2025屆廣西玉林市博白縣數學高二上期末聯考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知關于的不等式的解集是，則的值是（）A. B.5C. D.72．已知梯形中，，且，則的值為（）A. B.C. D.3．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為坐標原點，為雙曲線在第一象限上的點，直線，分別交雙曲線的左，右支于另一點，，若，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.3C.2 D.4．函數的值域為（）A. B.C. D.5．過橢圓右焦點作x軸的垂線，并交C于A，B兩點，直線l過C的左焦點和上頂點.若以線段AB為直徑的圓與有2個公共點，則C的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.6．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取兩個球，則下列選項中的兩個事件為互斥事件的是（）A.至多有1個白球；都是紅球 B.至少有1個白球；至少有1個紅球C.恰好有1個白球；都是紅球 D.至多有1個白球；至多有1個紅球7．在等差數列中，，則（）A.6 B.3C.2 D.18．已知命題：若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則；命題：等軸雙曲線的離心率為，則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.9．年底以來，我國多次在重要場合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收量可以正負抵消，實現二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一個碳原子和兩個氧原子構成的，其結構式為.已知氧有、、三種天然同位素，碳有、、三種天然同位素，則由上述同位素可構成的不同二氧化碳分子共有（）A.種 B.種C.種 D.種10．雙曲線：的漸近線與圓：在第一、二象限分別交于點、，若點滿足(其中為坐標原點)，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.11．命題“若，都是偶數，則也是偶數”的逆否命題是A.若是偶數，則與不都是偶數B.若是偶數，則與都不是偶數C.若不是偶數，則與不都是偶數D.若不是偶數，則與都不是偶數12．若直線的一個方向向量為，直線的一個方向向量為，則直線與所成的角為（）A30° B.45°C.60° D.90°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列中，，且數列為等差數列，則_____________.14．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，為的右支上一點，且，則的離心率為___________.15．曲線在點處的切線方程為__________16．橢圓C：的左、右焦點分別為，，點A在橢圓上，，直線交橢圓于點B，，則橢圓的離心率為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知公比的等比數列和等差數列滿足：，，其中，且是和的等比中項（1）求數列與的通項公式；（2）記數列的前項和為，若當時，等式恒成立，求實數的取值范圍18．（12分）為慶祝中國共產黨成立100周年，某校舉行了黨史知識競賽，在必答題環節，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題（1）甲至少抽到1道填空題（2）甲答對的題數比乙多的概率.19．（12分）如圖，在正方體中，，分別為棱，的中點（1）求證：直線平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值20．（12分）已知拋物線的焦點為F，點在拋物線上.（1）求拋物線的標準方程；（2）過點的直線交拋物錢C于A，B兩點，O為坐標原點，記直線OA，OB的斜率分別，，求證：為定值.21．（12分）森林資源是全人類共有的寶貴財富，其在改善環境，保護生態可持續發展方面發揮著重要的作用.2020年12月12日，主席在全球氣候峰會上通過視頻發表題為《繼往開來，開啟全球應對氣候變化的新征程》的重要講話，宣布“到2030年，我國森林蓄積量將比2005年增加60億立方米”.為了實現這一目標，某地林業管理部門著手制定本地的森林蓄積量規劃.經統計，本地2020年底的森林蓄積量為120萬立方米，森林每年以25%的增長率自然生長，而為了保證森林通風和發展經濟的需要，每年冬天都要砍伐掉萬立方米的森林.設為自2021年開始，第年末的森林蓄積量.（1）請寫出一個遞推公式，表示二間的關系；（2）將（1）中的遞推公式表示成的形式，其中，為常數；（3）為了實現本地森林蓄積量到2030年底翻兩番的目標，每年的砍伐量最大為多少萬立方米？（精確到1萬立方米）（可能用到的數據：，，）22．（10分）已知橢圓C經過，兩點（1）求橢圓C的標準方程；（2）直線l與C交于P，Q兩點，M是PQ的中點，O是坐標原點，，求證：的邊PQ上的高為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題意可得的根為，然后利用根與系數的關系列方程組可求得結果【詳解】因為關于的不等式的解集是，所以方程的根為，所以，得，所以，故選：D2、D【解析】根據共線定理、平面向量的加法和減法法則，即可求得，進而求出的值，即可求出結果.【詳解】因為，所以又，所以.故選：D.3、D【解析】由雙曲線的定義可設，，由平面幾何知識可得四邊形為平行四邊形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由離心率公式可得所求值【詳解】由雙曲線的定義可得，由，可得，，結合雙曲線性質可以得到，而，結合四邊形對角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結合，故，對三角形，用余弦定理，得到，結合，可得，，，代入上式子中，得到，即，結合離心率滿足，即可得出，故選：D【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質即可，屬于常考題型.4、C【解析】根據基本不等式即可求出【詳解】因為，當且僅當時取等號，所以函數的值域為故選：C5、A【解析】求得以為直徑的圓的圓心和半徑，求得直線的方程，利用圓心到直線的距離小于半徑列不等式，化簡后求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】橢圓的左焦點，右焦點，上頂點，，所以為直徑的圓的圓心為，半徑為.直線的方程為，由于以線段為直徑的圓與相交，所以，，，，，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：A6、C【解析】根據試驗過程進行分析，利用互斥事件的定義對四個選項一一判斷即可.【詳解】對于A：“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“至多有1個白球”與“都是紅球”不是互斥事件.故A錯誤；對于B：“至少有1個白球”包含都是白球和一紅一白，“至少有1個紅球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至少有1個白球”與“至少有1個紅球”不是互斥事件.故B錯誤；對于C：“恰好有1個白球”包含一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“恰好有1個白球”與“都是紅球”是互斥事件.故C錯誤；對于D：“至多有1個紅球”包含都是白球和一紅一白，“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至多有1個白球”與“至多有1個紅球”不是互斥事件.故D錯誤.故選：C7、B【解析】根據等差數列下標性質進行求解即可.【詳解】因為是等差數列，所以，故選：B8、D【解析】先判斷出p、q的真假，再分別判斷四個選項的真假.【詳解】因為“若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則或”，所以p為假命題；對于等軸雙曲線，，所以離心率為，所以q為真命題.所以假命題，故A錯誤；為假命題，故B錯誤；為假命題，故C錯誤；為真命題，故D正確.故選：D9、C【解析】分兩種情況討論：兩個氧原子相同、兩個氧原子不同，分別計算出兩種情況下二氧化碳分子的個數，利用分類加法計數原理可得結果.【詳解】分以下兩種情況討論：若兩個氧原子相同，此時二氧化碳分子共有種；若兩個氧原子不同，此時二氧化碳分子共有種.由分類加法計數原理可知，由上述同位素可構成的不同二氧化碳分子共有種.故選：C.10、B【解析】由，得點為三角形的重心，可得，即可求解.【詳解】如圖：設雙曲線的焦距為，與軸交于點，由題可知，則，由，得點為三角形的重心，可得，即，，即，解得.故選：B【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質，三角形的重心的向量表示，屬于中檔題.11、C【解析】命題的逆否命題是將條件和結論對換后分別否定，因此“若都是偶數，則也是偶數”的逆否命題是若不是偶數，則與不都是偶數考點：四種命題12、C【解析】直接由公式，計算兩直線的方向向量的夾角，進而得出直線與所成角的大小【詳解】因為，，所以，所以，所以直線與所成角的大小為故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意得:考點：等差數列通項14、【解析】由雙曲線定義可得a，代入點P坐標可得b，然后可解.【詳解】由題知，故，又點在雙曲線上，所以，解得，所以.故答案為：15、【解析】先驗證點在曲線上，再求導，代入切線方程公式即可【詳解】由題，當時，，故點在曲線上求導得：，所以故切線方程為故答案為：16、（也可以）【解析】可以利用條件三角形為等腰直角三角形，設出邊長，找到邊長與之間等量關系，然后把等量關系帶入到勾股定理表達的等式中，即可求解離心率.【詳解】由題意知三角形為等腰直角三角形，設，則，解得，，在三角形中，由勾股定理得，所以，故答案為：（也可以）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】（1）根據已知條件可得出關于方程，解出的值，可求得的值，即可得出數列與的通項公式；（2）求得，利用錯位相減法可求得，分析可知數列為單調遞增數列，對分奇數和偶數兩種情況討論，結合參變量分離法可得出實數的取值范圍.【詳解】（1）設等差數列的公差為，因為，，，且是和的等比中項，所以，整理可得，解得或.若，則，可得，不合乎題意；若，則，可得，合乎題意.所以，;；（2）因為，①，②②①得因為，即對恒成立，所以當且，，故數列為單調遞增數列，當為偶數時，，所以；當為奇數時，，所以，即.綜上可得18、（1）；（2）.【解析】（1）把3道選擇題（2）設，分別表示甲答對1道題，2道題的事件，，分別表示乙答對0道題，1道題的事件，分別求出它們的概率，甲答對的題數比乙多這個事件是，然后由相互獨立的事件和互斥事件的概率公式計算【詳解】解：（1）記3道選擇題則試驗的樣本空間，.共有10個樣本點，且每個樣本點是等可能發生的，所以這是一個古典概型.記事件A=“甲至少抽到1道填空題，.所以，，.所以，.因此，甲至少抽到1道填空題（2）設，分別表示甲答對1道題，2道題的事件，分別表示乙答對0道題，1道題的事件，根據獨立性假定，得，.，.記事件B=“甲答對的題數比乙多”，則，且，，兩兩互斥，與，與，與分別相互獨立，所以..因此，甲答對的題數比乙多的概率為.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明，則，可證明，由平面，可得，再由線面垂直的判定定理即可求證；（2）連結，可知，所以或其補角即為異面直線與所成的角，在中由余弦定理計算的值即可求解.【小問1詳解】在正方形中，，分別為棱，的中點，則，，，所以，則，所以，即，又因為平面，面，所以，因為，所以平面【小問2詳解】連結，，可知，所以或其補角即為異面直線與所成的角，令，則，，，在中，由余弦定理可得：，故異面直線與所成角的余弦值為.20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）將點代入拋物線方程即可求解；（2）當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為，，將直線方程與拋物線方程聯立利用韋達定理即可求出的值;當直線AB的斜率不存在時，由過點即可求出點和點的坐標,即可求出的值.【小問1詳解】將點代入得，，∴拋物線的標準方程為.【小問2詳解】當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為，，將聯立得，，由韋達定理得：，，，當直線AB的斜率不存在時，由直線過點,則，，，，綜上所述可知，為定值為.21、（1）；（2）.；（3）19萬立方米.【解析】（1）由題意得到；（2）若遞推公式寫成，則，再與遞推公式比較系數；（3）若實現翻兩番的目標，則，根據遞推公式，計算的最大值.【詳解】解：（1）由題意，得，并且.①（2）將化成，②比較①②的系數，得解得所以（1）中的遞推公式可以化為.（3）因為，且，所以，由（2）可知，所以，即數列是以為首項，為公比的等比數列，其通項公式：，所以.到2030年底的森林蓄積量為該數列的第10項，即.由題意，森林蓄積量到2030年底要達到翻兩番的目標，所以，即.即.解得.所以每年的砍伐量最大為19萬立方米.【點睛】方法點睛：遞推公式求通項公式，有以下幾種方法：

型如：的數列的遞推公式，采用累加法求通項；

形如：的數列的遞推公式，采用累乘法求通項；

形如：的遞推公式，通過構造轉化為，構造數列是以為首項，為公比的等比數列，

形如：的遞推公式，兩邊同時除以，轉化為的形式求通項公式；

形如：