平面圖形的認識（二）（折疊問題）（鞏固篇）（專項練習）一、單選題1．如圖，在，將點A與點B分別沿和折疊，使點A、B與點C重合，則的度數為（

）A．22° B．21° C．20° D．19°2．如圖，已知三角形紙片中，，，將紙片的一角折疊，使點C落則在內，若，則∠2的度數為（

）A．29° B．30° C．31° D．32°3．如圖1，中，點和點分別為上的動點，把紙片沿折疊，使得點落在的外部處，如圖2所示．若，則度數為(

)A． B． C． D．4．如圖，將紙片沿折疊，使點A落在點處，且平分，平分，若，則的度數為（）A． B． C． D．5．如圖，，垂足為O，的平分線與的平分線相交于點E，將沿FG折疊，使點E落在四邊形內部的位置，則的值為（）A． B． C． D．6．如圖，在長方形紙片ABCD中，點F是邊BC上一點（不含端點），沿DF折疊紙片使得點C落在點C′位置，滿足C′D∥AC，∠ADF－∠ACB＝18°，則∠ADF的度數是（

）A．42° B．36° C．54° D．18°7．如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進行兩次折疊，折痕分別為AB，CD，若，若，則的度數是（）A． B． C． D．8．如圖，將一張四邊形紙片沿EF折疊，以下條件中能得出AD∥BC的條件個數是（

)

①∠2=∠4：②∠2+∠3=180°；③∠1=∠6：④∠4=∠5A．1 B．2 C．3 D．49．如圖，圖①是一個四邊形紙條ABCD，其中AB∥CD，E，F分別為邊AB，CD上的兩個點，將紙條ABCD沿EF折疊得到圖②，再將圖②沿DF折疊得到圖③，若在圖③中，∠FEM=26°，則∠EFC的度數為（

）A．52° B．64° C．102° D．128°10．學習近平行線后，小龍同學想出了“過已知直線m外一點P畫這條直線的平行線的新方法”，他是通過折一張半透明的正方形紙得到的．觀察圖(1)～(4)，經兩次折疊展開后折痕CD所在的直線即為過點P的已知直線m的平行線．從圖中可知，小明畫平行線的依據有()①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內錯角相等；③同位角相等，兩直線平行；④內錯角相等，兩直線平行．A．①② B．②③ C．③④ D．①④二、填空題11．如圖，已知中，，，D為上一點，將沿折疊后，且，則的度數是_____°．12．如圖，在中，，是斜邊的中點，將沿直線折疊，點落在點處，如果恰好與垂直，則_______°．13．已知中，，將按照如圖所示折疊，若，則_____．14．如圖，沿折疊使點落在點處，、分別是、平分線，若，，則_____．15．如圖，把一張紙片沿折疊，若，，則的度數為______．16．如圖，直角三角形ABC在，∠C＝90°，∠BAC＝60°，點D是BC邊上的一點，連接AD，將△ACD沿AD折疊，使點C落在點E處，當△BDE是直角三角形時，∠CAD的度數為__________．17．如圖，長方形紙片ABCD，點E，F分別在AB，BC邊上，將紙片沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點處，然后再次折疊紙片使點F與點重合，點C落在點，折痕為GH，若，則∠EFC＝______度．18．如圖，在四邊形紙片中，將紙片折疊，點、分別落在、處，折痕為，與交于點．若，則的度數為________．19．折紙是一門古老而有趣的藝術，現代數學家藤田文章和羽鳥公士郎甚至為折紙建立了一套完整的“折紙幾何學公理”．如圖所示，育育在課余時間拿出一張長方形紙片，他先將紙片沿EF折疊，再將折疊后的紙片沿GH折疊，使得與重合，展開紙片后測量發現，則的度數為_____________．20．學習平行線后，張明想出了過已知直線外一點畫這條直線的平行線的新方法，他是通過折一張半透明的紙得到的．觀察圖（1）~（4），經兩次折疊展開后折痕CD所在的直線即為過點P與已知直線a平行的直線．由操作過程可知張明畫平行線的依據有__________．①同位角相等，兩直線平行；

②兩直線平行，同位角相等；③內錯角相等，兩直線平行；

④同旁內角互補，兩直線平行．21．如圖，有一條紙帶ABCD，現小慧對紙帶進行了下列操作：（1）將這條上下兩邊互相平行的紙帶折疊，設∠1為65°，則∠a的度數為___．（2）已知這是一條長方形紙帶，點E在折線AD﹣DC上運動，點F是AB上的動點，連EF，將紙帶沿著EF折疊，使點A的對應點A'落在DC邊上，若∠CA'F＝x°，請用含x的代數式來表示∠EAA'的度數：___．22．有長方形紙片，E，F分別是AD，BC上一點∠DEF＝x（0°＜x＜45°），將紙片沿EF折疊成圖1，再沿GF折疊成圖2．（1）如圖1，當x＝32°時，＝_____度；（2）如圖2，作∠MGF的平分線GP交直線EF于點P，則∠GPE＝_____（用x的式子表示）．三、解答題23．如圖，在中，O是邊AC上的一點，，將沿折疊得到，與交于點N．(1)求的度數．(2)求的度數．24．如圖，長方形ABCD中，AD∥BC，E為邊BC上一點，將長方形沿AE折疊（AE為折痕），使點B與點F重合，EG平分∠CEF交CD于點G，過點G作HG⊥EG交AD于點H．（1）請判斷HG與AE的位置關系，并說明理由．（2）若∠CEG＝20°，請利用平行線相關知識求∠DHG的度數．25．人教版初中數學教科書八年級上冊第84頁探究了“三角形中邊與角之間的不等關系”，部分原文如下：如圖1，在中，如果，那么我們可以將折疊，使邊落在上，點C落在上的D點，折線交于點E，則．∵（想一想為什么），∴．請證明上文中的．如圖2，在中，如果，能否證明？小敏同學提供了一種方法：將折疊，使點B落在點C上，折痕交于點F，交于點G，再運用三角形三邊關系即可證明，請你按照小敏的方法完成證明．26．（1）如圖，把沿折疊，使點落在點處，試探究、與的關系；（2）如圖2，若，，作的平分線，與的外角平分線交于點，求的度數；（3）如圖3，若點落在內部，作，的平分線交于點，此時，，滿足怎樣的數量關系？并給出證明過程．27．如圖1，將紙片沿折疊，使點落在四邊形內點的位置，(1)若、則__________．(2)若“點落在四邊形內點的位置”變為“點落在四邊形外點的位置”如圖2，試猜想此時與、之間的數量關系，并說明理由．(3)將四邊形紙片（不平行）折疊成圖3的形狀，若，，請直接寫出的度數．28．如圖a，已知長方形紙帶ABCD，AB∥CD，AD∥BC，將紙帶沿EF折疊后，點C,D分別落在H，G的位置，再沿BC折疊成圖b（1）圖a中，若，則______，______（2）圖b中，，當為何值時，參考答案1．C【分析】根據，點A與點B分別沿和折疊，使點A、B與點C重合，得到，結合代入計算即可．解：因為，點A與點B分別沿和折疊，使點A、B與點C重合，所以，因為，所以，解得．故選C．【點撥】本題考查了折疊的性質，三角形內角和定理，熟練掌握性質和定理是解題的關鍵．2．D【分析】利用三角形的內角和定理和四邊形的內角和解答即可．解：∵，，∴，∵，，∴．∵四邊形的內角和為360°，∴，∴．∵，∴．故選：D．【點撥】本題主要考查了三角形的內角和定理，圖形的翻折變換，熟練掌握三角形的內角和定理和四邊形的內角和定理是解題的關鍵．3．B【分析】根據折疊的性質得出，，繼而分別表示出，得到，即可求解．解：根據折疊的性質得，，∵，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴故選B．【點撥】本題考查了折疊問題，三角形內角和定理，三角形的外角的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．4．C【分析】連接，根據三角形內角和求出，再根據，，得出，從而得出答案．解：如圖，連接，∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∵，，，∵，，∴，∴平分，平分，∴平分，∴，∵，∴．故選：C．【點撥】本題考查了折疊的性質、三角形的內角和定理、角平分線的定義、三角形的外角的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識．5．A【分析】由、外角定理和三角形內角和為得到，再利用的平分線與的平分線相交于點E得到，從而得到，繼而可知，再利用折疊的性質可知，最后利用鄰補角計算出的值．解：∵，垂足為O，∴，又∵，，，∴又∵的平分線與的平分線相交于點E，∴∴∴，∴，又折疊的性質可知：，∴，∴，∴故選：A．【點撥】本題考查與角平分線有關的三角形內角和定理，折疊的性質，三角形的外角定理等知識，掌握三角形的內角和與外角定理是解題的關鍵．6．B【分析】根據翻折的性質及平行線的性質求解即可．解：∵四邊形ABCD為長方形，∴AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠DAC＝∠ACB，∠ADF＝∠DFC，∵C′D∥AC，∴∠DAC＝∠C′DA，由折疊的性質得到，△CDF≌△C′DF，∴∠FDC＝∠FDC′＝∠ADF+∠C′DA＝∠ADF+∠ACB，∴∠CFD+∠FDC＝2∠ADF+∠ACB＝90°，∵∠ADF﹣∠ACB＝18°，∴∠ADF＝36°，故選：B．【點撥】此題考查了翻折的性質，熟記翻折的性質是解題的關鍵．7．D【分析】由折疊的性質可知∠1=∠BAG，2∠BDC+∠2=180°，根據BE∥AG，得到∠CFB=∠CAG=2∠1，從而根據平行線的性質得到∠CDB=2∠1，則∠2=180°-4∠1.解：由題意得：AG∥BE∥CD，CF∥BD，∴∠CFB=∠CAG，∠CFB+∠DBF=180°，∠DBF+∠CDB=180°∴∠CFB=∠CDB∴∠CAG=∠CDB由折疊的性質得∠1=∠BAG，2∠BDC+∠2=180°∴∠CAG=∠CDB=∠1+∠BAG=2α∴∠2=180°-2∠BDC=180°-4α故選D.【點撥】本題主要考查了平行線的性質與折疊的性質，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.8．D【分析】分別利用同旁內角互補兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內錯角相等兩直線平行得出答案即可．解：①∵∠2=∠4，∴AD∥BC（同位角相等兩直線平行），符合題意；②∵∠2+∠3=180°，∠5+∠3=180°，∴∠5=∠2，∴GF∥HE，因為GF和HE是由DF和CE折疊得到的，∴FD∥EC，即AD∥EC，符合題意；③∠1=∠6，由折疊性質知∠1=∠FEC，∴∠6=∠FEC，∴AD∥BC，符合題意：④由折疊的性質知,∠GFE=∠DFE，∴∠DFE=∠5+∠6，∵∠6+∠DFE=180°，∴∠5+2∠6=180°，∵∠4=∠5，∴∠4+2∠6=180°，又∵∠4+2∠1=180°，∴∠6=∠1=∠FEC，∴AD∥BC，符合題意.故答案為：D.【點撥】此題考查了平行線的判定，平行線的判定方法有：同位角相等兩直線平行；內錯角相等兩直線平行；同旁內角互補兩直線平行，熟練掌握平行線的判定是解本題的關鍵．9．C【分析】先由折疊得：∠BEF=2∠FEM=52°，由平行線的性質得∠EFM=26°，如圖③中，根據折疊和平行線的性質得，∠MFC=128°，根據角的差可得結論．解：如圖①，由折疊得：∠BEF=2×26°=52°，如圖②，∵AE∥DF，∴∠EFM=26°，∠BMF=∠DME=52°，∵BM∥CF，∴∠CFM+∠BMF=180°，∴∠CFM=180°-52°=128°，由折疊得：如圖③，∠MFC=128°，∴∠EFC=∠MFC-∠EFM=128°-26°=102°，故選C．【點撥】本題考查了平行線的性質、翻折變換的性質等知識；熟練掌握平行線和翻折變換的性質得出相等的角是解決問題的關鍵．10．C【分析】根據折疊可直接得到折痕AB與直線m之間的位置關系是垂直，折痕CD與第一次折痕之間的位置關系是垂直；然后根據平行線的判定條件可得③∠3=∠1可得m∥CD；④∠4=∠2，可得m∥CD．解：第一次折疊后，得到的折痕AB與直線m之間的位置關系是垂直；將正方形紙展開，再進行第二次折疊（如圖（4）所示），得到的折痕CD與第一次折痕之間的位置關系是垂直；∵AB⊥m，CD⊥AB，∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，∵∠3=∠1，∴m∥CD（同位角相等，兩直線平行），故③正確．∵∠4=∠2，∴m∥CD（內錯角相等，兩直線平行），故④正確．故選C．【點撥】此題主要考查了平行線的判定，以及翻折變換，關鍵是掌握平行線的判定定理．11．25【分析】由平行線的性質和折疊的性質可得，再由三角形的內角和定理求出，利用角的和差即可求出．解：∵折疊后得到，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，故答案為：25．【點撥】此題考查了平行線的性質、三角形內角和定理，掌握平行線的性質、折疊的性質是解題的關鍵．12．30【分析】根據折疊的性質可知，折疊前后的兩個三角形全等，則，從而求得答案．解：如圖，在中，，∵是斜邊上的中線，∴，∴，將沿直線折疊，點落在點處，設度，∵，∴，如果恰好與垂直，在中，，即，解得，，∴，∵，∴，即故答案為：30【點撥】本題考查圖形的折疊變化及三角形的內角和定理．關鍵是要理解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．13．【分析】利用三角形的內角和定理的推論，先用表示出，再利用鄰補角和四邊形的內角和定理用表示出，最后再利用三角形的內角和定理求出．解：由折疊知．∵，∴．∵，，∴．∴．故答案為：．【點撥】本題考查了三角形的內角和定理，掌握“三角形的內角和是”、“四邊形的內角和是”、“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”是解決本題的關鍵．14．140【分析】欲求，因為，所以僅需求．根據三角形外角的性質，得．因為、分別是、平分線，所以，進而可求出．解：如圖，、分別是、平分線，，．又，，又，，，，由題意得：，，，故答案為：140．【點撥】本題主要考查三角形外角的性質以及角平分線的定義，熟練掌握三角形外角的性質以及角平分線的定義是解決本題的關鍵．15．##50度【分析】由折疊的性質得：．先求出的度數，可得的值，再根據直角三角形兩直角互余求解即可．解：由折疊的性質得：．∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點撥】本題考查圖形折疊的性質、鄰補角的定義、直角三角形兩銳角互余，熟練掌握圖形折疊的性質是解決本題的關鍵．16．或【分析】分兩種情況：當點在上時，有直角三角形的性質可得，當時，即在外時，由折疊可得：，，，平分，即．解：分兩種情況：如圖，①當時，點在上時，②當時，即在外時，如圖，由折疊可得：，，，平分，，不可能為直角．故答案為或．【點撥】本題考查折疊的性質，解本題要注意分類討論．熟練掌握折疊的性質、直角三角形的性質和三角形的內角和等基本知識點．17．147【分析】根據將紙片沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B'處，得出∠EB′F＝∠B＝90°，∠BFE＝∠B′FE，可得∠AB′E+∠DB′F＝90°，根據四邊形ABCD為長方形，得出ADBC，可得∠DB′F＝∠B′FB＝2∠EFB，可求∠AB′E＝90°﹣∠DB′F＝90°﹣2∠EFB，根據GH為對稱軸，可得∠C′B′F＝∠CFB′＝180°﹣∠B′FB＝180°﹣2∠EFB，可得∠C′B′D＝∠C′B′F﹣∠FB′D＝180°﹣2∠EFB﹣2∠EFB，根據∠C′B′D＝∠AB′E+24°，列方程180°﹣2∠EFB﹣2∠EFB﹣（90°﹣2∠EFB）＝24°，解方程即可．解：∵紙片沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B'處，∴∠EB′F＝∠B＝90°，∠BFE＝∠B′FE，∴∠AB′E+∠DB′F＝90°，∵四邊形ABCD為長方形，∴ADBC，∴∠DB′F＝∠B′FB＝2∠EFB，∴∠AB′E＝90°﹣∠DB′F＝90°﹣2∠EFB，∵再次折疊紙片使點F與點B'重合，點C落在點C'，折痕為GH，∴四邊形GHC′B′與四邊形GHCF關于EG對稱，∴∠C′B′F＝∠CFB′＝180°﹣∠B′FB＝180°﹣2∠EFB，∵∠C′B′D＝∠C′B′F﹣∠FB′D，∴∠C′B′D＝180°﹣2∠EFB﹣2∠EFB，∵∠C′B′D＝∠AB′E+24°，∴∠C′B′D﹣∠AB′E＝24°，∴180°﹣2∠EFB﹣2∠EFB﹣（90°﹣2∠EFB）＝24°，∴∠EFB＝33°，∴∠EFC＝180°﹣∠EFB＝147°，故答案為：147．【點撥】本題主要考查了折疊的性質、平行線的性質，三角形的內角和定理，恰當應用折疊的性質是解題的關鍵．18．40°【分析】先根據平行線的性質證明∠CNM=∠AMN，∠B=∠D，由折疊的性質可知，∠AMN=∠EMN，再證明∠CNF=∠BME，推出∠BME+∠B=140°，則∠BPM=180°-∠B-∠BME=40°．解：∵，∴∠A+∠D=∠A+∠B=180°，∠CNM=∠AMN，∴∠B=∠D，由折疊的性質可知，∠AMN=∠EMN，∵，∴∠MNF+∠EMN=180°，又∵∠AMN+∠EMN+∠BME=180°，∴∠AMN+∠EMN+∠BME=∠EMN+∠MNF，∴∠MNF=∠AMN+∠BME，∴∠CNF+∠CNM=∠AMN+∠BME，∴∠CNF=∠BME，∵∠D+∠CNF=140°，∴∠BME+∠B=140°，∴∠BPM=180°-∠B-∠BME=40°，故答案為：40°．【點撥】本題主要考查了平行線的性質，三角形內角和定理，熟知平行線的性質是解題的關鍵．19．75°【分析】根據平行線的性質求得∠FED=60°，∠AEF=120°，再利用折疊的性質以及余角的性質求得∠A1GE=30°，再利用折疊的性質即可求解．解：∵ADBC，∠BFE=60°，∴∠FED=60°，∠AEF=180°-60°=120°，由折疊的性質得：∠A1EF=∠AEF=120°，∠A1=∠A=90°，∴∠A1EG=∠A1EF-∠FED=60°，∴∠A1GE=90°-∠A1EG=30°，∴∠DGD1=∠A1GE=30°，由折疊的性質得：∠DGH=∠HGD1=∠DGD1=15°，，∴故答案為：75°．【點撥】本題考查了平行線的性質，折疊的性質，三角形內角和定理，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．20．①③④【分析】根據題意可得a⊥AB，CD⊥AB，然后利用平行線的判定即可解答．解：由題意得：a⊥AB，CD⊥AB，所以，可以利用同位角相等，兩直線平行或內錯角相等，兩直線平行或同旁內角互補，兩直線平行，來判定a∥CD，∴由操作過程可知張明畫平行線的依據有①③④，故答案為：①③④．【點撥】本題考查了平行線的判定與性質，平行線，翻折變換（折疊問題），熟練掌握平行線的判定是解題的關鍵．21．

57.5°；

或【分析】（1）由翻折的性質可得∠3=∠4，由AB∥CD，可以得到∠a=∠3=∠4，再根據三角形內角和定理求解即可；（2）分兩種情況如圖，分類討論求解即可．解：（1）如圖，由翻折的性質得：∠3=∠4，∵AB∥CD，∴∠a=∠3=∠4，∵∠2=∠1=65°，∠4+∠a+∠2=180°，∴2∠a=180°-65°，∴∠a=57.5°，故答案為：57.5°；（2）由翻折的性質可知，，∴，∴，∵∠D=90°，∴∵，∴，∴；如圖，由翻折的性質可知，，∴，，∵AB∥CD，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：或．【點撥】本題主要考查了平行線的性質，折疊的性質，三角形內角和定理，三角形外角的性質，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．22．

64

2x【分析】（1）由長方形的對邊是平行的，得到∠BFE＝∠DEF＝30°，根據三角形外角的性質得到∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝60°，由對頂角的性質得到∠FGD′＝∠EGB＝60°，即可得到∠GFC′＝180°﹣∠FGD′＝120°；（2）由長方形的對邊是平行的，設∠BFE＝∠DEF＝x，根據三角形外角的性質得到∠EGB＝∠BFE+∠D′EF＝2x，由對頂角的性質得到∠FGD′＝∠EGB＝2x，由折疊可得∠MGF＝∠D′GF＝2x，由角平分線的定義得到∠PGF＝x，再根據三角形外角的性質得到∠GPE，從而求解．解：（1）由折疊可得∠GEF＝∠DEF＝32°，∵長方形的對邊是平行的，∴∠DEG＝∠FGD′，∴∠DEG＝∠GFE+∠DEF＝64°，∴∠FGD′＝∠EGD＝64°，∴當x＝30度時，∠GFD′的度數是64°．故答案為：64；（2）∠GPE＝2∠GEP＝2x．由折疊可得∠GEF＝∠DEF，∵長方形的對邊是平行的，∴設∠BFE＝∠DEF＝x，∴∠EGB＝∠BFE+∠D′EF＝2x，∴∠FGD′＝∠EGB＝2x，由折疊可得∠MGF＝∠D′GF＝2x，∵GP平分∠MGF，∴∠PGF＝x，∴∠GPE＝∠PGF+∠BFE＝2x，∴∠GPE＝2∠GEP＝2x．故答案為：∠GPE＝2x．【點撥】本題考查翻折變換的性質、平行線的性質，熟悉掌握相關知識點并準確識圖，理清翻折前后重疊的角是解題的關鍵．23．(1) (2)【分析】（1）根據折疊的性質，得到的兩個三角形全等，利用全等的性質，即可求解；（2）利用三角形內角和定理及折疊的性質即可求解．（1）解：∵沿折疊得到．∴．∵°，∴（2）解：∵°∴°∵沿折疊得到，∴°，∴【點撥】本題考查了三角形的折疊問題，三角形內角和定理，解題的關鍵是掌握折疊的性質．24．（1）HG∥AE，理由見分析；（2）∠DHG＝70°．【分析】（1）根據折疊的性質得∠AEB=∠AEF，根據角平分線定義及垂直的定義得AE⊥EG，最后由平行的判定可得結論；（2）由余角的性質得∠AEB=70°，然后根據平行線的性質可得答案．解：（1）平行，理由如下：∵長方形沿AE折疊，∴∠AEB＝∠AEF，∵EG平分∠CEF交CD于點G，∴∠FEG＝∠CEG，∵∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG＝180°，∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝90°，∴AE⊥EG，∵HG⊥ED，∴HG∥AE；（2）∵∠CEG＝20°，∴∠AEB＝70°，∵長方形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝70°，∵HG∥AE，∴∠DHG＝∠DAE＝70°．【點撥】此題考查了折疊問題及平行線的性質，掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．25