名校聯盟2025屆數學高二上期末學業質量監測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等差數列中，已知，則（）A.4 B.8C.3 D.62．南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數到與一般的等差數列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數之差或者高次差成等差數列．如數列1，3，6，10，前后兩項之差組成新數列2，3，4，新數列2，3，4為等差數列、這樣的數列稱為二階等差數列．現有二階等差數列，其前7項分別為2，3，5，8，12，17，23則該數列的第100項為（）A.4862 B.4962C.4852 D.49523．命題“，”的否定是A， B.，C.， D.，4．已知向量，，且，則實數等于（）A1 B.2C. D.5．在中，，，，若該三角形有兩個解，則范圍是（）A. B.C. D.6．若直線先向右平移一個單位，再向下平移一個單位，然后與圓相切，則c的值為（）A.8或-2 B.6或-4C.4或-6 D.2或-87．雙曲線的左、右焦點分別為、，點P在雙曲線右支上，，，則C的離心率為（）A. B.2C. D.8．過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為（）A. B.2C. D.49．設，，，…，，，則（）A. B.C. D.10．焦點在軸的正半軸上，且焦點到準線的距離為的拋物線的標準方程是（）A. B.C. D.11．某商場為了解銷售活動中某商品銷售量與活動時間之間的關系，隨機統計了某次銷售活動中的商品銷售量與活動時間，并制作了下表：活動時間銷售量由表中數據可知，銷售量與活動時間之間具有線性相關關系，算得線性回歸方程為，據此模型預測當時，的值為（）A B.C. D.12．拋物線上點的橫坐標為4，則到拋物線焦點的距離等于（）A.12 B.10C.8 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點到直線的距離為________.14．已知點，拋物線的焦點為，點是拋物線上任意一點，則周長的最小值是__________.15．已知向量，，不共線，點在平面內，若存在實數，，，使得，那么的值為________.16．已知函數，則滿足實數的取值范圍是__三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）記數列的前n項和為，已知點在函數的圖像上（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前9項和18．（12分）設拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，橢圓右焦點也為，離心率為（1）求拋物線方程和橢圓方程；（2）若不經過的直線與拋物線交于、兩點，且（為坐標原點），直線與橢圓交于、兩點，求面積的最大值19．（12分）如圖，在正四棱柱中，，，點在棱上，且平面（1）求的值；（2）若，求二面角的余弦值20．（12分）立德中學舉行冬令營活動期間，對位參加活動的學生進行了文化和體能測試，滿分為150分，其測試成績都在90分和150分之間，成績在認定為“一般”，成績在認定為“良好”，成績在認定為“優秀”．成績統計人數如下表：體能文化一般良好優秀一般0良好3優秀2例如，表中體能成績良好且文化成績一般的學生有2人（1）若從這位參加測試的學生中隨機抽取一位，抽到文化或體能優秀的學生概率為．求，的值；（2）在（1）的情況下，從體能成績優秀的學生中，隨機抽取2人，求至少有一個人文化的成績為優秀的概率；（3）若讓使參加體能測試的成績方差最小，寫出的值．（直接寫出答案）21．（12分）已知函數，曲線在點處的切線與直線垂直（其中為自然對數的底數）（1）求的值；（2）是否存在常數，使得對于定義域內的任意，恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由22．（10分）已知圓，P（2，0），M點是圓Q上任意一點，線段PM的垂直平分線交半徑MQ于點C，當M點在圓上運動時，點C的軌跡為曲線C（1）求曲線C方程；（2）已知直線l：x＝8，A、B是曲線C上的兩點，且不在x軸上，，垂足為，，垂足為，若D（3，0），且的面積是△ABD面積的5倍，求△ABD面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據等差數列的性質計算出正確答案.【詳解】由等差數列的性質可知，得.故選:B2、D【解析】根據題意可得數列2，3，5，8，12，17，23，，滿足：，，從而利用累加法即可求出，進一步即可得到的值【詳解】2，3，5，8，12，17，23，后項減前項可得1，2，3，4，5，6，所以，所以.所以.故選：D3、C【解析】特稱命題的否定是全稱命題，并將結論加以否定，所以命題的否定為：，考點：全稱命題與特稱命題4、C【解析】利用空間向量垂直的坐標表示計算即可得解【詳解】因向量，，且，則，解得，所以實數等于.故選：C5、D【解析】根據三角形解得個數可直接構造不等式求得結果.【詳解】三角形有兩個解，，即.故選：D.6、A【解析】求出平移后的直線方程，再利用直線與圓相切并借助點到直線距離公式列式計算作答.【詳解】將直線先向右平移一個單位，再向下平移一個單位所得直線方程為，因直線與圓相切，從而得，即，解得或，所以c的值為8或-2.故選：A7、C【解析】由，所以為直角三角形，根據雙曲線的定義結合勾股定理可得答案.【詳解】由，所以為直角三角形.,根據雙曲線的定義可得所以，即，即，所以故選：C8、A【解析】求出橢圓的通徑，即可得到結果【詳解】過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為橢圓的通徑：故選：A9、B【解析】根據已知條件求得的規律，從而確定正確選項.【詳解】，，，，，……，以此類推，，所以.故選：B10、A【解析】直接由焦點位置及焦點到準線的距離寫出標準方程即可.【詳解】由焦點在軸的正半軸上知拋物線開口向上，又焦點到準線的距離為，故拋物線的標準方程是.故選：A.11、C【解析】求出樣本中心點的坐標，代入回歸直線方程，求出的值，再將代入回歸方程即可得解.【詳解】由表格中的數據可得，，將樣本中心點的坐標代入回歸直線方程可得，解得，所以，回歸直線方程為，故當時，.故選：C.12、C【解析】根據焦半徑公式即可求出【詳解】因為，所以，所以故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用點到直線的距離公式即可得出【詳解】利用點到直線的距離可得：故答案為:14、##【解析】利用拋物線的定義結合圖形即得.【詳解】拋物線的焦點為，準線的方程為，過點作，垂足為，則，所以的周長為，當且僅當三點共線時等號成立.故答案為：.15、1【解析】通過平面向量基本定理推導出空間向量基本定理得推論.【詳解】因為點在平面內，則由平面向量基本定理得：存在，使得：即，整理得：，又，所以，，，從而.故答案為：116、【解析】分別對，分別大于1，等于1，小于1的討論，即可.【詳解】對，分別大于1，等于1，小于1的討論，當,解得當，不存在，當時，，解得，故x的范圍為點睛】本道題考查了分段函數問題，分類討論，即可，難度中等三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用的關系可求.（2）利用裂項相消法可求數列的前9項和【小問1詳解】由題意知當時，；當時，，適合上式所以【小問2詳解】則18、（1）拋物線方程為，橢圓方程為（2）【解析】（1）由，可得，繼而可得，故，再利用離心率，以及，即得解；（2）設直線方程為，與拋物線聯立，，結合韋達定理可得，再與橢圓聯立，，韋達定理代入，結合均值不等式即得解【小問1詳解】由題意，解得：，故，，，，，所以拋物線方程為，橢圓方程為【小問2詳解】設直線方程為，由消去得，，設，，則因，所以或（舍去），所以直線方程為由，消去得，設，，則設直線與軸交點為，則所以令，則，所以，當且僅當時，即時，取最大值19、（1）答案見解析；（2）.【解析】如圖，以點為原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，（1）設，由平面，可得，從而數量積為零，可求出的值，進而可求得的值；（2）利用空間向量求二面角的余弦值【詳解】解：（1）如圖，以點為原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，設，則點，，，則，因為平面，所以，所以，解得或當時，，，；當時，，，（2）因為，由（1）知，平面的一個法向量為設平面的法向量為，因為，，所以令，則所以，由圖知，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為20、（1），；（2）；（3）.【解析】（1）由題設可得求參數a，結合表格數據及已知總學生人數求參數b.（2）應用列舉法求古典概型的概率.（3）應用表格數據及方差公式可得且，即可確定成績方差最小對應的值.【小問1詳解】設事件：從位學生中隨機抽取一位，抽到文化或體能優秀的學生由題意知，體能或文化優秀的學生共有人，則，解得所以；【小問2詳解】體能成績為優秀的學生共有5人，在這5人中，文化成績一般的人記為；文化成績良好的人記為；文化成績優秀的人記為從文化成績優秀的學生中，隨機抽取2人的樣本空間，設事件：至少有一個人文化的成績為優秀，，所以，體能成績優秀的學生中，隨機抽取2人，至少有一個人文化成績為優秀的概率是；【小問3詳解】由題設知：體能測試成績，{一般，良好，優秀}人數分別為{5，，}，對應平均分為{100,120,140}，所以體能測試平均成績，所以，而所以當時最小.21、（1）2；（2）存在，.【解析】（1）對函數求導，利用得的值；（2）討論和分離參數，構造新函數求解最值即可求解【詳解】解：（1），又由題意有（2）由（1）知，此時，由或，所以函數的單調減區間為和要恒成立，即①當時，，則要恒成立，令，再令，所以在內遞減，所以當時，，故，所以在內遞增，；②當時，lnx>0，則要恒成立，由①可知，當時，，所以內遞增，所以當時，，故，所以在內遞增，綜合①②可得，即存在常數滿足題意22、（1）（2）【解析】（1）由定義法求出曲線C的方程；（2）先判斷出直線AB過定點H(2,0)或H(4,0).當AB過定點H(4,0)，求出最大；當H(2,0)時，可設直線AB：.用“設而不求法”表示出，不妨設（），利用函數的單調性求出△ABD面積的最大值.【小問1詳解】因為線段PM的垂直平分線交半徑MQ于點C，所以,所以,符合橢圓的定義，所以點C的軌跡為以P、Q為焦點的橢圓，其中，所以，所以曲線C的方程為.【小問2詳解】不妨設直線l：x＝8交x軸于G(8,0)，直線AB交x軸于H(h,0)，則,.因為，，，所以.又因為的面積是△ABD面積的5倍，所以.因為G(8,0)，D（3，0），所以，所以H(2,0)或H(4,0).當H(4,0)時，則H與A（或H與B）重合，不妨設H與A重合，此時，，要使