝sinx的最小正周期為T＝eq\f(2π,1)＝2π，所以①是假命題；易知②是假命題；令x＋1＝0，得x＝－1，故一次函數(shù)y＝x＋1的圖像與x軸的交點為(－1,0)，所以③是真命題；易知f(x)＝x2在R上不是增函數(shù)，所以④是假命題．故選C.答案：C2．下列語句是否是命題？若是，推斷其真假，并說明理由．(1)一個數(shù)不是合數(shù)就是質(zhì)數(shù)．(2)x≥16.(3)一個實數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)．(4)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根．(5)空集是任何非空集合的真子集．(6)指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？解析：(1)是假命題．例如：1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)．(2)不是命題．因為沒有給定變量x的值，無法確定其真假．(3)是假命題．因為0既不是正數(shù)也不是負數(shù)．(4)是真命題．代入驗證即可．(5)是真命題．由空集的定義和性質(zhì)不難得出．(6)不是命題．因為無法推斷真假．探究二四種命題的關系[典例2]用“若p，則q”的形式寫出下列命題及其逆命題，否命題和逆否命題，并推斷真假．(1)若四邊形的對角互補，則該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形．(2)假如x>8，那么x>0.(3)當x＝－1時，x2－x－2＝0.[解析](1)原命題：若四邊形的對角互補，則該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形；真命題．逆命題：若一個四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，則這個四邊形的對角互補；真命題．否命題：若四邊形的對角不互補，則該四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形；真命題．逆否命題：若一個四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，則這個四邊形的對角不互補；真命題．(2)原命題：若x>8，則x>0；真命題．逆命題：若x>0，則x>8；假命題．否命題：若x≤8，則x≤0；假命題．逆否命題：若x≤0，則x≤8；真命題．(3)原命題：若x＝－1，則x2－x－2＝0；真命題．逆命題：若x2－x－2＝0，則x＝－1；假命題．否命題：若x≠－1，則x2－x－2≠0；假命題．逆否命題：若x2－x－2≠0，則x≠－1；真命題．1．由原命題得到逆命題、否命題、逆否命題的方法：(1)交換原命題的條件和結論，得到逆命題；(2)同時否定原命題的條件和結論，得到否命題；(3)交換原命題的條件和結論，并且同時否定，得到逆否命題．2．原命題與其逆否命題真假相同；逆命題與否命題真假相同．3．將下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并寫出它的逆命題、否命題和逆否命題．(1)垂直于同一平面的兩條直線平行；(2)當mn<0時，方程mx2－x＋n＝0有實數(shù)根．解析：(1)將命題寫成“若p，則q”的形式為：若兩條直線垂直于同一個平面，則這兩條直線平行．它的逆命題、否命題和逆否命題如下：逆命題：若兩條直線平行，則這兩條直線垂直于同一個平面．否命題：若兩條直線不垂直于同一個平面，則這兩條直線不平行．逆否命題：若兩條直線不平行，則這兩條直線不垂直于同一個平面．(2)將命題寫成“若p，則q”的形式為：若mn<0，則方程mx2－x＋n＝0有實數(shù)根．它的逆命題、否命題和逆否命題如下：逆命題：若方程mx2－x＋n＝0有實數(shù)根，則mn<0.否命題：若mn≥0，則方程mx2－x＋n＝0沒有實數(shù)根．逆否命題：若方程mx2－x＋n＝0沒有實數(shù)根，則mn≥0.4．寫出命題“若定義在R上的函數(shù)f(x)，g(x)都是奇函數(shù)，則函數(shù)F(x)＝f(x)·g(x)是偶函數(shù)”的逆命題、否命題、逆否命題，并推斷它們的真假．解析：逆命題：已知f(x)，g(x)是定義在R上的函數(shù)，若函數(shù)F(x)＝f(x)·g(x)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)，g(x)都是奇函數(shù)．該命題是假命題．否命題：若定義在R上的函數(shù)f(x)，g(x)不都是奇函數(shù)，則函數(shù)F(x)＝f(x)·g(x)不是偶函數(shù)．該命題是假命題．逆否命題：已知f(x)，g(x)是定義在R上的函數(shù)，若函數(shù)F(x)＝f(x)·g(x)不是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)，g(x)不都是奇函數(shù)．該命題是真命題．探究三等價命題的應用eq\x(等價命題的應用)—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(推斷命題的真假),—\x(證明命題),—\x(解決推理問題)))5．推斷命題“若a2＋b2≠c2，則△ABC不是直角三角形”的真假．解析：先推斷它的逆否命題的真假．原命題的逆否命題為“若△ABC是直角三角形，則a2＋b2＝c2”，明顯它是假命題，又因為逆否命題與原命題等價，所以原命題為假命題．6．已知a，b∈R，求證：若a3＋b3＋3ab≠1，則a＋b≠1.證明：原命題證明較困難，故可改證它的等價命題(逆否命題)：已知a，b∈R，若a＋b＝1，則a3＋b3＋3ab＝1.因為a＋b＝1，所以a3＋b3＋3ab＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋3ab＝a2－ab＋b2＋3ab＝(a＋b)2＝1，所以原命題成立．7．現(xiàn)有張三、李四、王五三人，張三說：“李四在說謊”，李四說：“王五在說謊”，王五說：“張三、李四都在說謊”，請問：張三、李四、王五誰在說謊，誰說的是真話？解析：設張三為A，李四為B，王五為C，說真話為1，說謊話為0.(1)若A＝1，即張三說真話，由于張三說：“李四在說謊”，所以B＝0，而李四說：“王五在說謊”，但李四說假話，所以王五說真話，C＝1；由于王五說：“張三和李四都在說謊”，即A＝0，B＝0與A＝1沖突．所以A＝1時，問題無解．(2)若張三說假話，即A＝0.由于張三說：“李四在說謊”，可知李四說真話，即B＝1，由李四說：“王五在說謊”知C＝0，由于王五說：“張三、李四都在說謊”，且C＝0，可得A＝0，B＝1或A＝1，B＝0或A＝1，B＝1，只要這三種狀況有一種成立，就說明王五說的是假話．因為這三種狀況至少有一人說的是真話，由這三種狀況可選擇出A＝0，B＝1，C＝0符合要求．所以張三、王五說假話，李四說真話．等價命題的應用[典例]證明：若a2－4b2－2a＋1≠0，則a≠2b＋[證明]“若a2－4