高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省新鄉市多校聯考2025屆高三上學期調研考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若為純虛數，則（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗因為為純虛數，所以且，得，故．故選：B.2.已知向量，且，則（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗由向量，可得，因為，可得，解得．故選：C.3.設集合，若，則的取值范圍是（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題可知，由，可得，所以．故選：A.4.函數的最大值為（）A. B. C. D.0〖答案〗C〖解析〗由題意可得，所以的最大值為．故選：C.5.已知某圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，側面展開圖是圓心角為的扇形，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設圓錐的母線長為，則圓錐的底面半徑，側面展開圖的扇形弧長，即圓錐底面的周長，因此，即又因為，故，所以關于單調遞增，驗證選項可知當時，符合題意．故選：D.6.已知函數在區間內單調遞增，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知當時，單調遞增，由題意，需在上單調遞增，且，即．若，則，解得；若，則，滿足題意；若，則恒成立．綜上，的取值范圍是．故選：A.7.設，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C.8.設拋物線的焦點為F，直線l與C交于A，B兩點，，，則l的斜率是（）A.±1 B. C. D.±2〖答案〗D〖解析〗下圖所示為l的斜率大于0的情況．如圖，設點A，B在C的準線上的射影分別為，，，垂足為H．設，，則．而，所以，l的斜率為．同理，l的斜率小于0時，其斜率為．另一種可能的情形是l經過坐標原點O，可知一交點為，則，可求得，可求得l斜率為，同理，l的斜率小于0時，其斜率為．故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，則雙曲線與有相同的（）A.焦點 B.焦距 C.離心率 D.漸近線〖答案〗CD〖解析〗對于選項A、B：設，易知的左、右焦點坐標分別為和，而的標準方程為，故其左、右焦點坐標分別為和，顯然和的焦點和焦距均不相同，故A，B錯誤；對于選項C、D：和的離心率均為，漸近線方程均為，故C，D正確．故選：CD.10.隨機投擲一枚質地均勻的骰子3次，記3次擲出的點數之積為，擲出的點數之和為，則（）A.事件“”和“”相等 B.事件“”和“”互斥C.為奇數的概率為 D.的概率為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，事件“”和“”都相當于擲出兩個1點和一個2點，故A正確；對于B，事件“”和“”都包含擲出兩個1點和一個4點，故B錯誤；對于C，為奇數等價于“3次擲出的點數都為奇數”，因此其概率為，故C正確；對于D，事件“”的對立事件為“或”，，，因此，故D正確．故選：ACD.11.已知函數的定義域為，且其圖象是一條連續不斷的曲線，，記為的導函數，則下列說法正確的是（）A.B.為奇函數C.若，則D.若在上單調遞減，則恰有三個零點〖答案〗ABD〖解析〗對于A，令，則，故A正確；對于B，令，得，令，得，所以，即為奇函數，故B正確；對于C，令，得，令，得，所以，故C錯誤；對于D，因為在上單調遞減，又，所以存在，滿足在上單調遞增，在上單調遞減，因此在上只有一個零點1，又是奇函數，所以恰有三個零點，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.2024年7月14日13時，2024年巴黎奧運會火炬開始在巴黎傳遞，其中某段火炬傳遞活動由包含甲、乙、丙在內的5名火炬手分四棒完成，若甲傳遞第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同傳遞火炬，則不同的火炬傳遞方案種數為______．〖答案〗10〖解析〗最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是從乙、丙中選1人，從除甲、乙、丙之外的2人中選1人組成，所以最后一棒的安排方案有：種；安排最后一棒后，剩余兩人安排在中間兩棒，方案有：種，由分步計數乘法原理，不同的傳遞方案種數為：種.13.在數列中，，且，則實數的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由題意知，解得．14.已知正數滿足，則的最小值為______．〖答案〗1〖解析〗由，得，記，其中，原不等式化為，所以，所以，即．所以，當且僅當，即時取“”，所以的最小值為1．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內角所對的邊分別為，且．（1）求；（2）若，求面積的最大值．解：（1）因為，由余弦定理可得，由正弦定理可得，所以，又因為，所以．（2）因為且，由余弦定理得，即又因為，當且僅當時，等號成立，即，解得，所以的面積，即面積的最大值為．16.氮氧化物是一種常見的大氣污染物，下圖為我國2015年至2023年氮氧化物排放量（單位：萬噸）的折線圖，其中年份代碼1~9分別對應年份2015~2023．已知，，，．（1）可否用線性回歸模型擬合與的關系？請分別根據折線圖和相關系數加以說明．（2）若根據所給數據建立回歸模型，可否用此模型來預測2024年和2034年我國的氮氧化物排放量？請說明理由．附：相關系數．解：（1）從折線圖看，各點落在一條直線附近，因而可以用線性回歸模型擬合與的關系，由題意知，相關系數．故可以用線性回歸模型擬合與的關系．（2）可以預測2024年的氮氧化物排放量，但不可以預測2034年的氮氧化物排放量．理由如下：①2024年與所給數據的年份較接近，因而可以認為短期內氮氧化物排放量將延續該趨勢，故可以用此模型進行預測；②2034年與所給數據的年份相距過遠，而影響氮氧化物排放量的因素有很多，這些因素在短期內可能保持不變，但從長期看很有可能會變化，因而用此模型預測可能是不準確的．17.如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為矩形，且平面平面分別為棱的中點．（1）證明：平面；（2）若，且二面角的大小為120°，求的值．（1）證明：如圖，取棱的中點，連接．因為是棱的中點，所以且．又因為四邊形是矩形，是棱的中點，故且，所以四邊形是平行四邊形，所以．又平面平面，故平面．（2）解：取棱的中點，則在正三角形中，，所以平面．以為坐標原點，的方向分別為軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系設，則．所以．設平面的法向量為，則即可取．設平面的法向量為，則即可取．由題設知，故，即．18.已知橢圓的左、右焦點分別為，且，過點作兩條直線，直線與交于兩點，的周長為．（1）求的方程；（2）若的面積為，求的方程；（3）若與交于兩點，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．解：（1）設橢圓的半焦距為，由題意知，所以，的周長為，所以，所以，故的方程為．（2）易知的斜率不為0，設，聯立，得，所以．所以，由，解得，所以的方程為或．（3）由（2）可知，因為的斜率是的斜率的2倍，所以，得．所以，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為．19.已知函數，其中不全為0，并約定，設，稱為的“伴生函數”．（1）若，求；（2）若恒成立，且曲線上任意一點處的切線斜率均不小于2，證明：當時，；（3）若，證明：對于任意的，均存在，使得．（1）解：由題可知．所以，故的伴生函數為．（2）證明：由已知得，所以．因為曲線上任意一點處的切線斜率均不小于2，故在上恒成立．又，所以，所以當時，．（3）證明：因為，所以．設，則．注意到，則在上一定存在極值點．令為其中一個極值點，則，即，所以，因為，所以，故．河南省新鄉市多校聯考2025屆高三上學期調研考試數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若為純虛數，則（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗因為為純虛數，所以且，得，故．故選：B.2.已知向量，且，則（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗C〖解析〗由向量，可得，因為，可得，解得．故選：C.3.設集合，若，則的取值范圍是（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題可知，由，可得，所以．故選：A.4.函數的最大值為（）A. B. C. D.0〖答案〗C〖解析〗由題意可得，所以的最大值為．故選：C.5.已知某圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，側面展開圖是圓心角為的扇形，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設圓錐的母線長為，則圓錐的底面半徑，側面展開圖的扇形弧長，即圓錐底面的周長，因此，即又因為，故，所以關于單調遞增，驗證選項可知當時，符合題意．故選：D.6.已知函數在區間內單調遞增，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知當時，單調遞增，由題意，需在上單調遞增，且，即．若，則，解得；若，則，滿足題意；若，則恒成立．綜上，的取值范圍是．故選：A.7.設，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C.8.設拋物線的焦點為F，直線l與C交于A，B兩點，，，則l的斜率是（）A.±1 B. C. D.±2〖答案〗D〖解析〗下圖所示為l的斜率大于0的情況．如圖，設點A，B在C的準線上的射影分別為，，，垂足為H．設，，則．而，所以，l的斜率為．同理，l的斜率小于0時，其斜率為．另一種可能的情形是l經過坐標原點O，可知一交點為，則，可求得，可求得l斜率為，同理，l的斜率小于0時，其斜率為．故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，則雙曲線與有相同的（）A.焦點 B.焦距 C.離心率 D.漸近線〖答案〗CD〖解析〗對于選項A、B：設，易知的左、右焦點坐標分別為和，而的標準方程為，故其左、右焦點坐標分別為和，顯然和的焦點和焦距均不相同，故A，B錯誤；對于選項C、D：和的離心率均為，漸近線方程均為，故C，D正確．故選：CD.10.隨機投擲一枚質地均勻的骰子3次，記3次擲出的點數之積為，擲出的點數之和為，則（）A.事件“”和“”相等 B.事件“”和“”互斥C.為奇數的概率為 D.的概率為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，事件“”和“”都相當于擲出兩個1點和一個2點，故A正確；對于B，事件“”和“”都包含擲出兩個1點和一個4點，故B錯誤；對于C，為奇數等價于“3次擲出的點數都為奇數”，因此其概率為，故C正確；對于D，事件“”的對立事件為“或”，，，因此，故D正確．故選：ACD.11.已知函數的定義域為，且其圖象是一條連續不斷的曲線，，記為的導函數，則下列說法正確的是（）A.B.為奇函數C.若，則D.若在上單調遞減，則恰有三個零點〖答案〗ABD〖解析〗對于A，令，則，故A正確；對于B，令，得，令，得，所以，即為奇函數，故B正確；對于C，令，得，令，得，所以，故C錯誤；對于D，因為在上單調遞減，又，所以存在，滿足在上單調遞增，在上單調遞減，因此在上只有一個零點1，又是奇函數，所以恰有三個零點，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.2024年7月14日13時，2024年巴黎奧運會火炬開始在巴黎傳遞，其中某段火炬傳遞活動由包含甲、乙、丙在內的5名火炬手分四棒完成，若甲傳遞第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同傳遞火炬，則不同的火炬傳遞方案種數為______．〖答案〗10〖解析〗最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是從乙、丙中選1人，從除甲、乙、丙之外的2人中選1人組成，所以最后一棒的安排方案有：種；安排最后一棒后，剩余兩人安排在中間兩棒，方案有：種，由分步計數乘法原理，不同的傳遞方案種數為：種.13.在數列中，，且，則實數的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由題意知，解得．14.已知正數滿足，則的最小值為______．〖答案〗1〖解析〗由，得，記，其中，原不等式化為，所以，所以，即．所以，當且僅當，即時取“”，所以的最小值為1．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內角所對的邊分別為，且．（1）求；（2）若，求面積的最大值．解：（1）因為，由余弦定理可得，由正弦定理可得，所以，又因為，所以．（2）因為且，由余弦定理得，即又因為，當且僅當時，等號成立，即，解得，所以的面積，即面積的最大值為．16.氮氧化物是一種常見的大氣污染物，下圖為我國2015年至2023年氮氧化物排放量（單位：萬噸）的折線圖，其中年份代碼1~9分別對應年份2015~2023．已知，，，．（1）可否用線性回歸模型擬合與的關系？請分別根據折線圖和相關系數加以說明．（2）若根據所給數據建立回歸模型，可否用此模型來預測2024年和2034年我國的氮氧化物排放量？請說明理由．附：相關系數．解：（1）從折線圖看，各點落在一條直線附近，因而可以用線性回歸模型擬合與的關系，由題意知，相關系數．故可以用線性回歸模型擬合與的關系．（2）可以預測2024年的氮氧化物排放量，但不可以預測2034年的氮氧化物排放量．理由如下：①2024年與所給數據的年份較接近，因而可以認為短期內氮氧化物排放量將延續該趨勢，故可以用此模型進行預測；②2034年與所給數據的年份相距過遠，而影響氮氧化物排放量的因素有很多，這些因素在短期內可能保持不變，但從長期看很有可能會變化，因而用此模型預測可能是不準確的．17.如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為矩形，且平面平面分別為棱的中點．（